2005年北京高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_北京

2005 年北京高考理科数学真题及答案 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷 1至2页，第II卷3 至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共40分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 一、本大题共8小题．每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项. （1）设全集U=R，集合M={x| x>1，P={x| x2>1}，则下列关系中正确的是 （A）M＝P （B）PÜM （C）MÜP （ D）ð M P U  1 （2）“m= ”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的 2 （A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件          （3）若|a|1,|b|2,cab，且ca，则向量a与b的夹角为 （A）30° （B）60° （C）120° （D）150° （4）从原点向圆 x2＋y2－12y＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 （A）π （B）2π （C）4π （D）6π （5）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 （A）sin(α+β)>sinα+sinβ （B）sin(α+β)>cosα+cosβ （C）cos(α+β)0；④ 1 2 1 2 1 2 1 2 x x 1 2 x x f(x ) f(x ) f( 1 2) 1 2 . 2 2 当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 . （14）已知n次多项式P (x)a xn a xn1 a xa , n 0 1  n1 n 如果在一种算法中，计算x k（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算P(x ) 0 3 0 的值共需要 9 次运算（6 次乘法，3 次加法），那么计算 P (x )的值共需要 n 0 次运算． 下面给出一种减少运算次数的算法：P(x)a ,P (x) xP (x)a （k＝0， 1， 0 0 k1 k k1 第2页 | 共10页2，…，n－1）．利用该算法，计算P(x )的值共需要6次运算，计算P (x )的 3 0 n 0 值共需要 次运算． 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应 写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （15）（本小题共13分） 已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a, （I）求f(x)的单调递减区间； （II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20， 求它在该区间上的最小值． （16）（本小题共14分） 如图, 在直四棱柱ABCD－ABCD 中，AB＝AD＝2，DC＝2 3，AA＝ 3，AD⊥DC，AC⊥ 1 1 1 1 1 BD, 垂足未E， （I）求证：BD⊥AC； 1 （II）求二面角A －BD－C 的大小； 1 1 （III）求异面直线 AD与 BC 所成角的大小． 1 （17）（本小题共13分） 1 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概率 2 2 ， 3 （I）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ； （II）求乙至多击中目标2次的概率； （III）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率． （18）（本小题共14分） 如图，直线 l：y＝kx（k>0）与直线l：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为 1 2 W，其左半部分记为W，右半部分记为W． 1 2 第3页 | 共10页（I）分别用不等式组表示W 和W； 1 2 （II）若区域W中的动点P(x，y)到l，l 的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程； 1 2 （III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M，M 两点，且与l，l 分别 1 2 1 2 交于M，M 两点．求证△OMM 的重心与△OMM 的重心重合． 3 4 1 2 3 4 （19）（本小题共12分）  1 a nΪżÊý 1   2 n 设数列{a}的首项a=a≠ ，且a  , n 1 4 n1 1  a  nΪÆæÊý  n 4 1 记b a  ，n＝＝l，2，3，…·． n 2n1 4 （I）求a，a； 2 3 （II）判断数列{b}是否为等比数列，并证明你的结论； n （III）求lim(b b b  b )． 1 2 3  n n （20）（本小题共14分） 设f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递增， 在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含 峰区间． 对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法． （I）证明：对任意的x，x∈(0，1)，x＜x，若f(x)≥f(x)，则(0，x)为含峰区间； 1 2 1 2 1 2 2 若f(x)≤f(x)，则(x*，1)为含峰区间； 1 2 （II）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x，x∈(0，1)，满足x－x≥2r，使得由 1 2 2 1 （I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r； （III）选取x，x∈(0, 1)，x＜x，由（I）可确定含峰区间为(0，x)或(x，1)，在所 1 2 1 2 2 1 第4页 | 共10页得的含峰区间内选取x，由x 与x 或x 与x 类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确 3 3 1 3 2 定的含峰区间为(0，x)的情况下，试确定x，x，x 的值，满足两两之差的绝对值不小于 2 1 2 3 0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差） 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1） C （2）B （3）C （4）B （5）D （6）C （7）A （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 8 4 1 （9） （10）－ ；－ （11）15 （12）(1, e)；e 3 3 7 1 （13）②③ （14） n(n＋3)；2n 2 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3， 所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）． （II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a， 所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增， 又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的 最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2． 