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2023 年下学期期中考试试卷
高三数学
本试卷分为问卷和答卷.考试时量120分钟，满分150分.请将答案写在答题卡上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据并集的定义可求得集合 .
【详解】因为集合 ， ，则 .
故选：B.
2. 已知 ，若复数 为纯虚数，则复数 在复平面内对应的点所在的象限为
（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知列式解出 ，即可根据复数的运算得出答案.
【详解】 复数 是纯虚数，
，且 ，故 ，
.
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学科网（北京）股份有限公司故复数 在复平面内对应的点在第一象限，
故选：A.
3. 若向量 ，则“ ”是“向量 的夹角为钝角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量 的夹角为钝角求出m的范围，即可判断“ ”和“向量 的夹角为钝角”之间
的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】向量 ，由向量 的夹角为钝角，
即有 ，解得 且 ，
即“ ”不能推出“ 且 ”即“向量 的夹角为钝角”；
“向量 的夹角为钝角”即“ 且 ”能推出“ ”；
故“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件，
即“ ”是“向量 的夹角为钝角”的必要不充分条件．
故选：B．
4. 设等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，若 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式与前 项和的定义，即可求出公差 的值.
【详解】解：等差数列 中，
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学科网（北京）股份有限公司，
所以 ；
又 ，所以 ；
所以 ，解得 .
故选：A.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与前 项和的定义应用问题，是基础题.
5. 已知某种垃圾的分解率为 ，与时间 （月）满足函数关系式 （其中 ， 为非零常数），若经
过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，
至少需要经过（ ）（参考数据： ）
A. 48个月 B. 52个月 C. 64个月 D. 120个月
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件，利用待定系数法求出函数关系式，然后再代入数值计算即可.
【详解】由题意可得 ，解得 ，
所以 ，
这种垃圾完全分解，即当 时，有 ，即 ，
解得 .
故选：B
6. 已知函数 的部分图象如图所示，其中 .在已知 的条件
下，则下列选项中可以确定其值的量为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象可知， 是函数 两个零点，即可得 ，利用已知条件即可确定
的
的值.
【详解】根据图象可知，函数 的图象是由 向右平移 个单位得到的；
由图可知 ，利用整体代换可得 ，
所以 ，若 为已知，则可求得 .
故选：B
7. 已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为 ,所以 ,
即 ,即 ,所以 .
如图,设 ,
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学科网（北京）股份有限公司是
由题知, 等腰直角三角形,
AB边上的高 ,
所以 ,
,
.
故选:D.
8. 已知函数 ，当 时， 恒成立，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】 不等式不恒成立，确定 此时， 恒成立，着重考虑 的情形，
不等式变形为 ，再变形为 ，因此引入函数 ，利用导数证明它
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学科网（北京）股份有限公司在 上是增函数，不等式又变形为 ， ，又引入函数 ，由导数求得其
最大值即得 的范围．
【详解】由题意，若 显然 不是恒大于零，故 .（由4个选项也是显然可得）
，则 在 上恒成立；
当 时， 等价于 ，
令 在 上单调递增.
因为 ，所以 ，即 ,
再设 ，令 ，
时， ， 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减，
从而 ，所以 .
故选：D．
【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题，解题关键是问题的化简与转化，首先确定 ，其次
确定 恒成立，在 时，把不等式变形，通过新函数的单调性逐步转化，最终分离参数转化为求
函数的最值．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 关于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为 B. 的最大值为2
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学科网（北京）股份有限公司C. 在 上单调递减 D. 是 的一条对称轴
【答案】AD
【解析】
【分析】依题意可得 ，再根据正弦函数的性质判断即可.
【详解】因为 ，
所以 ，所以 的最小正周期为 ，故A正确．
当 时 取最大值，且最大值为 ，故B错误．
当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
故函数 在 上单调递增，故C错误．
因为 ，
所以 是 的一条对称轴，故D正确.
