2024-2025 学年河北省衡水市第二中学高二下学期第一次调研考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 ，则 ( )
Cx =C2x−7 x=
20 20
A. 7 B. 12 C. 9 D. 7或9
2. 的展开式中 的系数为( )
(x−√y) 4 x2y
A. 4 B. −4 C. 6 D. −6
3.随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=a，P(X=2)=b.若E(X)=1，则D(X)=( )
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8
4.某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者
值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个
区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有( )
A. 45种 B. 90种 C. 150种 D. 240种
5.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、
丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：
“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为( )
A. 44 B. 46 C. 48 D. 54
6.定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作
，比如： 已知 ，满足
a=b(modm) 26=16(mod10). n=C0 +C1 ⋅8+C2 ⋅82+…+C10 ⋅810
10 10 10 10
n=p(mod7)，则p可以是( )
A. 23 B. 31 C. 32 D. 19
1 1 1
7.已知P(A)= ，P(B|A)= ，P(B|A)= ，则P(B)=( )
4 3 2
1 3 5 5
A. B. C. D.
4 8 8 12
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1 18.设 ， ，随机变量 取值 、 、 、 、 的概率均为 ，随机变量
10≤x <x <x <x ≤104 x =105 ξ x x x x x 0.2
1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5
x +x x +x x +x x +x x +x
ξ 取值 1 2、 2 3、 3 4、 4 5、 5 1的概率也均为0.2，若记Dξ 、Dξ 分别为ξ 、ξ 的方
2 2 2 2 2 2 1 2 1 2
差，则( )
A. Dξ >Dξ
1 2
B. Dξ =Dξ
1 2
C. Dξ <Dξ
1 2
D. Dξ 与Dξ 的大小关系与x 、x 、x 、x 的取值有关
1 2 1 2 3 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有( )
A. 如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法
B. 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
C. 如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
D. 如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法
10.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九
章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关
于“杨辉三角”的结论正确的是( )
A. ．
C2+C2+C2+⋯+C2 =165
3 4 5 10
B. 由“第 行所有数之和为 ”猜想： ．
n 2n C0+C1+C2+⋯+Cn=2n
n n n n
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2 1C. 第20行中，第11个数最大．
D. 第15行中，第7个数与第8个数之比为7∶9．
11.已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为
1
,p.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为X，在甲、乙这两个路口
3
遇到红灯个数之和为Y，则( )
5
A. P(X=4)=
243
10
B. D(X)=
9
1 2
C. 小李一天至少遇到一次红灯的概率为 + P
3 3
2 10
D. 当p= 时，E(Y)=
5 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2
12.已知(√x− ) n (n∈N∗)的展开式中存在常数项，请写出一个符合条件的n的值： ．
x
13.某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再
参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过
的概率依次为0.6,0.7,0.8，且每次考试是否通过相互独立，则李明在一年内参加考试次数X的期望 ．
14.已知集合A={a,b,c,d,e},B={1,2,3},f :A→B为从A到B的函数，且f (x)=1有两个不同的实数根，
则这样的函数个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
某种产品的加工需要经过5道工序．
(1)如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
(2)如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？
(3)如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？
16.(本小题12分)
已知 ，若 ．
(2x+m+1)⋅(3x+1) 9=a +a x+a x2+⋯+a x10 (m∈R) a =2
0 1 2 10 0
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3 1(1)求实数m的值;
(2)求a ;
1
求a a a a 的值．
(3) 1− 2+⋯+(−1) k+1 k +⋯− 10
3 32 3k 310
17.(本小题12分)
随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随
机抽取了该社区100名市民，其中有60人喜欢网上买菜．
(1)M社区的市民小张周一､二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果
4
周一选择A平台买菜，那么周二选择A平台买菜的概率为 ，如果周一选每B平台买菜，那么周二选择A平
5
1
合买菜的概率为 ，求小张周二选择B平台买菜的概率；
3
(2)用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量X，并
记随机变量Y =2X+3，求Y的期望和方差．
18.(本小题12分)
为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班∼(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：
每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散
点图如下(x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数)：
(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成
绩达到优秀的概率；
(2)若从以上统计的高一(2)班和高一(4)班的学生中各抽出1人，设X表示2人中身体素质监测成绩达到优
秀的人数，求X的分布列及其数学期望；
(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中
分别随机抽取1名同学，用“ξ =1”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“ξ =0”表示第k班抽到
k k
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4 1的这名同学身体素质不是优秀 写出方差 的大小关系 不必写出
(k=1,2,...,8). D(ξ ),D(ξ ),D(ξ ),D(ξ ) (
1 2 3 4
证明过程)．
19.(本小题12分)
某高新技术企业新研发出了一种产品，该产品由三个电子元件构成，这三个电子元件在生产过程中的次品
1 1 1
率分别为 , , ，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有一个电子元件是次品，则该产品为次品.
