成都市 2022 级高中毕业班摸底测试
数 学
本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前, 务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时, 必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦擦
干净后, 再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米黑色签字笔, 将答案书写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答, 在试题卷上答题无效。
5. 考试结束后, 只将答题卡交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一个选
项符合题目要求。
( 1) 6
1. x+ 的展开式中常数项为
x
(A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 30
2. 曲线 y=sinx 在点 (0,0) 处的切线方程为
(A) x- y=0 (B) x+ y=0 (C)
πx- y=0 (D) πx+ y=0
3. 记 S 为等差数列 {a } 的前 n 项和. 若 a +a =8,a =16 ,则 S =
n n 2 6 12 15
(A) 140 (B) 150 (C) 160 (D) 180
a
4. 已知函数 f (x)=lnx+ (a∈R) 的最小值为 1,则 a=
x
1 1
(A) (B) e (C) (D) 1
e 2
5. 同时抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子,记事件 A= “甲骰子正面向上的点数大于 3”,事件
B= “甲、乙骰子正面向上的点数之和为 6”,则 P(A∣B)=
1
学科网（北京）股份有限公司1 1 2
(A) (B) (C)
9 3 5
1
(D)
2
6. 在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),D(1,1,1) ,则四面体
ABCD 的体积为
1 ❑√2 ❑√3 2
(A) (B) (C) (D)
3 3 3 3
7. 将正整数 1,2,3,⋯ 按从小到大且第 k 组含 2k 个数分组:
(1,2),(3,4,5,6),(7,8,9,10,11,12,13,14) , ⋯ ,则 2024 在第 () 组.
(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11
8. 某学校有 A, B 两家餐厅, 张同学连续三天午餐均在学校用餐. 如果某天去 A 餐厅, 那么第 2
1 1
天还去 A 餐厅的概率为 ; 如果某天去 B 餐厅,那么第 2 天还去 B 餐厅的概率为 . 若
3 2
张同学第 1 天午餐时随机选择一家餐厅用餐, 则张同学第 3 天去 A 餐厅用餐的概率为
11 31 7 25
(A) (B) (C) (D)
24 72 18 72
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目
要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
x2 y2
9. 已知椭圆 C: + =1(b>0) 的两个焦点分别为 F ,F ,点 A(❑√3,1) 在椭圆 C 上,则
6 b2 1 2
(A) b=❑√2 (B) △F AF 的面积为 2
1 2
❑√3
(C) 椭圆 C 的离心率为 (D) △F AF 的内切圆半径为 ❑√6-2
2 1 2
10. 记 S 为数列 {a } 的前 n 项和. 已知 S =2a +n ,则
n n n n
(A) a =-1
1
(B) a <a
n n+1
(C) 数列 {a -1} 为等比数列 (D) S =2024+a
n 2023 2024
11. 已知函数 f (x)=ax(x-c) 2 (a≠0) ,则
(A) 若 a=c=1 ,则函数 g(x)=f (x)-2 有且仅有 1 个零点
(B) 若 f (x) 在 x=2 处取得极值,则 c=2
(C) 若 f (x) 无极值,则 c=0
2
学科网（北京）股份有限公司(D) 若 f (x) 的极小值小于 0,则 ac>0
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 若函数 f (x)=ex-ax 的单调递增区间为 [1,+∞) ,则 a 的值为_________.
13. 用 1,2,3,4,5 这 5 个数字可以组成______个无重复数字的三位数,这些三位数中能被 3
整除的共有______个(用数字作答).
14. 已知四个整数 a,b,c,d 满足 0<a<b<c<d . 若 a,b,c 成等差数列, b,c,d 成等比数列,
且 d-a=48 ,则 a+b+c+d 的值为_________.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
如图,正方体 ABCD-A B C D 中, E 为 DD 的中点.
1 1 1 1 1
(I) 证明: BD // 平面 ACE ;
1
(II) 求 AC 与平面 ACE 所成角的正弦值.
1
16. (本小题满分 15 分)
已知等差数列 {a } 满足 a =7,a =2a +1 .
n 4 2n n
(I) 求 {a } 的通项公式;
n
3
学科网（北京）股份有限公司(II) 若 b =3n ⋅a ,求数列 {b } 的前 n 项和 S .
n n n n
17. (本小题满分 15 分)
“十四五”时期, 成都基于历史文化底蕴、独特资源禀赋、生活城市特质和市民美好生活
需要, 高水平推进“三城三都” (世界文创名城、旅游名城、赛事名城和国际美食之都、音乐
之都、 会展之都) 建设. 2023 年, 成都大运会的成功举办让赛事名城的形象深入人心, 让世界看
到成都的专业、活力和对体育的热爱; 2024 年, 相约去凤凰山体育场观看成都蓉城队的比赛已
经成为成都人最时尚的生活方式之一. 已知足球比赛积分规则为: 球队胜一场积 3 分, 平一场积
1 分, 负一场积 0 分. 成都蓉城队 2024 年七月还将迎来主场与 A 队和客场与 B 队的两场比赛.
1 1
根据前期比赛成绩,设成都蓉城队主场与 A 队比赛: 胜的概率为 ,平的概率为 ,负的概率
2 3
1 1 1 1
为 ; 客场与 B 队比赛: 胜的概率为 ,平的概率为 ,负的概率为 ,且两场比赛结果相
6 4 2 4
互独立.
(I) 求成都蓉城队七月主场与 A 队比赛获得积分超过客场与 B 队比赛获得积分的概率;
(II) 用 X 表示成都蓉城队七月与 A 队和 B 队比赛获得积分之和,求 X 的分布列与期望.
18. (本小题满分 17 分)
已知抛物线 E:x2=2py(p>0) 的焦点为 F ,过 F 的直线与抛物线 E 相交于 A,B 两点.
4
学科网（北京）股份有限公司π
(I) 当直线 AB 的倾斜角为 时,直线 AB 被圆 x2+ y2-4 y=0 所截得的弦长为 ❑√14 ,求
4
p 的值;
(II) 若点 C 在 x 轴上,且 △ABC 是以 C 为直角顶点的等腰直角三角形,求直线 AB 的斜率.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 f (x)=ax-ln(x+a)(a∈R) .
(I) 当 a=2 时,求 f (x) 的单调区间;
1
(II) 若 f (x)≥a- 恒成立,求 a 的取值范围;
a
n2
(III) 若数列 {a } 满足 a =1,a = ,记 S 为数列 {a } 的前 n 项和. 证明:
n 1 n+1 n2a +1 n n
n
S >2n-1 .
2n
5
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