成都市2022级高中毕业班摸底测试数学参考答案及评分意见_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年07月试卷_2407082025届四川成都高三零诊（成都市2022级高中毕业班摸底测试）

成都市 级高中毕业班摸底测试 ２０２２ 数学参考答案及评分意见 一、选择题:每小题 分 共 分 ( ５ , ４０ ) １．C; ２．A; ３．B; ４．D; ５．C; ６．A; ７．C; ８．B． 二、选择题:每小题 分 共 分 ( ６ , １８ ) ９．ABD; １０．ACD; １１．AC． 三、填空题:每小题 分 共 分 ( ５ , １５ ) １２．e; １３．６０,２４; １４．３３３． 四、解答题:共 分 ( ７７ ) 解 连接BD 设AC BD O 连接EO 则O为BD中点． 分 １５． :(Ⅰ) , ∩ ＝ , , 􀆺􀆺１ 在 BDD 中 因为OE为中点 所以OE BD ． 分 △ １ , , , ∥ １ 􀆺􀆺３ 又因为BD 平面ACEOE 平面ACE １⊄ , ⊂ , 所以BD 平面ACE． 分 １∥ 􀆺􀆺５ 以D为坐标原点 DADCDD 所在直线分 (Ⅱ) , , , １ 别为xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系． ,, 设正方体棱长为 ２, 则A C E C (２,０,０), (０,２,０), (０,０,１),１(０,２,２), AC→ ． 分 １＝(－２,２,２) 􀆺􀆺７ 设m xyz 为平面ACE的一个法向量 由AC→ AE→ 得 ＝(,,) , ＝(－２,２,０), ＝(－２,０,１), {m AC→ { x y 􀅰 ＝０, 即 －２ ＋２ ＝０, 令x 得m ． 分 ＝１ ＝(１,１,２) 􀆺􀆺１０ m AE→ ． x z ． 􀅰 ＝０ －２ ＋ ＝０ 设AC 与平面ACE所成角大小为θ 则 １ , m AC→ θ mAC→ | 􀅰 １| ２． 分 sin ＝|cos‹, １›|＝ m AC→ ＝ 􀆺􀆺１２ | |􀅰| １| ３ 所以AC 与平面ACE所成角的正弦值为 ２． 分 １ 􀆺􀆺１３ ３ 解 由a a a 令n 得a ． 分 １６． :(Ⅰ) ４＝７,２ n ＝２ n ＋１, ＝２ ２＝３ 􀆺􀆺２ 设{a}的公差为d n , 数学参考答案 第 页 共 页 １ ( ５ ) {#{QQABQYSQoggAApAAAQhCAQEoCEIQkBCACQgGABAAsAAAgBFABAA=}#}因为a a d 所以d ． 分 ４＝ ２＋２ , ＝２ 􀆺􀆺４ 所以a a n d n ． n ＝ ２＋(－２)＝２ －１ 故{a}的通项公式为a n ． 分 n n ＝２ －１ 􀆺􀆺６ 由 知b n n． 分 (Ⅱ) (Ⅰ) n ＝(２ －１)􀅰３ 􀆺􀆺７ S n ＝１×３ １ ＋３×３ ２ ＋􀆺＋(２ n －１)􀅰３ n ,① ３ S n ＝１×３ ２ ＋􀆺＋(２ n －３)􀅰３ n ＋(２ n －１)􀅰３ n ＋１ ,② 􀆺􀆺１０ 分 得 ①－② n －１ －２ S n ＝３ １ ＋２×３ ２ ＋􀆺＋２×３ n －(２ n －１)􀅰３ n ＋１ ＝３＋ １８(１－３ ) －(２ n －１)􀅰３ n ＋１ , １－３ 分 􀆺􀆺１３ 化简得 －２ S n ＝－６－(２ n －２)􀅰３ n ＋１． 􀆺􀆺１４ 分 所以S n ＝３＋( n －１)􀅰３ n ＋１． 􀆺􀆺１５ 分 解 设事件A 成都蓉城队主场与 队比赛获得积分为 分 １７． :(Ⅰ) １＝“ A ３ ”, 事件A 成都蓉城队主场与 队比赛获得积分为 分 ２＝“ A １ ”, 事件A 成都蓉城队主场与 队比赛获得积分为 分 ３＝“ A ０ ”, 事件B 成都蓉城队客场与 队比赛获得积分为 分 １＝“ B ３ ”, 事件B 成都蓉城队客场与 队比赛获得积分为 分 ２＝“ B １ ”, 事件B 成都蓉城队客场与 队比赛获得积分为 分 ３＝“ B ０ ”, 事件C 成都蓉城队七月主场与 队比赛获得积分超过客场与 队比赛获得积分 ＝“ A B ”． 