2005年江西高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_江西

2005 年江西高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4页，共150分． 第I卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题 卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一 致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写 作答，在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，临考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S 4R2 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P，那么n次独立重复试验中恰好发生k 4 V  R3 3 次的概率P (k)CkPk(1P)nk 其中R表示球的半径 n n 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．设集合I {x|| x|3,xZ},A{1,2},B {2,1,2},则A（ I B）= （ ） A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2} 2．设复数：z 1i,z  x2i(xR),若z z 为实数，则x= （ ） 1 2 1 2 A．－2 B．－1 C．1 D．2 3． “a=b”是“直线y  x2与圆(xa)2 (yb)2  2相切”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．( x 3 x)12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有 （ ） A．4项 B．3项 C．2项 D．1项 5．设函数 f(x) sin3x|sin3x|,则f(x)为 （ ）  2 A．周期函数，最小正周期为 B．周期函数，最小正周期为 3 3 C．周期函数，数小正周期为2 D．非周期函数 第1页 | 共9页5 6．已知向量a (1,2),b(2,4),|c| 5,若(ab)c  ,则a与c的夹角为 （ ） 2 A．30° B．60° C．120° D．150° 7．已知函数y xf(x)的图象如右图所示(其中f(x) 是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中 y  f(x)的图象大致是 （ ） f(x1) x1 8．若lim 1,则lim  （ ） x1 x1 x1 f(22x) 1 1 A．－1 B．1 C．－ D． 2 2 9．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD 的外接球的体积为 （ ） 125 125 125 125 A．  B．  C．  D．  12 9 6 3 1 1 10．已知实数a, b满足等式( )a ( )b,下列五个关系式 2 3 ①01，解关于x的不等式； f(x) 2x 18．（本小题满分12分） x x  x  x  已知向量a (2cos ,tan(  )),b ( 2sin(  ),tan(  )),令f(x)  ab. 2 2 4 2 4 2 4 是否存在实数x[0,],使f(x) f (x) 0(其中f (x)是f(x)的导函数)?若存在，则 求出x的值；若不存在，则证明之. 19．（本小题满分12分） A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢 第3页 | 共9页得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数. （1）求的取值范围； （2）求的数学期望E. 20．（本小题满分12分） 如图，在长方体ABCD—ABCD，中，AD=AA=1，AB=2，点E在棱AD上移动. 1 1 1 1 1 （1）证明：DE⊥AD； 1 1 （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD 的距离； 1  （3）AE等于何值时，二面角D—EC—D的大小为 . 1 4 21．（本小题满分12分） 1 已知数列{a }的各项都是正数,且满足: a 1,a  a ,(4a ),nN. n 0 n1 2 n n （1）证明a  a  2,nN; n n1 （2）求数列{a }的通项公式a. n n 22．（本小题满分14分） 如图，设抛物线C: y  x2的焦点为F，动点P在直线l:x y20上运动，过P作 抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点. （1）求△APB的重心G的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB. 