故选：AD
10. 设等比数列 的公比为 ，其前n项和为 ，前n项积为 ，并满足 ， ，
，下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. 是数列 中的最大项 D. 是数列 中的最大项
【答案】ABD
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】由已知分析出 ， ， ，即可判断各个选项．
【详解】因为 是公比为 的等比数列，且 ， ， ，
若 ，则 为增数列，且 ，则 不成立，故假设不成立，
所以 ， ， ，
对于A， ，故A正确．
对于B， ，故B正确．
对于C，根据上面分析，等比数列 中的每一项都为正值，所以 无最大值，所以数列 无最大项，
故C错误．
对于D，等比数列 中从 到 的每一项都大于1，从 开始后面每一项都小于1且大于0，所以
是数列 中的最大项，故D正确．
故选：ABD．
的
11. 已知过抛物线T： 焦点F的直线l交抛物线T于A，B两点，交抛物线T的准线与点
M， ， ，则下列说法正确的有（ ）
A. 直线l的倾斜角为150° B.
C. 点F到准线的距离为8 D. 抛物线T的方程为
【答案】BD
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】如图，由题意和抛物线的定义可得 、 ，
即 可 判 断 AB ； 联 立 直 线 l 方 程 和 抛 物 线 方 程 ， 根 据 韦 达 定 理 和 抛 物 线 的 定 义 可 得
，解出p即可判断CD.
【详解】过点A、B分别作AC、BD垂直于准线，垂足分别为C、D，则 ，
因为 ，所以 ， ，
由 得 ，
在 中， ，所以锐角 ，
所以该直线l的倾斜角为 .
由抛物线的对称性知，当点A位于第四象限，同理可得该直线l的倾斜角为 .
综上，直线l的倾斜角为30°或150°，故A错误，B正确．
设直线l的方程为 ， ， ，
由 ，消去y得 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以点p到准线的距离为4，抛物线T的方程为 ，故C错误，D正确．
故选：BD．
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学科网（北京）股份有限公司12. 如图，在直四棱柱 中， 分别为侧
棱 上一点， ，则（ ）
A.
B. 可能为
C. 的最大值为
D. 当 时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题设结合余弦定理可得 ，进而有 ，再由线面垂直的判定、性质判断A；
构建空间直角坐标系，应用线线角的向量求法求 、 的余弦值或范围判断B、C；向量法直
线位置关系判断D.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题设，四边形 为等腰梯形，且 ，
由 ，
所以 ，
又 ，结合题图知： ，即 ，
所以 ，则 ，即 ，
由题设 面 ， 面 ，则 ，
， 面 ，故 面 ， 面 ，
所以 ，A对；
由 两两垂直，可构建如下图示的空间直角坐标系 ，
若 ，则 ，
所以 ，则
，
所以 不可能为 ，B错；
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学科网（北京）股份有限公司由 ，则 ，故
，
令 ，则 ，
所以 ，C对；
时 ，显然 ，即 ，D对.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：利用已知及线面垂直的性质、判定确定 两两垂直，应用向量法判断其
它各项为关键.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知 ，则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项求值.
【详解】 ，
其二项展开式的通项为 ， ，
令 ，即 ，
所以 ，
故答案为： .
14. 某班派遣 五位同学到甲，乙，丙三个街道进行打扫活动，每个街道至少有一位同学去，
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学科网（北京）股份有限公司至多有两位同学去，且 两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有_________种.
【答案】18
【解析】
【分析】先安排 ，再将剩余3人分别两组，和两个街道进行全排列，求出答案.
【详解】由题意得，学生的分配人数分别为2，2，1，
由于 两位同学去同一个街道，故先从3个街道中选择1个安排 ，有 种，
再将剩余3人分别两组，和两个街道进行全排列，有
故不同的派遣方法有 种.
故答案为：18
15. 已知体积为96的四棱锥 的底面是边长为 的正方形，底面ABCD的中心为 ，四棱锥
的外接球球心O到底面ABCD的距离为2，则点P的轨迹的长度为_________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得 到底面 的距离为6，进而可求 外接球的半径 ，即可知 与
不可能在面 的两侧，则 在垂直于 且与球心 距离为4的平面与 的外接球的交线
上，即可求 的轨迹长度.
【详解】由题意可知：点P到底面ABCD的高 ，
又因为四棱锥 的外接球的球心O到底面ABCD的距离为2，
设外接球半径为R，
因为底面ABCD的中心为 ，所以 平面ABCD，
则 ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以点O与点P不可能在平面ABCD的两侧，如图所示，
所以点P在垂直于 且与球心O的距离为4的平面于 的外接球的交线上，在以 为半径
的圆 上，
因为 ，所以 ，故点P的轨迹长度为 ．
故答案为： .
16. 已知函数 有两个极值点 ，且 ，则实数m的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据极值点的定义，结合函数零点的定义，通过构造函数，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】依题意， 有两个极值点等价于， 有两个不同实根 ，
且 ，
令 ，得 ，
设 ， ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 单调递减，在 单调递增，又当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，即 ，
所以 ，则 ， ，
作出 与 的大致图象如下：
，
所以 时， ．
故答案为： .