则PC PAB PAB PAB １ １ １ １ １ １ １１． ( )＝ (１ ２)＋ (１ ３)＋ (２ ３)＝ × ＋ × ＋ × ＝ ２ ２ ２ ４ ３ ４ ２４ 所以成都蓉城队七月主场与 队比赛获得积分超过客场与 队比赛获得积分的概率 A B 为１１． 分 􀆺􀆺５ ２４ 由题意可知X的所有可能取值为 (Ⅱ) ０,１,２,３,４,６, PX １ １ １ PX １ １ １ １ １ ( ＝０)＝ × ＝ , ( ＝１)＝ × ＋ × ＝ , ６ ４ ２４ ３ ４ ６ ２ ６ PX １ １ １ PX １ １ １ １ １ ( ＝２)＝ × ＝ , ( ＝３)＝ × ＋ × ＝ , ２ ３ ６ ２ ４ ６ ４ ６ PX １ １ １ １ １ PX １ １ １ ． 分 ( ＝４)＝ × ＋ × ＝ , ( ＝６)＝ × ＝ 􀆺􀆺１１ ２ ２ ４ ３ ３ ２ ４ ８ 所以X的分布列为 : X ０ １ ２ ３ ４ ６ P １ １ １ １ １ １ ２４ ６ ６ ６ ３ ８ 数学参考答案 第 页 共 页 ２ ( ５ ) {#{QQABQYSQoggAApAAAQhCAQEoCEIQkBCACQgGABAAsAAAgBFABAA=}#}分 􀆺􀆺１２ 所以X的期望EX １ １ １ １ １ １ ３７． ( )＝０× ＋１× ＋２× ＋３× ＋４× ＋６× ＝ ２４ ６ ６ ６ ３ ８ １２ 分 􀆺􀆺１５ 解 因为直线AB的倾斜角为π 所以k ． 分 １８． :(Ⅰ) , AB ＝１ 􀆺􀆺１ ４ p 由题意 抛物线E的焦点F坐标为 ． 分 , (０, ) 􀆺􀆺２ ２ p 所以直线AB的方程为y x ． 分 ＝ ＋ 􀆺􀆺３ ２ 因为圆的方程为x２ y２ y 即x２ y ２ ＋ －４ ＝０, ＋(－２)＝４, 所以圆心坐标为 半径为 ． 分 (０,２), ２ 􀆺􀆺４ p ２－ 所以圆心到直线AB的距离d ２ ． 分 ＝ 􀆺􀆺５ ２ æ ö ２ 由垂径定理得d２ ç １４÷ 解得p 或p ． ＋è ø ＝４, ＝２ ＝６ ２ 故p 或p ． 分 ＝２ ＝６ 􀆺􀆺７ 由题意 直线AB斜率存在 (Ⅱ) , , p æ x２ ö æ x２ ö 设直线ABy kx Açx １÷ Bçx ２÷ :＝ ＋ , è １,pø, è ２,pø , ２ ２ ２ ì ï p ïy kx 由í ï ＝ ＋ ２ ,消去y得x２ －２ kpx － p２ ＝０, ï îx２ py ＝２ Δ p２k２ ． ＝４ ( ＋１)＞０ x x kpxx p２． 分 １＋ ２＝２ ,１ ２＝－ 􀆺􀆺９ æ pö 故AB中点M 坐标为 è çkp , k２p ＋ ø ÷ , 设C ( t ,０), 􀆺􀆺１０ 分 ２ 由CM AB得CM→ AB→ ⊥ 􀅰 ＝０, æ pö kp 即 ( kp － t )×１＋è çk２p ＋ ø ÷ 􀅰 k ＝０, 整理得３ ＋ k３p － t ＝０ ． ① 􀆺􀆺１２ 分 ２ ２ x２x２ 由CA CB得CA→ CB→ x t x t １ ２ ⊥ 􀅰 ＝(１－ )(２－ )＋ p２ ＝０, ４ x２x２ 即xx tx x t２ １ ２ １ ２－ (１＋ ２)＋ ＋ p２ ＝０, ４ p２ 代入整理得t２ kpt ３ ． 分 －２ － ＝０ ② 􀆺􀆺１４ ４ 数学参考答案 第 页 共 页 ３ ( ５ ) {#{QQABQYSQoggAApAAAQhCAQEoCEIQkBCACQgGABAAsAAAgBFABAA=}#}æ ö æ ö 由 ①② 消去t得k２p２ è çk２ ＋ ３ ø ÷ ２ －２ k２p２ è çk２ ＋ ３ ø ÷ － ３p２ ＝０, ２ ２ ４ æ ö æ ö 即 ４ k２ è çk２ ＋ ３ ø ÷ ２ －８ k２ è çk２ ＋ ３ ø ÷ －３＝０, ２ ２ 整理得k２ k４ ３ ． 分 ( ＋１)( － )＝０ 􀆺􀆺１５ ４ ４ 所以k４ ３ 解得k １２． ＝ , ＝± ４ ２ ４ 综上 直线AB的斜率k １２． 分 , ＝± 􀆺􀆺１７ ２ 解 当a 时fx x x x １９． :(Ⅰ) ＝２ ,()＝２ －ln(＋２)(＞－２), x f′x １ ２ ＋３． 