文档内容
重庆市第八中学 2024 届高考适应性月考卷（五）
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1.样本数据 的上四分位数为（ ）
A.45 B.46.5 C.47 D.50
2.若双曲线 的离心率为 ，则该双曲线的虚轴长为（ ）
A. B.5 C. D.10
3.把能表示为两个连续奇数的平方差的正整数称为“幸运数”，则在 ，2024这2024个数中，能称为
“幸运数”的个数是（ ）
A.251 B.252 C.253 D.254
4.如图，在四面体 中， ，点 为 的中点， ，则 （
）
A. B.
C. D.
5.某班一天上午有五节课，下午有两节课，现要安排该班一天中语文､数学､物理､英语､地理､体育､艺术7堂
学科网（北京）股份有限公司课的课程表，要求艺术课排在上午第5节，体育课排在下午，数学与物理不相邻，则不同的排法种数是（
）
A.128 B.148 C.168 D.188
6.若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8.已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴相交于点 .过点 作直线 与抛物线相交于
两点，连接 ，设直线 与 轴分别相交于 两点，若 的斜率与 的斜率的乘积
为-3，则 的大小等于（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符
合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.如图，在海面上有两个观测点 在 的正北方向，距离为 ，在某天10：00观察到某航船在
处，此时测得 分钟后该船行驶至 处，此时测得
，则（ ）
A.观测点 位于 处的北偏东 方向
B.当天10：00时，该船到观测点 的距离为
学科网（北京）股份有限公司C.当船行驶至 处时，该船到观测点 的距离为
D.该船在由 行驶至 的这 内行驶了
10.设复数 对应的向量分别为 （ 为坐标原点），则
（ ）
A.
B.若 ，则
C.若 且 ，则
D.若 ，则 的最大值为 .
11.定义域为 的连续函数 ，对任意 ，且 不恒为
0，则下列说法正确的是（ ）
A. 为偶函数
B.
C.若 ，则
D.若0为 的极小值点，则 的最小值为1
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.设集合 ，则 __________.
13.如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个含 的Rt ，将剩余部分绕着直径 所在直线
旋转 得到一个几何体，该几何体的表面积为__________.
学科网（北京）股份有限公司14.对任意的正实数 ，满足 ，则 的最小值为__________.
四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）记曲线 在 处的切线为 ，求证： 与 有且仅有1个公共点.
16.（本小题满分15分）
甲､乙两选手进行象棋比赛，设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的
概率为 .
（1）若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，求 的取值范围；
（2）若 ，已知甲乙进行了 局比赛且甲胜了13局，试给出 的估计值（ 表示 局比赛中甲胜的
局数，以使得 最大的 的值作为 的估计值）.
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥 中， 为正三角形，底面 为正方形，平面 平面 ，点
是棱 的中点，平面 与棱 交于点 .
（1）求证： 平面 ；
（2） 为平面 内一动点， 为线段 上一点；
①求证： ；
学科网（北京）股份有限公司②当 最小时，求 的值.
18.（本小题满分17分）
在平面直角坐标系 中，椭圆 ，圆 为圆 上任意一点.
（1）过 作椭圆 的两条切线 ，当 与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为 ，求 的值；
（2）动点 满足 ，设点 的轨迹为曲线 .
（i）求曲线 的方程；
（ii）过点 作曲线 的两条切线分别交椭圆于 ，判断直线 与曲线 的位置关系，并
说明理由.
19.（本小题满分17分）
已知数列 的前 项和为 ，且满足 .
（1）证明： .
（2）当 时，求证： ；
（3）是否存在常数 ，使得 为等比数列？若存在，求出所有满足条件的 的值；若不存在，请说明理由.
学科网（北京）股份有限公司参考答案
1-8DCCB CAAA
9.ACD 10.ACD 11.ABD
12. 13. 14.
15.（1）解： ，令 ，得
今 ，得 或 ，则 在 上单调递增，
在 上单调递减.
（2）证明： ，
所以曲线 在 处的切线 的方程为： ；
令 ，令 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增， 单调递减， ，
学科网（北京）股份有限公司综上， 有唯一零点0，即 与 有且仅有一个公共点.
16.解：（1）采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分 或 .
因为每局比赛的结果是独立的，可得甲最终获胜的概率为
.
采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分 或 ，
可得甲最终获胜的概率为 .
因为5局3胜制对甲有制，所以 ，
，
，
.
（2）易得 ，
记 ，则
，
由 ，得 ，
即 ，
故 时， 最大，所以 的估计值为21.
17.（1）证明： 平面 平面 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 .
学科网（北京）股份有限公司又 平面 平面 ，
平面
（2）解：①由平面 平面 平面 平面 ，
故 平面 ，所以 ，由（1）， ，故 ，
又 是棱 的中点，则 为棱 中点， 为正三角形，
故 ，所以 平面 ，故 .
②又有 ，
当 为 与平面 的交点时， ，
故当 最小时， 取得最小值，此时 ，
由 ，数 ，
同理 ，
故 时， 为 中点，取 中点 ，连接 ，如图，
则有 且 ，
有 ，
18.解：（1）设 直线方程的统一形式设为： ，
联立 ，
由切线有 （再按 整理方程），
学科网（北京）股份有限公司即 ，
所以 是（*）的两个很，故 .
（2）（i）设 ，由 ，
将 代入圆 有： ，
即曲线 的方程为：
（ii）直线 与曲线 相切.理由如下：由题意可知直线
斜率 和 均存在，如图，
设过 且与因 相切的直线方程：
，
即
则曲线 的圆心到该真线的距离 ，即 ，
故 ；
联立 ，可得： ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，
则方程异于 的实数解为 ，
由 可得 ，
，
可得 ，
设 ，
则直.线 的斜率
，
故直线 的方程为： ，
即 ，
则曲线 的圆心到 的距离 ，故真线 与曲线 相切.
19.（1）证明：当 时，此时 ，从而 ，
数 .
（2）证明：法一：由题意有 ，从而当 时， ，解得 ；
当 时， ，即 ， ，
学科网（北京）股份有限公司从而 ，
从而 ，累加可得 ，
又 ，故 ，故当 时， .
又 ，故 .
法二：由题意有 ，从而当 时， ，解得 ；
当 时， ，两式相减可得 ，
从而 ，
累加可得 ，
从而 .
又 即 时， .
又 ，故 .
（3）解：若存在实数 ，使得 为等比数列，不妨设其公比为 .
则 即 ，可得 ，
又 ，可得 ，从而 ，
整理得 对任意 均成立，
即 对任意 均成立，故 或 .
当 时， ，舍去：
当 时， ，特别地， ，
学科网（北京）股份有限公司解得 （舍去）或 .
当 时， ，特合题意.
故存在实数 ，使得 是公比为-1的等比数列.
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