文档内容
2023 年下学期期中考试试卷
高三数学
本试卷分为问卷和答卷.考试时量120分钟，满分150分.请将答案写在答题卡上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ，若复数 为纯虚数，则复数 在复平面内对应的点所在的象限为
（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 若向量 ，则“ ”是“向量 的夹角为钝角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
.
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 设等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，若 ，且 ，则 （ ）
.
A B. C. 1 D. 3
5. 已知某种垃圾的分解率为 ，与时间 （月）满足函数关系式 （其中 ， 为非零常数），若经
过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，
至少需要经过（ ）（参考数据： ）
A. 48个月 B. 52个月 C. 64个月 D. 120个月
6. 已知函数 的部分图象如图所示，其中 .在已知 的条件
下，则下列选项中可以确定其值的量为（ ）
第1页/共6页
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
7. 已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 ，当 时， 恒成立，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
的
9. 关于函数 ，下列结论正确 是（ ）
A. 的最小正周期为 B. 的最大值为2
C. 在 上单调递减 D. 是 的一条对称轴
10. 设等比数列 的公比为 ，其前n项和为 ，前n项积为 ，并满足 ， ，
，下列结论正确的有（ ）
A. B.
第2页/共6页
学科网（北京）股份有限公司C. 是数列 中的最大项 D. 是数列 中的最大项
11. 已知过抛物线T： 的焦点F的直线l交抛物线T于A，B两点，交抛物线T的准线与点
M， ， ，则下列说法正确的有（ ）
A. 直线l的倾斜角为150° B.
的
C. 点F到准线 距离为8 D. 抛物线T的方程为
12. 如图，在直四棱柱 中， 分别为侧
棱 上一点， ，则（ ）
A.
B. 可能为
C. 的最大值为
D. 当 时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知 ，则 _____.
14. 某班派遣 五位同学到甲，乙，丙三个街道进行打扫活动，每个街道至少有一位同学去，
第3页/共6页
学科网（北京）股份有限公司至多有两位同学去，且 两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有_________种.
15. 已知体积为96的四棱锥 的底面是边长为 的正方形，底面ABCD的中心为 ，四棱锥
的外接球球心O到底面ABCD的距离为2，则点P的轨迹的长度为_________.
16. 已知函数 有两个极值点 ，且 ，则实数m的取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列 满足
（1）令 ，求证：数列 为等比数列；
（2）求数列 的前 项和为 .
18. 如下图，在直三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点，且 ，
.
（1）求三棱锥的 体积；
（2）求直线 与平面 所成角 的余弦值.
19. 某公司有A，B，C型三辆新能源电动汽车参加阳光保险，每辆车需要向阳光保险缴纳800元的保险金，
若在一年内出现事故每辆车可赔8000元的赔偿金（假设每辆车每年最多赔偿一次）.设 型三辆车一
第4页/共6页
学科网（北京）股份有限公司年内发生事故的概率分别为 ， ， ，且每辆车是否发生事故相互独立.
（1）求该公司获赔的概率；
（2）设获赔金额为X，求X的分布列和数学期望.
20. 在 中，a、b、c分别为角 所对的三边，若
（1）求角C；
（2）若 ，求 的最大值.
21. 如图，椭圆 ，点 在椭圆C上， 为其上下顶点，且
，过点P作两直线 与 分别交椭圆C于 两点，若直线 与 的斜率互为相反数.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求 的最大值.
.
22 已知函数 .
（1）若 在 上为单调函数，求实数a的取值范围：
（2）若 ，记 的两个极值点为 ， ，记 的最大值与最小值分别为
第5页/共6页
学科网（北京）股份有限公司M，m，求 的值.
第6页/共6页
学科网（北京）股份有限公司
