吉林省长春市第二实验中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学Word版含解析_251214吉林省长春市第二实验中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试（全）

吉林省长春市第二实验中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试 数学试卷 一、单选题 1．直线 的倾斜角是（ ） A．0 B． C．π D．不存在 2．已知椭圆的面积等于 ，其中 是椭圆长轴长与短轴长的乘积，则椭圆 的面积为（ ） A． B． C． D． 3．若方程 表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星 接收天线的口径 米，深度 米，信号处理中心 位于焦点处，以顶点 为坐标原点，建立如 图2所示的平面直角坐标系 ，则该抛物线的方程为（ ） A． B． C． D． 5．若直线 （ ， ）平分圆 ，则 的最小值是（ ） A．2 B．5 C． D．6．设直线 与直线 的方向向量共线，则 与 之间的距离 为（ ） A． B． 或 C． 或 D． 7．三角形每条高的垂足向另两边所作垂线的垂足，共六个点，这六个点共圆，该圆称为三角形的泰勒圆， 已知点 、 、 ，则 的泰勒圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 8．P是双曲线 的右支上一点，M、N分别是圆 和 上的点，则 的最大值为 A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 9．已知椭圆 与椭圆 ，则（ ） A． B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 10．已知圆 ： 和圆 ： 交于两点，点P在圆 上运动，点 Q在圆 上运动，则下列说法错误的是（ ） A．圆 和圆 关于直线 对称 B．圆 和圆 的公共弦长为C． 的取值范围为 D．若 为直线 上的动点，则 的最小值为 11．到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设 和 且 ， 动点 满足 ，动点 的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线 ， 则下列描述正确的是（ ） A．曲线 的方程是 B．曲线 关于坐标轴对称 C．曲线 与 轴没有交点 D． 的面积不大于 三、填空题 12．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线 的一条渐近线过点 ，则 的共轭双曲线的标准方程为 ． 13．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 交于 ， 两点，若 ，则线段 中点的 纵坐标为 . 14．已知直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是 ． 四、解答题 15．（1）求经过点 ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （2）求经过两条直线 与 的交点，且垂直于直线 的直线方程. 16．已知抛物线 ： 的准线与 轴相交于点 ，(1)求抛物线 的方程； (2)若过点 的直线 与抛物线 相切，求直线 的方程. 17．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，且经过点 ． (1)求双曲线 的方程； (2)直线 与双曲线 相交于 ， 两点，若线段 的中点坐标为 ，求直线 的方程． 18．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离 之比值为常数 的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点P到 的距离是点P 到 的距离的2倍. (1)求点P的轨迹Ω的方程； (2)若直线 为 ，证明：无论a为何值，直线 与轨迹Ω恒有两个交点； (3)过点B作直线 交轨迹Ω于P，Q两点，P，Q不在y轴上.过点B作与直线 垂直的直线 交轨迹Ω于 E，F两点，记四边形 的面积为S，求S的最大值. 19．在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的离心率为 ，左、右顶点分别为A、B， 上顶点为C，且 . (1)求椭圆 的方程； (2)过点 作斜率不为0的直线 与椭圆 交于E、F两点（点E在点F的左侧），证明：直线 与 的交点在定直线上； (3)过点 的直线 与椭圆 交于M、N两点（点M在点N的上方），过点M作直线 轴，分别与 、 交于点P，Q，证明：P是 的中点.参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B B C B C D AC ABC 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】直线 垂直于x轴，所以直线 的倾斜角是 . 故选：B 2．A 【详解】因为 ， ，所以 ， ， 所以椭圆 的面积为 . 故选：A. 3．B 【详解】因方程 表示焦点在y轴上的双曲线，则有 ，解得 ， 所以实数m的取值范围为 . 故选：B. 4．B 【详解】由题意，结合图形可知， ，由于该抛物线开口向右，可设 ，即 ， 解得 ，于是 . 故选：B 5．C 【详解】解：直线平分圆，则直线过圆心，即 ， 所以 (当且仅当 时，取等号) 故选：C. 6．B【详解】由 与 的方向向量共线可知 与 的斜率相等，故 ， 解得 或2，代回得到 或 ， 故 与 之间的距离 或 ． 