文档内容
成都外国语学校 2025-2026 学年度上期十二月月考考试
高二数学试卷
命题人：方兰英 林琪琦 审题人：方兰英 金鑫 林琪琦
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
2.本堂考试120分钟，满分150分；
3.答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求.
【详解】化直线 为 ，所以直线的斜率 ，令直线的倾斜角为 ，则
， ， .
故选：C.
2. 如图是一个古典概型的样本空间 和事件A、B，其中 ， ， ，
，那么（ ）A. B. 事件A与B互斥
C. D. 事件A与B相互独立
【答案】D
【解析】
【分析】由图易求得 可判断A，利用互斥事件的概念可判断B，求得 ，利用古典概型概率
公式计算即可判断C；分别求出事件求得 ，.进而计算判断即可.
【详解】由图知， ，故A错误 ；
事件A与 有共同基本事件，故不是互斥事件，B错误，
∵ ，∴ ；故C错误；
因为 ，又 ，
， ，所以A与B相互独立，故D正确.
故选：D
3. 长轴长是短轴长的 倍，且经过点 的椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C【解析】
【分析】分椭圆的焦点在 轴、 轴上两种情况讨论，分别确定长半轴长、短半轴长，即可得到椭圆方程.
【详解】当椭圆的焦点在 轴上时，长半轴长为 ，则短半轴长为 ，所以椭圆的方程为 ；
当椭圆的焦点在 轴上时，短半轴长为 ，则长半轴长为 ，所以椭圆的方程为 ；
所以椭圆方程为 或 .
故选：C.
4. 在三棱锥 中， 是 的中点，点 在棱 上，且 ，则 （ ）
A. B.
.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用空间向量的加减法及数乘运算计算求解.
【详解】因为 是 的中点，所以 ．
因为 ，所以 ．
所以 ．
故选:C．
5. 2021年某省实施新的“ ”高考改革方案，“3”即为语文､数学､英语3科必选，“1”即为从物理和历
史中任选一科，“2”即为从化学､生物､地理､政治中任选2科，则该省某考生选择全理科(物理､化学､生物)
的概率是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求解总的选课方案，然后求解理科的选课方案，可得概率.
【详解】由题意总的选课方案有：（物理，化学，生物），（物理，化学，地理），（物理，化学，政
治），
（物理，生物，地理），（物理，生物，政治），（物理，地理，政治），（历史，化学，生物），（历
史，化学，地理），（历史，化学，政治），（历史，生物，地理），（历史，生物，政治），（历史，
地理，政治），共12种；
而全理科只有1种，
所以某考生选择全理科(物理､化学､生物)的概率为 .
故选：D.
6. 圆 关于直线 对称的圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把圆的一般方程化为标准方程，得圆心坐标和半径，由对称求出对称圆的圆心，可得标准方程.
【详解】由圆 ，得 ，
则圆心坐标为 ，半径为1，
设 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，圆 关于直线 对称的圆的标准方程为 ．
故选：B．
7. 如图，把正方形纸片 沿对角线 折成 的二面角， ， 分别为 ， 的中点， 是
原正方形 的中心，则折纸后 的余弦值为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【 分 析 】 由 二 面 角 的 定 义 得 到 二 面 角 ， 设 正 方 形 边 长 ， 求 得
长，然后由向量 表示 ， 表示 ，然后求得 的数
量积，即可求出向量夹角的余弦值，即 的余弦值.
【详解】如图，连接 ，
在正方形 中， ，∴ ， ，
∵平面 平面 ，
即二面角 ，即 ，
设正方形边长为 ，则 ， ，，
∴
.
故选：C.
8. 已知 是椭圆 和双曲线 的公共焦点，M是该椭圆和双曲线的一个公共点，
， 的外接圆半径为2，且 ，记椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为
，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D. 的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】由椭圆与双曲线中参数之间的关系得到 ，判断A选项；由三角形正弦定理求得角，再由椭圆和双曲线定义表示出线段 ，再用余弦定理求得关系 ，由三
个参数的关系式，判断B选项；由 两边同除 再化简，判断C选项；用离心率公式代入
数值后利用基本不等式求得最小值，判断D选项.
【详解】
对于A： 是椭圆 和双曲线 的公共焦点，
双曲线 ，则焦点在 轴，所以椭圆中 ，
，即 ，即 ，故A错误；
对于B：由正弦定理可知在 中， ， ，
，
由椭圆和双曲线的定义可知： ，解得 ，
，
即 ，
，故B错误；对于C：判断 ，即判断 .
，即 ，得 ， ，而 ，易
知 ，即 ，故C错误；
对于D：由 ，得 ，所以
当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值为 ，故D
正确.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.
9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分
布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A. 考生参赛成绩的平均分约为72.8分
B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分
C. 分数在区间 内的频率为0.2D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间 应抽取30人
【答案】BC
【解析】
【分析】利用频率分布直方图估计平均数判断A；求出第75百分位数判断B；求出分数在区间 内
的频率判断C；用分层随机抽样求出区间 内应抽人数判断D.
