文档内容
河北省保定市六校联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考
数学试题
一、单选题
1．直线 的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
2．双曲线 的焦点到其一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．1
3．设直线 的方程为 ，则直线 的倾斜角 的范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在四面体 中， ， ， ，点M在 上，且 ，N为 的中
点，则 （ ）
A． B．C． D．
6．已知点 ，直线 与直线 交于点 ，则 的值可以为
（ ）．
A．7 B．6 C．8 D．19
7． 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 ，那么直线 与平面 所成角的
余弦值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知 分别为椭圆 的左、右焦点，从点 射出的一条
光线经直线 反射后经过点 ，且反射后的光线与 在第四象限交于点 ．若 ，则
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知曲线 ，下列结论正确的有（ ）
A．若 ，则 是椭圆 B．若 ，则 是焦点在 轴上的椭圆
C．若 ，则 是双曲线 D．若 ，则 是两条平行于 轴的直线
10．（多选）已知圆 ，直线 .则以下几个命题正确
的有（ ）
A．直线 恒过定点 B．圆 被 轴截得的弦长为
C．直线 与圆 恒相交 D．直线 被圆 截得最长弦长时，直线 的方程为11．已知正方体 的棱长为2，P为平面ABCD内一点，点M，N，Q分别是棱 ， ，
的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．过M，N，Q三点的平面截正方体所得的截面图形是正六边形
B．直线PM与直线QN是异面直线
C．当P在四边形ABCD内部（含边界）时，三棱锥 体积的最大值为1
D．若P到棱CD， 的距离相等，则点P的轨迹是双曲线
三、填空题
12．若向量 ， ， ，则 的值为
13．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为
m，行车道总宽度BC为 m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶
车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高
度是 ．
14．已知曲线 .
（1）若 ，则由曲线 围成的图形的面积是 ．
（2）曲线 与椭圆 有四个不同的交点，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题15．（1）求平行于直线 ，且与它的距离为 的直线的方程；
（2）已知圆 ，直线l过点 ，当直线l与圆C相切时，求直线l的方程.
16．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 是 的中点，
作 交 于点 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的大小.
17．（1）求圆心在直线 上，与x轴相切，且被直线 截得的弦长为 的圆的方程；
（2）M是一个动点，MA与直线 垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线 垂直，垂足B位于第
四象限.若四边形OAMB（O为坐标原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程.
18．如图，在三棱柱 中，四边形 为菱形，E为棱 的中点， 为等边三角形．
(1)求证： ；
(2)若 ，求平面 和平面 夹角的余弦值．
19．已知椭圆 的右焦点为 上一动点 到 的距离的取值范围为 .
(1)求 的标准方程；(2)设斜率为 的直线 过 点，交 于 ， 两点.记线段 的中点为 ，直线 交直线 于点
，直线 交 于 ， 两点.
求 的大小；
①
求四边形 面积的最小值.
②1．A
【详解】因为直线 的斜率为 ，所以直线的一个方向向量为 ，
又因为 与 共线，所以 的一个方向向量可以是 ，
故选：A.
2．B
求出焦点坐标及渐近线的方程，由点到直线的距离公式求出距离.
【详解】解：由 ，得 ，渐近线方程为 ，
由双曲线的对称性，不妨取双曲线的右焦点 ，一条渐近线方程为 ，
则焦点 到渐近线 的距离为
.
故选：B.
3．C
直接利用直线方程的应用求出直线的斜率，进一步求出倾斜角的范围；
【详解】直线 的方程为 ，设直线的倾斜角为 ，
当 时， ，
②当 时，直线的斜率 ，
由于 或 ，
所以 , , ，
所以 ，
综上所述： ；
故选：C．4．C
根据点与圆的位置关系以及二元二次方程表示圆的条件可得不等式，解不等式即可．
【详解】由已知圆 ，则 ，
又点 在圆 的外部，
则 ，
即 ，解得 ，
故选：C．
5．B
根据几何关系，结合向量的线性运算，即可求解.
【详解】
.
故选：B
6．C
由题意确定直线 与 互相垂直，得到点 轨迹，即可求解.
【详解】由题意可知，当 时，直线 与 互相垂直，
当 时， ，直线 与 互相垂直，
且 直线经过定点 ，直线 经过定点 ，所以 .
设 ，则 ，即 ，
则点 在以点 为圆心，5为半径的圆（除去 与 、 ）上，
所以 的最大值为 ，
最小值为 .故 的取值范围是 .
故选：C
7．B
作图，找到直线 在平面 上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面
角；也可将 三条射线截取出来放在正方体中进行分析.