分 ()＝２－x ＝x 􀆺􀆺２ ＋２ ＋２ æ ö 故当x ç ３÷ f′x fx 单调递减 ∈è－２,－ ø, ()＜０,() ; ２ æ ö 当x ç ３ ÷ f′x fx 单调递增． ∈è－ ,＋∞ø, ()＞０,() ２ æ ö æ ö 综上fx 的单调递减区间为ç ３÷ 单调递增区间为ç ３ ÷． 分 ,() è－２,－ ø, è－ ,＋∞ø 􀆺􀆺４ ２ ２ 由题意a ． (Ⅱ) ,≠０ ax a２ f′x a １ ＋ －１x a ． 分 ()＝ －x a＝ x a (＞－ ) 􀆺􀆺５ ＋ ＋ 当a 时fx 在 a 单调递减 ① ＜０ ,() (－ ,＋∞) , 由x fx 不合题意 分 →＋∞,()→－∞, ; 􀆺􀆺６ æ ö æ ö 当a 时fx 在ç a １ a÷单调递减 ç１ a ÷单调递增． ② ＞０ ,() è－ ,a－ ø ,èa－ ,＋∞ø 分 􀆺􀆺７ 由fx a １恒成立 得fx a １． ()≥ －a , ()min≥ －a æ ö æ ö fx fç１ a÷ a２ ç１ a a÷ a２ a a １． ()min＝ èa－ ø＝１－ －lnèa－ ＋ ø＝１－ ＋ln ≥ －a 即 a２ a a １ ． １－ ＋ln － ＋a≥０ 令ga a２ a a １ ()＝１－ ＋ln － ＋a, a３ a a２ a３ a２ a g′a a １ １ －２ ＋ － －１ －２ －( － ＋１) 恒成立 ()＝－２ ＋a－１－a２＝ a２ ＝ a２ ＜０ , 所以ga 在 单调递减 且g ． 分 () (０,＋∞) , (１)＝０ 􀆺􀆺９ 数学参考答案 第 页 共 页 ４ ( ５ ) {#{QQABQYSQoggAApAAAQhCAQEoCEIQkBCACQgGABAAsAAAgBFABAA=}#}故当a ga 符合题意 ∈(０,１],()≥０, , 当a ga 不合题意． ∈(１,＋∞),()＜０, 综上a的取值范围为 ． 分 , (０,１] 􀆺􀆺１０ n２ 由a a (Ⅲ) １＝１,n ＋１＝n２a n , ＋１ 得a １ 且a ． ２＝ , n ＞０ ２ 由 可知 令a 有x x 可得 x x (Ⅱ) , ＝１, ≥ln(＋１) ln ≤ －１, 令x １可得 １ １ 即 x １． 分 ＝t lnt≤t－１ ln ≥１－x 􀆺􀆺１２ n２ 由a 得a １ 即 １ a １． n ＋１＝n２a n ＋１ n ＋１＝ a １ a n ＋１ ＝ n ＋n２ n ＋n２ æ ö 两边取对数得 １ ça １÷ 由上述不等式得 lna n ＝lnè n ＋n２ ø, ＋１ æ ö １ １ a ça １÷ a １ lna n ≥１－ ＝１－ n ＋１,lnè n ＋n２ ø≤ n ＋n２－１, ＋１ １ a n ＋１ 于是 a a １ １－ n ＋１≤ n ＋n２－１, 所以a a １． 分 n ＋１＋ n ≥２－n２ 􀆺􀆺１４ 当n 时S a a ３ 不等式成立 ＝１ ,２＝ １＋ ２＝ ＞１＝２×１－１, ; ２ 当n 时 ≥２ , S a a a a a a ２ n ＝ １＋ ２＋ ３＋ ４＋􀆺＋ ２ n －１＋ ２ n ３ １ １ １ ≥ ＋２－ ２＋２－ ２＋􀆺＋２－ n ２ ２ ３ ５ (２ －１) é ù ３ n ê ê１ １ １ ú ú ＝ ＋２(－１)－ë ２＋ ２＋􀆺＋ n ２ û ２ ３ ５ (２ －１) é ù n １ ê ê １ １ １ ú ú ＞２ － －ë ＋ ＋􀆺＋ n n û ２ １×３ ３×５ (２ －３)(２ －１) æ ö n １ １ç １ １ １ １ １ ÷ ＝２ － － è１－ ＋ － ＋􀆺＋n －n ø ２ ２ ３ ３ ５ ２ －３ ２ －１ n １ n ．即当n 时 不等式成立． ＝２ －１＋ n ＞２ －１ ≥２ , ２(２ －１) 综上S n 得证． 分 ,２ n ＞２ －１ 􀆺􀆺１７ 数学参考答案 第 页 共 页 ５ ( ５ ) {#{QQABQYSQoggAApAAAQhCAQEoCEIQkBCACQgGABAAsAAAgBFABAA=}#}