【详解】对于A，平均成绩为 ，
A错误；
对于B，由频率分布直方图知，分数在 内的频率为0.7，在 内的频率为0.9，
因此第75百分位数位于 内，第75百分位数为 ，B正确；
对于C，分数在区间 内的频率为 ，C正确；
对于D，区间 应抽取 人，D错误.
故选：BC
10. 已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 、 , 为椭圆上一个动点，椭圆上、下顶点分别为
、 ,则下列说法正确的是（ ）
A. 设过点 和 的直线与椭圆相交的另一个交点为 ,则 的周长是6
B. 若 ,则 的面积为
C.
D. 若 为圆 : 上的一个动点，则 的最大值为12
【答案】BCD【解析】
【分析】对于A：利用椭圆的定义可知该三角形的周长为 ;对于B：利用余弦定理，求出
即可得出面积；对于C：设出点 ,结合 在椭圆上，求出斜率之积即可；对于D：先考虑固定点 时，
位于何处时 最大，再将 转化为 ,最终求 的最大值即可.
【详解】由题可知，在椭圆 中， .
对于A： 的周长 ,
根据椭圆的定义，有 ,故A错误；
对于B：根据余弦定理，有 ,
得 ,
整理得 ,解得 .
故 ,故B正确；
对于C：设点 ,易知点 与 或 不重合，因为点 在椭圆上，故有 .由题意，
,故C正确；对于D：圆 .若固定点 ,易知点 位于直线 与圆 的两个交点中距离点
更远的那个交点时， 最长，此时 .
,即当
点 位于直线 与椭圆的下交点时，等号成立，故D正确.
故选：BCD.
11. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 平面 ， ，
点E是棱 上一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 不存在点E，使 平面
B. 存在点E，使 平面
C. 若点E为 中点，则点C到平面 的距离为
D. 二面角 夹角最大时，
【答案】BC
【解析】
【分析】根据特殊位置即可根据线线平行求解A，建立空间直角坐标系，求解向量垂直的坐标关系即可求解B，求解平面法向量，即可根据空间距离求解C，根据法向量的夹角即可求解D.
【详解】对于A，当 位于 时，此时 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，A错误，
对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
则 ， ，
由于 ，故 ，
设 ，则 ，
则 ，
要使 平面 ，则 ，
解得 ，故存在点 ，当 时， ，结合 ，
平面 ，故 平面 ，B正确，
对于C， 点 为 中点，此时 ，
设平面 的一个法向量为 ，
故 ， ，
，令 ，则 ，
则点 到平面 的距离为 ，故C正确，
对于D，设平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，故 ， ，
，令 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
故
，令 ，则 ，
，
显然 时，此时 并不是最值，此时二面角 夹角不是最大，故D错误，
故选：BC
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 样本数据1，2，4，5，8的极差为________.
【答案】7
【解析】
【分析】利用极差的定义最大值减去最小值即可得到极差.
的
【详解】由极差 定义得到样本数据1，2，4，5，8的极差为 .
故答案为：713. 若双曲线 （ ）的一条渐近线方程为 ，则 ______．
【答案】3
【解析】
【分析】由焦点落在 轴上的双曲线方程渐近线为 ，即可得 ，即可求得 的值.
【详解】由双曲线 （ ）可知双曲线焦点在 轴上，则 ，得 .
故答案为：3.
14. 小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心 且与太阳
平行光线垂直的平面为 ，地面所在平面为 ，篮球与地面的切点为 ，球心为 ，球心 在地面的影
子为点 ；已知太阳光线与地面的夹角为 ；如图， 为球 的一条直径， 为 在地面的影子，
点 在线段 上，小明经过研究资料发现，当 时，篮球的影子为一椭圆，且点 为椭圆的焦点，
线段 为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率为_____（用 表示）.
【答案】
【解析】
【分析】设球的半径为 ，根据几何关系先用 表示出长轴长 ，然后再根据球心在地面的射影为椭
圆焦点计算出 关于 的表示，由此可得 的结果，则离心率可知.
【详解】设篮球半径为 ，显然平面 平面 ，连接 ， ，则 平面 ，过 作 交 于 点，则 ， ，
于是椭圆长轴长 ，
因为 ，所以 ，
由 ，可知 与 全等，
所以 ，
令椭圆半焦距为 ，而 ，
则 ，
解得 ，所以该椭圆的离心率为 ，
故答案为： ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图1，正方体 的棱长为2，点 为棱 的中点.（1）求证：平面 平面 ；
（2）如图2，连 ， ， .求直线 与平面 所成角的正弦值；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量垂直证明，
（2）求解法向量和方向向量，即可利用向量的夹角求解.
【小问1详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，则 ,
,
则 ,
设平面 的法向量为 ，则
取 ，
设平面 的法向量为
取 ，则 ，
由于 ，故 ，
所以平面 平面 ；【小问2详解】
,
设平面 的法向量为 ，
则 取 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ,
则
16. 已知圆 与直线 相切于点 ，圆心 在 轴上．
（1）求圆 的标准方程；
（2）若过点 的直线 与圆 交于 两点，当 时，求直线 的一般式方程；
【答案】（1） ；
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）设圆的方程为 ，再由直线 与圆相切于点 ，可得
关于 与r的方程组，求得 与r的值，则圆 的方程可求；
（2）先根据垂径定理求得圆心 到直线 的距离为 ，然后按照直线 斜率是否存在分类讨论，当直线
斜率不存在时，设出直线方程，利用点到直线的距离公式列式求得 ，即可得解.
