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东莞四中 2023-2024 高三第一学期数学月考试题与答案
一、单项选择题：
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ， 是实数，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 下列函数既是偶函数，又在 上单调递增的是（ ）
A. B.
.
C D.
4. 在 的展开式中， 的系数是（ ）
A. B. 8 C. D. 4
5. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积
共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（ ）
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
6. 函数 的大致图象为（ ）A. B.C. D.
,
7. 已知 , ，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 图像关于原点对称，其中 ， ，而且在区间 上
有且只有一个最大值和一个最小值，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：
9. 已知函数 ，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 点 是 图象的一个对称中心
C. 在 上单调递增
D. 将 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，可得到 的图象
10. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是（ ）
A. 从中任取3球，恰有2个白球的概率是 ；B. 从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X，则 ；
C. 现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为 ；
D. 从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为 .11. 已知函数 存在极值点，则实数a的值可以是（ ）
A. 0 B. C. D.
12. 生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就
会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：
，其中 ， ， 是正数， 表示初始时刻种群数量， 叫做种群的内秉增
长率， 是环境容纳量. 可以近似刻画 时刻的种群数量.下面给出四条关于函数 的判断正确的
有（ ）
A. 如果 ，那么存在 ， ；
B. 如果 ，那么对任意 ， ；
C. 如果 ，那么存在 ， 在 点处的导数 ；
D. 如果 ，那么 的导函数 在 上存在最大值.
三、填空题：
13. 在 中， ， ， ，则 ______．
14. 某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，
活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有
__________种(用数字作答)．
15. 已知角 的大小如图所示，则 的值为________16. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把
数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色
小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列 ，正方形数构成数列 ，则
______； ______.四、解答题：
17. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值．
18. 已知等差数列 的前 项和为 ， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）证明： .
19. 小家电指除大功率，大体积家用电器（如冰箱、洗衣机、空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，
近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模
（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为1~5.
年份代码 1 2 3 4 5
.
市场规模 （单位：千亿元） 1.30 1.40 1.62 1.68 180
（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用样本相关系数加以说明（若 ，
则线性相关程度较高， 精确到0.01）；
（2）建立 关于 的经验回归方程.参考公式和数据：样本相关系数 ， ，
， ， ， .
20. 设正项数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 的前 项和为 ，求证： .
21. 哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个学年派
出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高三学年派出
甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是 ， ，乙通过第一轮与第二轮比赛的
概率分别是 ， ，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响.
（1）若高三学年获得决赛资格的同学个数为 ，求 的分布列和数学期望.
的
（2）已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛 规则如下：将问题放入 两个纸箱中， 箱中有3道选择题
和2道填空题， 箱中有3道选择题和3道填空题.决赛中要求每位参赛同学在 两个纸箱中随机抽取两
题作答.甲先从 箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入 箱中，然后乙再抽取题目.已知乙
从 箱中抽取的第一题是选择题，求甲从 箱中抽出的是2道选择题的概率.
22. 已知函数 ，其中 为常数．
（1）当 时，判断 在区间 内的单调性；（2）若对任意 ，都有 ，求 的取值范围．