【详解】解法一：
如图，设直线 在平面 的射影为 ，
作 于点G， 于点H，连接 ，
易得 ，又 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，则
，
有
故 ．
已知 ，
故 为所求．
解法二：
如图所示，把 放在正方体中， 的夹角均为 ．建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则 ，
所以 ，
设平面 的法向量 ，则
令 ，则 ，所以 ，
所以 ．
设直线 与平面 所成角为 ，所以 ，
所以 ．
故选B．
8．B
首先求出反射点的坐标，再求反射光线的斜率，根据几何关系，结合余弦定理，构造关于 的齐次方程，
即可求解离心率.
【详解】设从点 射出的一条光线射到直线 的点为 ，反射后经过点 ，所以点 ，所以直线 的斜率为 ，
所以
由 ，得 ， ，
中，根据余弦定理可知 ，整理为 ，
即 ， ，
解得：
所以椭圆 的离心率为 .
故选：B
9．BCD
对于A，举例判断，对于B，将 代入结合椭圆的标准方程判断，对于C，由双曲线的标准方程分析判
断，对于D，将 代入化简变形判断.
【详解】对于A，若 ，则曲线 表示圆，故A错误；
对于B，若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故B正确；
对于C，若 ，则曲线 表示双曲线，故C正确；对于D，若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示两条平行于 轴的直线，故D正确．
故选：BCD
10．ABC
【解析】求出直线所过定点坐标，再根据直线与圆的位置关系判断．
【详解】直线 方程整理得 ，由 ，解得 ，∴直线 过定点
，A正确；
在圆方程中令 ，得 ， ，∴ 轴上的弦长为 ，B正确；
，∴ 在圆内，直线与圆一定相交，C正确；
直线 被圆 截得弦最长时，直线过圆心 ，则 ， ，直线方程为
，即 ．D错．
故选：ABC．
11．ACD
【详解】如图所示，作出各棱中点，在正方体中，根据三角形中位线的关系，可知 ， ，
，且截面各边长都是相等的，是正六边形，所以A正确；
当点P在AB中点T处，由选项A可知，此时PM与直线QN为相交直线，所以B错误；
正方体棱长为2，则线段 ，则正六边形边长均为 ，则 ， ，
所以 ，所以 为直角三角形，可得 ，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ， ， ，
则 ， ， ， ， ，
设平面TRNMSQ的法向量为 ，
则 取 ，则 ，
又 ，则点P到平面TRNMSQ的距离 ，
故当 时，即P与点D重合时，距离最大为 ，
故体积的最大值为 ，所以C正确；
如图所示，过P作 于G，过P作 于E，作 于F，连接PF，
以D为坐标原点，以DC，AD为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，
由于 ， ， ，
又 ， ， 平面 ，故 平面PEF，
又 平面 ，故 ，
设 ，则 ， ，
当P到棱CD， 距离相等时，即 ， ，化简得 ，即点P的轨迹是双曲线，
所以D正确.故选：ACD.
12．5
根据空间向量线性运算的坐标表示，以及空间向量数量积的坐标表示，求出结果.
【详解】因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 .
故答案为：5.
13． /
通过已知数据求出圆弧的半径，再通过由半径算弦心距的方法求出最大高度，最后减去安全高度差即可.
【详解】如下图，圆弧的圆心O在直线MN上，过B作 ，交圆弧于点G，作 于点H，
连接OE、OG.
由题可知， ， ，
设 ，则
在 中，有
即 ，解得
故车辆通过隧道的限制高度是 .
故答案为：
14． 2 或（1）若 ，曲线 ，表示对角线长为2的正方形，可得曲线 围成的图形的面积是2；
（2）椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1， 时，曲线 与椭圆 有四个不同的交点；再考
虑相切时的情形，即可得出结论.
【详解】（1）若 ，曲线 ，易知曲线 关于 轴， 轴对称，
作出当 ， 时 的图象，根据对称性得到曲线 的图象如下图：
曲线 表示对角线长为2的正方形，
故曲线 围成的图形的面积是2；
（2）由（1）可知，曲线 表示对角线长为 的正方形，
因为椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1，
所以当 时，曲线 与椭圆 有四个不同的交点；
当 ， 时，联立 ，
可得 ，
当 时，直线 与椭圆 相切，
此时 ， ， ，
根据曲线 的对称性知，此时曲线 与椭圆 有四个不同的交点，
所以 或 .故答案为：2； 或 .
15．（1） ， ；（2） 或 .
（1）根据直线平行设该直线为 ，根据平行线间的距离公式可得 的值，从而得直线方程；
（2）讨论直线斜率不存在时、斜率存在时，利用圆心到直线的距离为半径即可得直线方程.