10 9 8
现安排质检员对这批产品一一检查，确保无任何一件次品流入市场．
(1)若质检员检测出一件次品，求该产品仅有一个电子元件是次品的概率;
(2)现有两种方案，方案一：安排三个质检员先行检测这三个元件，次品不进入组装生产线;方案二：安排
一个质检员检测成品，一旦发现次品，则取出重新更换次品的电子元件，更换电子元件的费用为20元/个.
已知每个质检员每月的工资约为 元，该企业每月生产该产品 件 ，请从企业获益的角度选
3000 n (n∈N∗)
择最优方案．
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5 1参考答案
1.D
2.C
3.B
4.C
5.B
6.A
7.B
8.A
9.BC
10.BCD
11.BC
12.3(答案不唯一)
13.1.52
14.80
15.【详解】 先从另外 道工序中任选 道工序放在最前和最后，有 种不同的排法，
(1) 3 2 A2=6
3
再将剩余的 道工序全排列，有 种不同的排法，
3 A3=6
3
故由分步乘法原理可得，共有6×6=36种加工顺序；
先排这 道工序，有 种不同的排法，再将它们看作一个整体，
(2) 2 A2=2
2
与剩余的工序全排列，有 种不同的排法，
A4=24
4
故由分步乘法原理可得，共有2×24=48种加工顺序；
先排其余的 道工序，有 种不同的排法，出现 个空位，再将这 道工序插空，
(3) 3 A3=6 4 2
3
有 种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有 种加工顺序．
A2=12 6×12=72
4
16.解： 因为 ，
(1) (2x+m+1)⋅(3x+1) 9=a +a x+a x2+⋯+a x10
0 1 2 10
令 x=0 ，可得 a =m+1=2 ，解得 m=1 ；
0
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6 1由 可知： ，
(2) (1) (2x+2)⋅(3x+1) 9=a +a x+a x2+⋯+a x10
0 1 2 10
为一次项系数，一次项为 ，
a 2x+2C8(3x)=56x
1 9
所以， a =56；
1
由 可知： ，且 ，
(3) (1) (2x+2)⋅(3x+1) 9=a +a x+a x2+⋯+a x10 a =2
0 1 2 10 0
令 1 ，可得 a a a a ，
x=− a − 1+ 2−⋯+(−1) k k +⋯+ 10=0
3 0 3 32 3k 310
则 a a a a ，
− 1+ 2−⋯+(−1) k k +⋯+ 10=0−a =−2
3 32 3k 310 0
所以 a
1−
a
2+⋯+(−1) k+1
a
k +⋯−
a
10=−[−
a
1+
a
2−⋯+(−1) k
a
k +⋯+
a
10 ]=2
．
3 32 3k 310 3 32 3k 310
17.【详解】(1)设事件C=“小张周一选择A平台买菜”；事件D=“小张周二选择B平台买菜”，
1 4 1 1 2
则P(C)=P(C)= ,P(D|C)=1− = ,P(D|C)=1− = ,
2 5 5 3 3
1 1 1 2 13
因此P(D)=P(C)P(D|C)+P(C)P(D|C)= × + × = ,
2 5 2 3 30
13
所以小张周二选择B平台买菜的概率为 ；
30
60
(2)根据题意可得喜欢网上买菜的概率为 =0.6,
100
显然从M社区随机抽取20名市民，喜欢网上买菜的市民人数X服从二项分布，
即X∼B(20,0.6),
可得E(X)=20×0.6=12,D(X)=20×0.6×0.4=4.8
又Y =2X+3,∴E(Y)=2E(X)+3=27,D(Y)=4D(X)=19.2,
所以E(Y)=27,D(Y)=19.2
18.【详解】(1)从高一年级(1)班∼(8)班学生中抽测了80人，