【点睛】关键点睛：根据函数极值的定义，结合构造函数法、数形结合法进行求解是解题的关键.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列 满足
（1）令 ，求证：数列 为等比数列；
（2）求数列 的前 项和为 .
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由等比数列的定义判断，即可证明；
（2）根据题意，结合分组求和法，再由等差数列求和以及等比数列求和公式，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴数列 是以首项为 ，公比为 等比数列；
【小问2详解】
由（1）可知： ，
∴ ，
从而
故 .
18. 如下图，在直三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点，且 ，
.
（1）求三棱锥的 体积；
（2）求直线 与平面 所成角 的余弦值.
【答案】（1）
（2）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）以 为底面， 为高，可求得三棱锥 的体积；
（2）利用坐标法求线面夹角正弦值，进而可得余弦值.
【小问1详解】
三棱柱 为直三棱柱，
平面 平面 ，且平面 平面 ，即平面 为矩形，
， ，且点 为 中点，
，且 为直角三角形， ，
平面 ，
又点 为 中点，
，
，
，
，即 ，
所以 ；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司如图所示，以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，
则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即直线 与平面 所成角 的余弦值为 .
19. 某公司有A，B，C型三辆新能源电动汽车参加阳光保险，每辆车需要向阳光保险缴纳800元的保险金，
若在一年内出现事故每辆车可赔8000元的赔偿金（假设每辆车每年最多赔偿一次）.设 型三辆车一
年内发生事故的概率分别为 ， ， ，且每辆车是否发生事故相互独立.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求该公司获赔的概率；
（2）设获赔金额为X，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）由每辆车发生事故相互独立，可通过对立事件的概率计算即可;
（2）由题意可得获赔金额可能为0，8000，16000，24000元，分别计算出概率，列出分布列，求出期望即
可.
【小问1详解】
设该公司获赔的概率为 ，
则 .
【小问2详解】
由题意可知： ，8000，16000，24000.
则 ;
;
;
.
X 0 8000 16000 24000
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学科网（北京）股份有限公司P
.
20. 在 中，a、b、c分别为角 所对的三边，若
（1）求角C；
（2）若 ，求 的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先应用坐标的数量积公式计算，再应用正弦定理余弦定理计算即可；
（2）先应用平面向量基本定理，再求导函数得出单调性得出最大值.
【小问1详解】
由已知得
由正弦定理得：
由余弦定理得：
∵ ，∴
【小问2详解】
∵
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴
而
∴ 在 上递增， 递隇
，故 的最大值为 .
21. 如图，椭圆 ，点 在椭圆C上， 为其上下顶点，且
，过点P作两直线 与 分别交椭圆C于 两点，若直线 与 的斜率互为相反数.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求 的最大值.
【答案】（1）
（2）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据 在椭圆上以及 求解出 的值，则椭圆方程可求；
（2）根据 点坐标设出 的方程，然后分别求解出 的坐标，结合两点间距离公式以及基本不等式
求解出 的最大值.
【小问1详解】
因为点 在椭圆 上，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以椭圆的标准方程为： ；
【小问2详解】
由题意可知 斜率存在，设直线 为 ，则直线 为 ，
联立 ，整理得 ，
由 ，解得 ，
又由 可得 ，则 ，
同理可得 ， ，
所以
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学科网（北京）股份有限公司，
当且仅当 即 时等号成立，且满足 ，
因此， 的最大值为 ．
22. 已知函数 .
（1）若 在 上为单调函数，求实数a的取值范围：
（2）若 ，记 的两个极值点为 ， ，记 的最大值与最小值分别为
M，m，求 的值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）求导 .根据 单调，转化为 对
恒成立求解
（2）由（1）知 ， 是 的两个根，不妨设 ，令
. 根据 ，确定 ，将 转化为
. 令 ，用导数法研究其单调性求最值.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1） 的定义域为 ，
.
因为 单调，所以 对 恒成立，
所以 ，恒成立，
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ；
（2）由（1）知 ， 是 的两个根.
从而 ， ，不妨设 ，
则 .
因为 ，所以t为关于a 减函数，所以 .
的
.
令 ，则 .
因为当 时， 在 上为减函数.
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学科网（北京）股份有限公司所以当 时， .
从而 ，所以 在 上为减函数.
所以当 时， .
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
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学科网（北京）股份有限公司