故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7． （16）（共14分） （I）在直四棱柱ABCD－ABCD 中， 1 1 1 ∵AA⊥底面ABCD．∴ AC是AC在平面ABCD上的 1 1 射影． ∵BD⊥AC．∴ BD⊥AC； 1 （II）连结AE，CE，A C． 1 1 1 1 与（I）同理可证BD⊥AE，BD⊥CE， 1 1 ∴ ∠AEC 为二面角A－BD－C 的平面角． ∵ AD⊥DC，∴ ∠ADC=∠ADC＝90°， 1 1 1 1 1 1 1 第5页 | 共10页又AD=AD＝2，DC= DC＝2 3，AA= 3且 AC⊥BD， 1 1 1 1 1 ∴ AC＝4，AE＝1，EC＝3，∴ AE＝2，CE＝2 3， 1 1 1 1 在△AEC 中，AC2＝AE2＋CE2， ∴ ∠AEC＝90°， 1 1 1 1 1 1 1 1 即二面角A－BD－C 的大小为90°． 1 1 （III）过B作 BF//AD交 AC于 F，连结FC， 1 则∠CBF就是AD与BC 所成的角． ∵ AB＝AD＝2， BD⊥AC，AE＝1， ∴ BF=2，EF 1 1 ＝1，FC＝2，BC＝DC，∴ FC= 7 ，BC＝ 15， 1 1 1547 15 15 在△BFC 中，cosC BF   ,∴ ∠CBF=arccos 1 1 12 15 5 1 5 15 即异面直线AD与BC 所成角的大小为arccos ． 1 5 第6页 | 共10页（17）（共13分） 1 1 1 3 1 3 解：（I）P(ξ＝0)＝C0( )3  ，P(ξ＝1)＝C1( )3  ，P(ξ＝2)＝C2( )3  ， 3 2 8 3 2 8 3 2 8 1 1 P(ξ＝3)＝C3( )3  ， 3 2 8 ξ 0 1 2 3 ξ的概率分布如下表： 1 3 3 1 P 8 8 8 8 Eξ ＝ 第7页 | 共10页1 3 3 1 1 0 1 2 3 1.5, （或Eξ=3· =1.5）； 8 8 8 8 2 2 19 （II）乙至多击中目标2次的概率为1－C3( )3= ； 3 3 27 （III）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为 事件B，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B，则A＝B＋B， 1 2 1 2 B，B 为互斥事件． 1 2 3 1 1 2 1 P(A) P(B )P(B )     1 2 8 27 8 9 24 1 所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为 . 24 （18）（共14分） 解：（I）W={(x, y)| kx0}， 1 2 （II）直线l：kx－y＝0，直线l：kx＋y＝0，由题意得 1 2 |kx y| |kx y| |k2x2  y2 |  d2, 即 d2， k2 1 k2 1 k2 1 由P(x, y)∈W，知k2x2－y2>0， k2x2  y2 所以 d2，即k2x2  y2 (k2 1)d2 0, k2 1 所以动点P的轨迹C的方程为k2x2  y2 (k2 1)d2 0； （III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x＝a（a≠0）．由于直线l，曲线C 关于 x 轴对称，且 l 与 l 关于 x 轴对称，于是 MM ，MM 的中点坐标都为（a，0），所以 1 2 1 2 3 4 2 △OMM，△OMM 的重心坐标都为（ a，0），即它们的重心重合， 1 2 3 4 3 当直线l 与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）． 1 k2x2  y2 (k2 1)d2 0 由 ，得(k2 m2)x2 2mnxn2 k2d2 d2 0  y mxn 由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2－m2≠0且 △=(2mn)2 4(k2 m2)(n2 k2d2 d2)>0 设M，M 的坐标分别为(x, y)，(x, y)， 1 2 1 1 2 2 2mn 则x x  , y  y m(x x )2n, 1 2 k2 m2 1 2 1 2 设M，M 的坐标分别为(x, y)，(x, y)， 3 4 3 3 4 4 第8页 | 共10页 y kx  y kx n n 由 ¼° 得x  ,x   y mxn y mxn 3 km 4 km 2mn 从而x x   x x ， 3 4 k2 m2 1 2 所以y+y=m(x+x)+2n＝m(x+x)+2n＝y+y, 3 4 3 4 1 2 1 2 于是△OMM 的重心与△OMM 的重心也重合． 1 2 3 4 （19）（共12分） 1 1 1 1 1 解：（I）a＝a+ =a+ ，a= a= a+ ； 2 1 3 2 4 4 2 2 8 1 1 3 1 1 3 （II）∵ a=a+ = a+ , 所以a= a= a+ , 4 3 5 4 4 2 8 2 4 16 1 1 1 1 1 1 1 1 所以b=a－ =a－ , b=a－ = (a－ ), b=a－ = (a－ ), 1 1 2 3 3 5 4 4 4 2 4 4 4 4 1 猜想：{b}是公比为 的等比数列· n 2 证明如下： 1 1 1 1 1 1 因为b ＝a － = a － = (a － )= b, (n∈N*) n+1 2n+1 2n 2n－1 n 4 2 4 2 4 2 1 1 所以{b}是首项为a－ , 公比为 的等比数列· n 4 2 1 b(1 ) 1 2n b 1 （III）lim(b b  b )lim  1 2(a ). n 1 2  n n 1 1 4 1 1 2 2 （20）（共14分） （I）证明：设x*为f(x) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在[0, x*]上单调递增， 在[x*, 1]上单调递减． 当f(x)≥f(x)时，假设x*(0, x)，则xf(x)， 1 2 2 1 2 2 1 这与f(x)≥f(x)矛盾，所以x*∈(0, x)，即(0, x)是含峰区间. 1 2 2 2 当f(x)≤f(x)时，假设x*( x, 1)，则x*<≤xf(x)， 1 2 2 1 2 1 2 这与f(x)≤f(x)矛盾，所以x*∈(x, 1)，即(x, 1)是含峰区间. 1 2 1 1 （II）证明：由（I）的结论可知： 当f(x)≥f(x)时，含峰区间的长度为l＝x； 1 2 1 2 当f(x)≤f(x)时，含峰区间的长度为l=1－x； 1 2 2 1 对于上述两种情况，由题意得 第9页 | 共10页 x ≤0.5r  2 ① 1x ≤0.5r  1 由①得 1＋x－x≤1+2r，即x－x≤2r. 2 1 1 1 又因为x－x≥2r，所以x－x=2r, ② 2 1 2 1 将②代入①得 x≤0.5－r, x≥0.5－r， ③ 1 2 由①和③解得 x＝0.5－r， x＝0.5＋r． 1 2 所以这时含峰区间的长度l＝l＝0.5＋r，即存在x，x 使得所确定的含峰区间的长度 1 1 1 2 不大于0.5＋r． （III）解：对先选择的x；x，xx 时，含峰区间的长度为x． 1 3 1 由条件x－x≥0.02，得x－(1－2x)≥0.02，从而x≥0.34． 1 3 1 1 1 因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取 x＝0.34，x＝0.66，x=0.32． 1 2 3 第10页 | 共10页