【小问1详解】由题可知，设圆的方程为 ，
由直线 与圆相切于点 ，
得 ，解得 ， ，
所以圆 的标准方程为 ；
【小问2详解】
依题意，圆心 到直线 的距离为 ，
当直线 斜率不存在时，方程为 ，此时圆心 到直线 的距离为3，符合题意；
当直线 斜率存在时，设为 ，即 ，
则 ，即 ，则 ，解得 ，
所以直线 的方程为
综上，直线 的方程为 或
17. 某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生
通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的
“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为 、 、 ，已知三个社团他都能进入的概率为
，至少进入一个社团的概率为 ，且 .
（1）求 与 的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”
社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．
【答案】（1） ； （2） .
【解析】
【分析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团
的概率依次为 、 、 ，已知三个社团都能进入的概率为 ，至少进入一个社团的概率为 ，且
，利用相关公式建立方程组，即可求得 与 的值；
（2）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得
结果.
【详解】（1）依题 ，解得
（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为 ，
获得本选修课学分分数不低于4分为事件 ，
则 ； ； .
故 .
【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有相互独立事件同时发生的概率，互斥事件有一
个发生的概率，注意对公式的正确应用是解题的关键.
18. 已知圆 和圆 ，动圆 与圆 、圆 都外切或都内切，记点
的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）若过点 的直线 与曲线 的两个交点 分别在 轴两侧．
①求直线 斜率的取值范围；②若 是点 关于 轴的对称点，证明：直线 过定点，并求出该定点．
【答案】（1）
（2）① ；②证明见解析，
【解析】
【分析】（1）由题意可得 ，由双曲线的定义可知动点 的轨迹是双曲线，由双曲线的
得到轨迹方程；
（2）①设出直线 方程，联立方程组并消元得到一元二次方程，由直线与曲线存在两个交点得到一元二次
的
方程二次项系数不为0，判别式大于0，两根之积为负数建立不等式组，解出斜率 取值范围；
②表示出直线 方程，利用①的韦达定理化简方程求得直线 恒过定点.
【小问1详解】
设动圆 的半径为 ，当动圆 与圆 、圆 都外切时， ，
所以 .
当动圆 与圆 、圆 都内切时， ，
所以 ，所以 ，
所以点 的轨迹是以 ， 为焦点，实轴长为 的双曲线，
所以 ， ，所以 ，
所以曲线 的方程为 .
【小问2详解】
①由题意直线 斜率存在，设为 ，设点 ， ，
由 消去 得， ，
则 ，
则由题意 ，解得 ，
所以直线 斜率的取值范围为 .
②由题意 ，则 ，所以直线 方程为 ，
即 ，因为
，
因为 ，所以 ，所以直线 方程为 ，恒过点 .
19. 椭 圆 ： 的 左 、 右 焦 点 分 别 ， ， ， 且
.设不过原点 的直线与椭圆C交于 两点连接 ，如图1所示.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线 之间的斜率为 ，且 ，求 面积的取值范围；
（3）直线 ： 交椭圆于 两点，将平面 沿x轴翻折，使y轴负半轴和x轴所确
定的半平面与平面 垂直，如图2所示，连接 ， ， ， ， ，求三棱锥
外接球表面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题可得 ，再结合 ，即可求出 ，进而确定椭圆方程；（ 2 ） 设 直 线 ， 联 立 得 到
，由 ，可得 ，求出原点到直线 的距离为 ，
即弦长 ，再表示出三角形的面积，结合二次函数特性求范围即可；
（3）由题知，直线过 也在曲线上，不妨设为点 ，则 ，建立空间直角
坐标系，可求得 外心为 ，再设三棱锥外接球球心 ，再利用
求得 ，继而得到 ，结合基本不等式求最值即可.
【小问1详解】
由题意， ，
由 得 ，所以椭圆的标准方程为 .
【小问2详解】
设直线 ，
若 ，此时直线 与椭圆 交于 点，此时直线 或直线 斜率不存在，不符合题意，故
.
联立 ，，
，
整理得： ，由 ，得 ，解得 ·
设原点到直线 的距离为 ，则 ，
，
又 ，
，令 ， ，且 ，
则 ，
二次函数 在 值域为 ，
所以 .
【小问3详解】
直线 ，由（2）可知，将直线 与椭圆 联立可得：
，结合图 2 可知， ， ，因为 ，故
.
将椭圆上半部分 沿 轴翻折，使得平面 平面 ，翻折后建立如图所示空间直角坐标系， 点移至 ，
设等腰三角形 外接圆圆心 ，由对称性可得 ，
，
设外接球球心 平面 ，所以 ，
，设 ，球心 到点 和 距离相等， ，
①，
令 ，代入①得 ，
，
令 ，则 ，
，当且仅当 时， ，
所以 最小值为4，则三棱锥 外接球表面积的最小值 .