故选：B． 7．C 【详解】因为点 、 、 ， 则 ， ， ， 所以， 是正三角形，如下图所示： 设 、 、 分别为边 、 、 的中点，则 、 、 ， 则 ， ， ， 过点 分别作 、 ，垂足分别为点 、 ， 因为 ， ，则 ， 因为 为 的中点，则 为 的中点，同理可知， 为 的中点， 设 的泰勒圆与各边的其它交点分别为 、 、 、 ， 易得 、 、 、 、 、 ，由对称性知，等边 的中心 为其泰勒圆的圆心， 且 ， 同理可得 ， 因此，等边 的泰勒圆的方程为 ， 故选：C. 8．D 【详解】解：易得双曲线 的焦点分别为 (-5，0)， (5，0)，且这两点刚好为两圆的圆心，由 题意可得，当且仅当P与M、 三点共线以及P与N、 三点共线时所求的值最大，此时 = =6+3=9 9．AC 【详解】由题意，在 中，有 ， ， ， ∴短半轴为3，长半轴为5，焦距为 ，离心率 ， 在 中，有 ， ， ， ∴长半轴为 ，短半轴为 ，焦距为 ， ，解得： ，离心率 ， ∴AC正确，BD错误. 故选：AC. 10．ABC【详解】对于A， ： 和圆 ： ， 圆心和半径分别是 ， ， ， ， 则两圆心中点为 ，若圆 和圆 关于直线 对称， 则直线是 的中垂线，但两圆心中点 不在直线 上，故A错误； 对于B，两圆相减可得 和 的公共弦所在直线为 ， 而 到直线 的距离 ， 故公共弦长为 ，故B错误； 对于C，圆心距为 ，当点P和Q重合时， 的值最小， 当P，Q， ， 四点共线时， 的值最大为 ， 可得 的取值范围为 ，故C错误； 对于D，如图，设 关于直线 的对称点为 ， 则 ，解得 ， 即 关于直线 对称点为 ，连接 交直线于点M，此时 最小， ， 即 的最小值为 ，故D正确. 故选：ABC. 11．ABD 【详解】设 ，由 ， 得 ， 化简得 ，故A正确； 该方程中把 改为 或把 改为 方程均不变，故B正确； 在方程 中，令 得 ， 当 时， 或 ，当 时， ，当 时， ，故C不正确； ，故D正确. 故选：ABD. 12． 【详解】解：双曲线 的渐近线方程为 ，一条渐近线过点 ，可得 ， ，故 的方程为 ，即 ， 所以 的共轭双曲线的标准方程为 ．故答案为： 13．2 【详解】设点 ， .易得抛物线 的焦点为 ，准线方程为 . 由抛物线定义得 ， 所以 ，故 ， 即线段 中点的纵坐标为2. 故答案为：2. 14． 【详解】当 时，曲线 即 ， 两边平方，整理得 ， 表示以 为圆心，半径 的圆的右半圆； 当 时，曲线 即 ， 两边平方，整理得 ， 表示以 为圆心，半径 的圆的左半圆， 直线 表示经过定点 、斜率为 的直线， 因此，直线 与曲线 有两个不同的交点， 就是直线 与两个半圆组成的图形有两个交点， 当直线 与右半圆 有两个交点时，记点 ， 可得圆心到直线的距离小于半径，且直线的斜率小于或等于 的斜率， 且 ，解得 ；当直线 与左半圆 有两个交点时，由对称性可得 ； 综上所述，实数 的取值范围是 . 故答案为： . 15．（1） 或 ；（2） . 【详解】（1）①当直线过原点时，所求直线方程为 ， ②当直线不过原点时，设方程为 ，将 代入得 ， 故所求直线方程为 ， 综上，所求直线方程为 或 ； （2）联立 与 ，得交点坐标为 ， 又垂直于直线 ，则斜率为 ， 故所求直线的方程为 ，即 . 16．(1) (2) 或 【详解】（1）抛物线 ： 的准线与 轴相交于点 ，所以 ，则 ，抛物线方程为 ； （2）当直线 的斜率不存在时，也抛物线 无交点，不合要求， 当直线 的斜率存在时，设为 ，与抛物线 联立， 得 ，因为直线 与抛物线 相切， 所以 ，解得 或 ， 所以切线方程为 或 . 17．(1) ； (2) . 【详解】（1）由题意，知 ，解得 ，故双曲线 的方程为 ． （2）设 ，则 ，两式相减，得 ， 整理得 ． 因为线段 的中点坐标为 ，所以 ， 所以直线 的斜率 ， 故直线 的方程为 ，即 ． 经检验，直线 与双曲线 相交，所以直线 的方程为 . 18．(1) (2)证明见解析 (3)7 【详解】（1）解：设点 为所求轨迹的任意一点， 因为点P到 的距离是点P到 的距离的2倍，即 ， 即 ，化简得 ， 所以点P的轨迹Ω的方程为 . （2）证明：直线 方程为 ，由 ，解得 ， 所以直线 过定点 ， 因为 ，所以无论a为何值，直线 与轨迹Ω恒有两个交点. （3）解：由题易知直线 的斜率k存在，设直线 的方程为 ，即 ，则圆心 到直线 的距离 ， 所以 ， 若 ，则直线 的斜率不存在， 由 ， ，则 ； 若 ，则直线 的方程为 ，即 ， 则圆心 到直线 的距离 ， 所以 ， 则 ， 当且仅当 即 时，取等号， 综上所述，因为 ，所以S的最大值为7. 19．(1)(2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由椭圆 ： ，可得 ， ， ， 因为 ，可得 . 又因为 ，且 ，解得 ， 所以椭圆 的方程为 . （2）由题知，直线 必存在斜率且斜率不为0，且 ， ， ， 设直线 的方程为 ， 联立方程组 ，整理得 ， 所以 ，解得 ， 设 ， ，则 ， ，所以 ， 由直线 的斜率不为0知： 且 ， 则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ， 令 ， 可得 ， 所以 ，所以直线 与 的交点在定直线 上. （3）当直线 与x轴平行时，此时直线方程为 ，不合题意，则设直线 的方程为 ，设 ， ， ， 直线 的方程为 ，直线 的方程为 ， 联立方程组 ，可得 ，所以点 ， 联立方程组 ，整理得 ， ， 由韦达定理可得 ， ， 因为点 在直线 上，所以 ，所以 ， 所以 ， ， 由 ，得 ， 又因为 ，则直线 的方程为 ， 令 ，则 ， 则 ， 所以 ， 又由 ，即 ， 所以 ，因为 ，则 ， 又点P，Q，M的纵坐标相同，所以P为 的中点.