文档内容
2024-2025 学年江西省六校高二（下）第一次联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在正项等比数列{a }中，若log (a a )=4，则a a 等于( )
n 2 2 8 4 6
A. 16 B. 8 C. 32 D. 4
1
2.与直线y=− x垂直，且与曲线y=ex+x+1相切的直线l与两坐标轴围成三角形的面积为( )
2
1 1
A. B. 1 C. D. 2
2 3
1−an+2
3.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1= (a≠1,n∈N∗)，在验证n=1成立时，左边的项是( )
1−a
A. 1 B. 1+a C. 1+a+a2 D. 1+a+a2+a4
1
4.在数列{a }中，a =4，a + =1(n≥2,n∈N∗)，则a =( )
n 1 n a 2025
n−1
3 1
A. 4 B. C. − D. 1
4 3
5.若函数 y=f(x) 在 x=x 处可导，则 lim¿ f(x 0 −3Δ Δ x x )−f(x 0 ) ¿ 等于( )
0
Δx→ 0
A. f ′(x ) B. −f ′(x ) C. 3f ′(x ) D. −3f ′(x )
0 0 0 0
3π π
6.已知等差数列{a }中，a = ，设函数f(x)=√2sin(2x+ )+2，记y =f(a )，则数列{y }的前13
n 7 8 4 n n n
项和为( )
A. 26 B. 28 C. 24 D. 30
4
7.若过点(1,t)可以作曲线y=x− (x>0)的两条切线，则t的取值范围是( )
x
A. t>−3 B. t<1 C. −30，S =0，则( )
n n 1 20
A. 数列{a }为递增数列 B. S =S
n 8 12
C. 当且仅当n=10时，S 取到最大值 D. a +a >0
n 10 12
11.斐波那契数列(Fibonaccisequence)，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多.斐波那契以兔子繁殖为
例而引入，故又称为“兔子数列”，在数学上斐波那契数列以a =a +a (n≥3,n∈N)的递推方法定
n n−1 n−2
义，已知a =1，a =1，则( )
1 2
A. a +a +a +⋯+a =a B. 3a =a +a
1 3 5 2023 2025 n n−2 n+2
C. a D.
6=3 a +a +a +⋯+a =a −1
a 2 4 6 2024 2025
4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 ______．
f(x) f ′(x) f(x)=x3+x2f ′(1)+4x f ′(2)=
13.《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道“今有女善织，日益功疾”的题.若第一天织布6
尺(市制长度单位)，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，现1个月(按30天计)共织360尺布，则
第2天比前一天多织布______尺.(结果用分数表示)
2
{ ln(3x−2),x>
14.若函数 3 ，在 处的切线与 的图像有三个公共点，则 的范围
f(x)= x=1 y=f(x) k
2
−x2−4x+k,x≤
3
______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设点 为曲线 ： 上任意一点．
P(x ,y ) C f(x)=x3−x
0 0
第 页，共 页
2 1(1)求曲线C：y=f(x)在点p处切线倾斜角的取值范围；
(2)求过点(−1,0)且与曲线y=f(x)相切的直线方程．
16.(本小题15分)
1
已知数列{a }的首项a =1，{a }的前n项和为S 且满足nS −(n+1)S − (n2+n)=0．
n 1 n n n+1 n 2
S
(1)证明：数列{ n }是等差数列；
n
若 ，求数列 的前 项和 ．
(2) b =a ⋅2n {b } n T
n n n n
17.(本小题15分)
已知等差数列{a }为递增数列，且满足a a =63，S =64．
n 4 5 8
(1)求{a }的通项公式a ；
n n
4n
(2)若数列{c }满足c =(−1) n−1 ，求{c }的前n项和的最大值、最小值．
n n a a n
n n+1
18.(本小题17分)
已知函数 ， ．
f(x)=ex−2a g(x)=lnx
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若a=1，是否存在直线与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切？若存在求出所有这样的直线；若不存在，
请说明理由．
19.(本小题17分)
n(n+1)
已知数列{a
n
}满足
a a a ⋯a =2 2 (n∈N ).