7
其中身体素质检测成绩优秀的人数有8+6+9+4+7+5+9+8=56人，所以，优秀的概率是
10
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7 1因为是随机抽样，所以用样本估计总体，可知从高一年级学生中任意抽测一人，
7
该生身体素质检测成绩达到优秀的概率是
10
(2)因为高一(2)班抽出的10名同学中，身体素质监测成绩达到优秀的人数有6人，不优秀的有4人，
因为高一(4)班抽出的10名同学中，身体素质监测成绩达到优秀的人数有4人，不优秀的有6人，
所以从中抽出2人，X的可能取值为0,1,2
2 3 6 3 3 2 2 13 3 2 6
P(X=0)= × = ，P(X=1)= × + × = ，P(X=2)= × = ，
5 5 25 5 5 5 5 25 5 5 25
所以X的分布列为
X0 1 2
6 13 6
P
25 25 25
6 13 6
数学期望E(X)=0× +1× +2× =1
25 25 25
(3)Dξ =Dξ >Dξ >Dξ ，
4 2 1 3
理由：由于
P(ξ =1)=0.8,P(ξ =1)=0.6,P(ξ =1)=0.9,P(ξ =1)=0.4,
1 2 3 4
且 服从二点分布，所以 ( 1) 2 1，
ξ D(ξ )=P(ξ )(1−P(ξ ))=− P(ξ )− +
k k k k k 2 4
由于 1 ( 1) 2 1在(1 )
P(ξ =1)>P(ξ =1)=0.8>P(ξ =1)=0.6> >P(ξ =1)=0.4,D(ξ )=− P(ξ )− + ,1
3 1 2 2 4 k k 2 4 2
单调递减，
所以 ．
D(ξ )=D(ξ )>D(ξ )>D(ξ )
4 2 1 3
19.【详解】(1)记“质检员检测出一件次品”为事件A ，
“该产品仅有一个电子元件是次品”为B ．
P( ，
( 1 ) ( 1) ( 1) 3 ，
P(A)=1− 1− × 1− × 1− =
10 9 8 10
P(AB) 191 10 191
所以P(B|A)= = × = ．
P(A) 720 3 216
(2)设一件产品中所含电子元件为次品的个数为X，
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8 1则X可取0，1，2，3，
所以 ( 1 ) ( 1) ( 1) 7 ，
P(X=0)= 1− × 1− × 1− =
10 9 8 10
1 ( 1) ( 1) ( 1 ) 1 ( 1) ( 1 ) ( 1) 1 191，
P(X=1)= × 1− × 1− + 1− × × 1− + 1− × 1− × =
10 9 8 10 9 8 10 9 8 720
1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1 ) 1 1 1 ，
P(X=2)= × × 1− + × 1− × + 1− × × =
10 9 8 10 9 8 10 9 8 30
1 1 1 1
P(X=3)= × × = ，
10 9 8 720
则X 的分布列为
X 0 1 2 3
7 191 1 1
P
10 720 30 720
7 191 1 1 121
所以E(X)=0× +1× +2× +3× = ．
10 720 30 720 360
若选方案一，则企业每月支出质检员工资共9000元.
若选方案二，则企业每月支出质检员工资和更换电子元件费用共计
121 121
3000+ ×20n=3000+ n ．
360 18
121 108000 68
若3000+ n=9000 ，则n= =892 ．
18 121 121
所以当n≥893且n∈N∗ 时，选方案一;
当n≤892且n∈N∗ 时，选方案二．
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9 1
