文档内容
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清
楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效，
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 ，则 （ ）
A. B.2 C.1 D.
3.已知 ，则 （ ）
A.-8 B.8 C.-6 D.6
4.已知 为奇函数，则 （ ）
A. B. C.2 D.-2
5.抛物线 ，过焦点 的直线 与抛物线 交于 两点，若 ，则直线 的倾斜
角为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
6.过直线 上的一点 作圆 的两条切线 ，当直线 关于
对称时， （ ）
A. B. C.4 D.
学科网（北京）股份有限公司7.已知数列 的前 项和为 ，设甲： 是等差数列，乙： ，则甲是乙的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.若 ，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是
符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.某社区通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量数据，并绘制出如图所示的频率分布直方图，
由该图可以估计（ ）
A.平均数>中位数 B.中位数>平均数
C.中位数>众数 D.众数>平均数
10.吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通过物体的能
量占发出光能量的比例.在实际应用中，通常用吸光度 和透光率 来衡量物体的透光性能，它们之间的换
算公式为 ，如表为不同玻璃材料的透光率：
玻璃材料 材料1 材料2 材料3
0.6 0.7 0.8
设材料1､材料2､材料3的吸光度分别为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
11.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲线.如图，当平面垂直于圆锥的
轴时，截口曲线是一个圆.当平面不垂直于圆锥的轴时，若得到“封闭曲线”，则是椭圆；若平面与圆锥的
学科网（北京）股份有限公司一条母线平行，得到抛物线（部分）；若平面平行于圆锥的轴，得到双曲线（部分）.已知以 为顶点的圆
锥 ，底面半径为1，高为 ，点 为底面圆周上一定点，圆锥侧面上有一动点 满足 ，则
下列结论正确的是（ ）
A.点 的轨迹为椭圆
B.点 可能在以 为球心，1为半径的球外部
C. 可能与 垂直
D.三棱锥 的体积最大值为
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为 ，那么这组数
据的第25百分位数为__________.
13.已知圆台上底面半径为2，下底面半径为5，圆台的体积为 ，则圆台的侧面积为__________.
14.如图， 分别是双曲线 的左､右焦点，点 是双曲线与圆
在第二象限的一个交点，点 在双曲线上，且 ，则双曲线的离心率为
__________.
四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
学科网（北京）股份有限公司锐角 中，内角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 边上的中线长为 ，求 的面积 .
16.（本小题满分15分）
如图甲，菱形 的边长为 ，将 沿 向上翻折，得到如图乙所示的三棱锥
.
（1）证明： ；
（2）若 ，在线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成角的余弦值为 ？
若存在，求出 ；若不存在，请说明理由.
17.（本小题满分15分）
已知函数 .
（1）求曲线 点 处的切线方程；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
18.（本小题满分17分）
某网络销售平台每月进行一次经营状况调查，调查结果为销路好或销路差.历史数据表明：如果本月销路好，
那么下个月继续保持这种状态的概率为0.5；如果本月销路差，那么下个月变好的概率为0.4.用 分别
表示第 个月销路好和销路差的概率.
学科网（北京）股份有限公司（1）若 ，求 ，并证明 是等比数列；
（2）证明：无论第一个月销路好还是销路差，经过较长时间的销售之后，销路好的概率都会趋近于常数.
19.（本小题满分17分）
从圆 上任取一点 向 轴作垂线段 为垂足.当点 在圆上运动时，线段 的中点
的轨迹为曲线 （当 为 轴上的点时，规定 与 重合）.
（1）求 的方程，并说明曲线 的类型；
（2）若 与 轴和 轴的交点分别为 （ 在 左侧； 在 下侧），点 在线段 上，
过点 且平行于 的直线 交 于点 （异于 ），交 轴于点 ，直线 交 于点 （异于
点 ，直线 交 轴于点 .
从下列两个问题中选择一个进行作答：
①证明： ；
② 与 的面积是否相等？请说明理由.
学科网（北京）股份有限公司数学参考答案
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B A C D C B
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是
符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 AC BCD ACD
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
号 12 13 14
答案 29.5
四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
解：（1）因为 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司又
，
所以 ，所以 ，
所以 或 ，
若 ，则 ，与 为锐角三角形矛盾，舍去，
从而 ，则 ，
又 ，所以 .
（2）由余弦定理，得 ，即 ①，
设 的中点为 ，则 ，两边同时平方可得： ，
即： ，即： ②，
由①可得： ，
于是： 的面积 .
16.（本小题满分15分）
（1）证明：取 中点 ，连接 ，菱形 中， ，
所以 ，又因为 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
（2）解： 中，因为 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司由余弦定理得 ，解得 ；
在 中， ，
所以 .
在平面 中，作 ，交 于点 ，则以 为坐标原点，分别以 方向为 轴正方向，建
立如图所示空间直角坐标系，
则 .
又 ，
假设在线段 上存在符合要求的点 .
设平面 的法向量 ，
由 ，
则 ，取 .
平面 的法向量 ；
所以 .
当 时， ；当 时， .
所以当 或 时，平面 与平面 所成角的余弦值为 .
学科网（北京）股份有限公司17.（本小题满分15分）
解：（1） .
因为 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2）由题意， .
令 ，则 .
令 .
①当 ，即 时， 在 单调递增， ，所以
在 单调递增， ，不合题意.
②当 ，即 时， 在 单调递减， ，
所以 在 单调递减，所以 ，符合题意.
③当 ，即 时，由 ，
所以 ，使得 且 时， ，
所以 在 单调递增， ，不符合题意.
综上， .
18.（本小题满分17分）
解：（1）设事件 “第 个月销路好”， “第 个月销路差”.
由题意，知 ，
.
学科网（北京）股份有限公司即：
当 时， ；
.
因为 ，所以 是首项为0.5，公比为0.1的等比数列.
（2）如果第一个月销路好，则 .
由（1）知， .
所以 .所以 .
从而
.
即
如果第一个月销路差，则 .
同理可得， .
可以看到，无论第一个月销路好还是销路差，经过较长时间的销售之后，销路好的概率会趋近于常数 .
19.（本小题满分17分）
学科网（北京）股份有限公司解：（1）设 ，则 ，因为 在圆 上，
所以 ，即 ，
所以 的方程为 .
是长轴长为4，焦点为 的椭圆.
（2）先证明 ，且 共线.
由（1）知 ，故 ，
直线 的方程为 .
当 斜率不存在的时候，直线 与 仅有一个公共点，不合题意，所以 斜率存在，
设直线 ，因为当 时， 与 重合，不合题意，所以 .
当 斜率为零时，直线 与 轴重合，不合题意，
又因为点 在线段 上，所以 .
综上， ，且 .
由 得 ，
因为 ，所以 ，则 ，
由 ，得 ，
设 ，由 得 ，
故 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司即 .
易得， ，则 ，设 交 于 ，
由 得 ，故 .
解法一：
，
又 .
因为 ，所以 与 方向相同（如图甲和图乙所示），
所以 三点共线，从而 重合，故 ，且 共线.
解法二：
，
所以 ，
，
学科网（北京）股份有限公司故 ，所以 三点共线， ，且 共线.
因为 ，且 ，所以 ，（或利用 ）
所以 不重合， 不共线.
若选①，则由 ，且 共线，得 ，
即 .
若选②，则由 ，且 共线，得 与 面积相等，
所以， 与 面积相等.
学科网（北京）股份有限公司