第4页 | 共9页参考答案 一、选择题 1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A 二、填空题 2 3 3 13． 14． 15． 2 16．③④ 2 2 2 三、解答题 x2 17．解：（1）将x 3,x  4分别代入方程 x120得 1 2 axb  9  9   3ab a  1 x2  解得  ,所以f(x)  (x  2).  16 b  2 2x  8  4ab x2 (k 1)xk x2 (k 1)xk （2）不等式即为  ,可化为 0 2x 2x 2x 即(x2)(x1)(xk) 0. ①当1 k  2,解集为x(1,k)(2,). ②当k  2时,不等式为(x2)2(x1) 0解集为x(1,2)(2,); ③当k  2时,解集为x(1,2)(k,). x x  x  x  18．解： f(x)  ab  2 2cos sin(  )tan(  )tan(  ) 2 2 4 2 4 2 4 x x 1tan tan 1 x 2 x 2 x 2 2 x x x  2 2cos ( sin  cos )   2sin cos 2cos2 1 2 2 2 2 2 x x 2 2 2 1tan 1tan 2 2 sinxcosx. 令f(x) f (x) 0,即: f(x) f (x) sinxcosxcosxsinx  2cosx  0.   可得x  ,所以存在实数x  [0,],使f(x) f (x) 0. 2 2 第5页 | 共9页|mn|5  19．解：（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则mn  ，可得：  19  当m 5,n 0或m 0,n 5时,5;当m 6,n 1或m 1,n 6时,7; 当m 7,n  2或m  2,n 7时,9;所以的所有可能取值为:5,7,9. 1 2 1 1 5 （2）P(5)  2( )5   ;P(7)  2C1( )7  ; 2 32 16 5 2 64 1 5 55 P(9) 1   ; 16 64 64 1 5 55 275 E5 7 9  . 16 64 64 32 20．解法（一） （1）证明：∵AE⊥平面AADD，AD⊥AD，∴AD⊥DE 1 1 1 1 1 1 （2）设点E到面ACD 的距离为h，在△ACD 中，AC=CD= 5，AD= 2 ， 1 1 1 1 1 1 3 1 1 故S   2 5  ,而S  AEBC  . AD 1 C 2 2 2 ACE 2 2 1 1 V  S DD  S h, D 1 AEC 3 AEC 1 3 AD 1 C 1 3 1  1 h,h  . 2 2 3 （3）过D作DH⊥CE于H，连DH、DE，则DH⊥CE， 1 1 ∴∠DHD 为二面角D—EC—D的平面角. 1 1 设AE=x，则BE=2－x  在RtD DH中, DHD  ,DH 1. 1  1 4 在RtADE中,DE  1 x2,在RtDHE中,EH  x,  在RtDHC中CH  3,在RtCBE中CE  x2 4x5. x 3  x2 4x5  x  2 3.  AE  2 3时,二面角D EC D的大小为 . 1 4 解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD 分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标 1 系，设AE=x，则A（1，0，1），D（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2， 1 1 0） （1）因为DA ,D E (1,0,1),(1,x,1) 0,所以DA  D E. 1 1 1 1 （2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而D E (1,1,1),AC (1,2,0)， 1 第6页 | 共9页 nAC 0, AD (1,0,1)，设平面ACD 的法向量为n (a,b,c)，则 1 1 nAD 0,  1 a2b 0 a  2b 也即 ，得 ，从而n (2,1,2)，所以点E到平面ADC的距离为 ac 0 a c 1 | D En| 212 1 h  1   . |n| 3 3 （3）设平面DEC的法向量n (a,b,c)，∴CE (1,x2,0),DC (0,2,1),DD (0,0,1), 1 1 1  nDC 0, 2bc 0 由 1   令b=1, ∴c=2,a=2－x，  nCE 0, ab(x2) 0. ∴n (2x,1,2).  |nDD | 2 2 2 依题意cos  1    . 4 |n|| DD | 2 (x2)2 5 2 1 ∴x 2 3（不合，舍去），x  2 3 . 1 2  ∴AE=2 3时，二面角D—EC—D的大小为 . 1 4 21．