【详解】（1）因为所求直线平行于直线 ，所以可设该直线为 ，
又因为所求直线与直线 的距离为 ，所以 ，
可得 ，解得 ， ，
所以平行于直线 ，且与它的距离为 的直线的方程为： ， .
（2）已知圆C的圆心是 ，半径是2，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，即 ，
则圆心C到直线l的距离为 ，解得 ，
故直线l的方程为 .
综上，直线l的方程为 或 .
16．(1)证明见解析
(2)
（1）由向量数量积坐标运算证明 ，结合已知 线面垂直可证；
（2）利用垂直关系找到二面角的平面角，转化为两向量 与 的夹角运算求解可得.
【详解】（1）以 为原点， 所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，设 .依题意得 ，
故 ，
故 ，所以 .
由已知 ，且 ， 平面EFD， 平面EFD，
所以 平面EFD.
（2）已知 ，由（1） 平面EFD，又 平面EFD，
所以 ，且 为锐角，故 是平面 与平面 的夹角.
设点 的坐标为 ，则 ，
由题意 在线段 上，所以 ，
所以 ，
即 ， .
设 ，则 ，
所以 ，点 的坐标为 ，又点 的坐标为 ，
所以 ， .所以 ，
所以 ，即平面 与平面 的夹角大小为 .
17．（1） 或 ；（2） .
（1）方法一：根据圆心位置设圆的方程为 ，利用弦长公式列方程求解 的值，即
可得圆的方程；方法二：设所求的圆的方程是 ，确定圆心与半径，利用弦长公式
列方程求解 的值，即可得圆的方程；
（2）设 ，根据题意可知点M在 和 相交的右侧区域，结合距离公式与面积公式列方程即
可得轨迹方程.
【详解】（1）方法一：因为圆心在 上，与x轴相切，
故设所求圆的方程为 ，
圆心到直线 的距离 ，
则 ，解得 ，或 ，
所以所求圆的方程为 或 .
方法二：设所求的圆的方程是 ，则圆心为 ，半径为 ，
令 ，得 ，
由圆与x轴相切，得 ，即 ，①
又圆心 到直线 的距离为 ，由已知，得 ，即 ，②
又圆心 在直线 上，则 ，③
联立①②③，解得 ， ， 或 ， ， ，
故所求圆的方程是 或 .
（2）设 ，根据题意可知点M在 和 相交的右侧区域，
所以点M到直线 的距离 ，
到直线 的距离 ，
，即 ，
所以动点M的轨迹方程为 .
18．(1)证明见解析
(2)
（1）根据题意，先证 平面 ，再由线面垂直的性质定理即可证明；
（2）根据题意，设AC，AB的中点分别为O，G，连接 ，以O为坐标原点， 的方向分
别为x轴y轴z轴的正方向，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.【详解】（1）
如图，连接 ，与 相交于点F，连接CF， ．
因为四边形 为菱形，所以F为 的中点，且 ．
因为 为等边三角形，所以 ，
因为 ，BF、CF在面ABC内，所以 平面 ．
1
因为 平面 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
（2）设AC，AB的中点分别为O，G，连接 ．
由（1）可知 ，又 ，AB、AC在面ABC内，
1 1
所以 平面 ，OB、OC在面ABC内，则OB、OC与BC垂直，
1 1 1因为 ，所以 平面 ，
因为 为等边三角形，所以 ．
以O为坐标原点， 的方向分别为x轴y轴z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
由 ，得 ，
所以 ．
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 ．
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 ．
设平面 与平面 的夹角为 ，
所以 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
19．(1) ；
(2) ； 3.
① ②（1）设出椭圆半焦距，结合椭圆的定义求出 的取值范围，进而求出 即可.
（2）①设出直线 的方程并与椭圆方程联立，借助韦达定理求出 坐标，利用斜率关系求出 ；
②利用弦长公式求出 ，再表示出四边形面积，借助基本不等式求出最小值.
【详解】（1）设椭圆 的半焦距为c，则 ，
而点 到 的距离的取值范围为 ，
因此 ，解得 ， ，
所以 的标准方程为 .
（2）①由（1）知点 ，设直线 的方程为 ， ，
由 消去 得 ，
， ，
则 ，线段 的中点 ，
直线 的斜率 ，直线 交直线 于点 ，
因此直线 的斜率 ，即 ，则直线 与直线 垂直，
所以 .
②由①知，
，直线 的方程为 ，同理得 ，
因此四边形 的面积 ，
而 ，当且仅当 ，即 时取等号，
则 ，
所以四边形 面积的最小值为3.