1 2 3 n +
(1)求数列{a }的通项公式a ；
n n
设数列 的前 项和为 ，若不等式 对任意的 恒成立，求 的取值范围；
(2) {a } n S kS −16≤S2 n∈N k
n n n n +
(3) 记 b = 1 ， c = b n −b n+1 ，数列 {c } 的前 n 项和为 T ，求证： T < 3．
n log a2 n √b n n n 2
2 n n
第 页，共 页
3 1参考答案
1.A
2.B
3.C
4.C
5.D
6.A
7.D
8.C
9.ABC
10.BC
11.BD
12.−12
12
13.
29
61 19
14.(− , ]
4 9
15.解： 因为 ，所以 ，
(1) f(x)=x3−x f ′(x)=3x2−1≥−1
设P出的切线斜率为k，切线的倾斜角为θ，
π
则k=tanθ≥−1，又θ∈(0,π)，且θ≠ ，
2
π 3π
所以倾斜角θ的范围为[0, )∪[ ,π)；
2 4
设过 的切线切曲线 于点 ，
(2) (−1,0) y=f(x) (x ,x3−x )
0 0 0
则切线方程为 ，又其过点 ，
y−(x3−x )=(3x2−1)(x−x ) (−1,0)
0 0 0 0
所以 ，
0−(x3−x )=(3x2−1)(−1−x
)
0 0 0 0
第 页，共 页
4 11
整理得到(2x −1)(x +1) 2=0，解得x = 或x =−1，
0 0 0 2 0
1
当x = 时，切线方程为x+4 y+1=0；
0 2
当x =−1时，切线方程为2x−y+2=0，
0
所以所求切线方程为2x−y+2=0或x+4 y+1=0．
1
16.解：(1)证明：因为nS −(n+1)S − (n2+n)=0，
n+1 n 2
1
所以nS −(n+1)S = n(n+1)，
n+1 n 2
S S 1
所以 n+1 − n= ，又a =1，
n+1 n 2 1
S 1
所以数列{ n }是以首项为1，公差为 的等差数列；
n 2
S 1 1 1 1
(2)由(1)可知 n= n+ ，所以S = n2+ n，
n 2 2 n 2 2
1 1
所以S = (n−1) 2+ (n−1)，n≥2，
n−1 2 2
1 1 1 1
两式相减可得a = n2+ n− (n−1) 2− (n−1)=n，n≥2，
n 2 2 2 2
又a =1也满足上式，
1
所以a =n；
n
所以 ，
b =a ⋅2n=n⋅2n
n n
所以 ，
T =1×2+2×22+⋯+n×2n
n
所以 ，
2T =1×22+2×23+⋯+n×2n+1
n
所以
−T =2+22+⋯+2n−n×2n+1
n
第 页，共 页
5 12(1−2n
)
= −n⋅2n+1=2n+1−2−n⋅2n+1，
1−2
所以 ．
T =2+(n−1)2n+1
n
17.解：(1)等差数列{a }为递增数列，且满足a a =63，S =64，
n 4 5 8
{ a a =63
4 5
所以 (a +a )×8 ， a 0
n n + n
所以
S2+16
16 ，
k≤ n =(S + )
S n S n
n n
16
设t=S ，则易知y=t+ 在t∈(0,4)上单调递减，在t∈(4,+∞)上单调递增，
n t
因为n∈N∗，
16
所以当n=2时，S + =10，
2 S
2
16 26
当n=3时，S + = ，
3 S 3
3
26
所以k的取值范围为(−∞, ]；
3
证明：因为 1 1 ，所以 是递减数列，
(3) b = = {b }
n log a2 2n n
2 n
所以 ，
√b <√b
n+1 n
所以 b n −b n+1= 2(b n −b n+1 ) < 2(b n −b n+1 ) =2(√b −√b ) ，
√b 2√b √b +√b n n+1
n n n n+1
所以
b −b b −b b −b 3
T = 1 2+ 2 3+…+ n n+1<2(√b −√b +√b −√b +…+√b −√b )=2(√b −√b )<2√b =√2<
n √b √b √b 1 2 2 3 n n+1 n n+1 1 2
1 2 n
第 页，共 页
8 1