解：（1）方法一 用数学归纳法证明： 1 3 1°当n=1时，a 1,a  a (4a )  , 0 1 2 0 0 2 ∴a  a  2，命题正确. 0 1 2°假设n=k时有a  a  2. k1 k 1 1 则n  k 1时,a a  a (4a ) a (4a ) k k1 2 k1 k1 2 k k 1  2(a a ) (a a )(a a ) k1 k 2 k1 k k1 k 1  (a a )(4a a ). 2 k1 k k1 k 而a a 0. 4a a 0, a a 0. k1 k k1 k k k1 1 1 又a  a (4a )  [4(a 2)2] 2. k1 2 k k 2 k ∴n  k 1时命题正确. 由1°、2°知，对一切n∈N时有a  a  2. n n1 第7页 | 共9页方法二：用数学归纳法证明： 1 3 1°当n=1时，a 1,a  a (4a )  ,∴0 a  a  2； 0 1 2 0 0 2 0 1 2°假设n=k时有a  a  2成立， k1 k 1 令 f(x)  x(4x)， f(x)在[0，2]上单调递增，所以由假设 2 1 1 1 有： f(a ) f(a ) f(2),即 a (4a ) a (4a ) 2(42), k1 k 2 k1 k1 2 k k 2 也即当n=k+1时 a  a  2成立，所以对一切nN,有a  a  2 k k1 k k1 1 1 （2）下面来求数列的通项：a  a (4a )  [(a 2)2 4],所以 n1 2 n n 2 n 2(a 2)  (a 2)2 n1 n 1 1 1 1 1 1 令b  a 2,则b   b2   ( b2 )2   ( )2b22   ( )122n1b2n n n n 2 n1 2 2 n2 2 2 n1  2 n , 1 1 又b=－1，所以b  ( )2n1,即a  2b  2( )2n1 n n 2 n n 2 22．解：（1）设切点A、B坐标分别为(x,x2)和(x ,x2)((x  x )， 0 1 1 1 0 ∴切线AP的方程为：2x x yx2 0; 0 0 切线BP的方程为：2x x yx2 0; 1 1 x  x 解得P点的坐标为：x  0 1 ,y  x x P 2 P 0 1 x  x  x 所以△APB的重心G的坐标为 x  0 1 P  x ， G 3 P y  y  y x2  x2  x x (x  x )2 x x 4x 2  y y  0 1 P  0 1 0 1  0 1 0 1  P p , G 3 3 3 3 所以y  3y 4x2 ，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： p G G 1 x(3y4x2)2 0,即y  (4x2 x2). 3 1 x  x 1 1 （2）方法1：因为FA(x ,x 2  ),FP ( 0 1 ,x x  ),FB (x ,x 2  ). 0 0 4 2 0 1 4 1 1 4 由于P点在抛物线外，则| FP| 0. 第8页 | 共9页x x 1 1 1 0 1 x (x x  )(x 2  ) x x  FPFA 2 0 0 1 4 0 4 0 1 4 ∴cosAFP   , |FP||FA| 1 |FP| |FP| x 2 (x 2  )2 0 0 4 x  x 1 1 1 0 1 x (x x  )(x 2  ) x x  FPFB 2 1 0 1 4 1 4 0 1 4 同理有cosBFP    , | FP|| FB| 1 | FP| | FP| x 2 (x 2  )2 1 1 4 ∴∠AFP=∠PFB. 方法 2：①当 x x 0时,由于x  x ,不妨设x 0,则y 0,所以 P 点坐标为 1 0 1 0 0 0 x ( 1 ,0)， 则 P 点 到 直 线 AF 的 距 离 为 ： 2 1 x2  | x | 1 1 4 d  1 ;而直线BF的方程: y  x, 1 2 4 x 1 1 1 即(x2  )xx y x 0. 1 4 1 4 1 1 x x 1 | x | |(x2  ) 1  1 | (x2  ) 1 1 4 2 4 1 4 2 | x | 所以P点到直线BF的距离为：d    1 2 1 1 2 (x2  )2 (x )2 x2  1 4 1 1 4 所以d=d，即得∠AFP=∠PFB. 1 2 1 x2  ②当x x  0时，直线AF的方程：y 1  0 4 (x0),即(x2  1 )xx y 1 x 0, 1 0 4 x 0 0 4 0 4 0 0 1 x2  1 1 4 1 1 直线BF的方程：y  (x0),即(x2  )x x y x 0, 4 x 0 1 4 1 4 1 1 所以P点到直线AF的距离为： 1 x  x 1 x x 1 |(x2  )( 0 1)x 2x  x | | 0 1)(x 2  ) 0 4 2 0 1 4 0 2 0 4 | x x | d    0 1 ，同理可 1 1 1 2 (x2  )2  x 2 x2  0 4 0 0 4 | x x | 得到P点到直线BF的距离d  1 0 ，因此由d=d，可得到∠AFP=∠PFB. 2 2 1 2 第9页 | 共9页