2005年福建高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_福建

2005 年福建高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题 共60分） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1 z 1．复数 1i的共轭复数是 （ ） 1 1 1 1  i  i A．2 2 B．2 2 C．1i D．1i {a } a a 16,a 1 a 2．已知等差数列 n 中， 7 9 4 ，则 12的值是 （ ） A．15 B．30 C．31 D．64 AB(k,1),AC (2,3), 3．在△ABC中，∠C=90°， 则k的值是 （ ） 3 3  A．5 B．－5 C．2 D． 2 , 4．已知直线m、n与平面 ，给出下列三个命题： m//,n//,则m//n; ①若 m//,n ,则n  m; ②若 m ,m//,则. ③若 其中真命题的个数是 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 f(x)  axb 5．函数 的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是 （ ） 第1页 | 共14页a 1,b0 A． a 1,b 0 B． 0 a 1,b 0 C． 0 a 1,b 0 D． y sin(x)(xR,0,0 2) 6．函数 的部分图象如图，则 （ ）      ,  , 2 4 3 6 A． B．    5  ,  , 4 4 4 4 C． D． |2x3|1,q:x(x3)0, 7．已知p： 则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1 的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（ ）  15 arccos A． 5 B． 4  10 arccos C． 5 D． 2 9．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人 游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 第2页 | 共14页（ ） A．300种 B．240种 C．144种 D．96种 x2 y2  1(a 0,b 0) 10．已知F1、F2是双曲线a2 b2 的两焦点，以线段F1F2为边作正三角 形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ） 31 42 3 31 2 31 A． B． C． D． a,bR,a2 2b2 6,则ab 11．设 的最小值是 （ ） 5 3 7   2 2 3 2 A． B． C．－3 D． f(x) f(2) 0 f(x) 0 12． 是定义在R上的以3为周期的奇函数，且 则方程 在区间（0， 6）内解的个数的最小值是 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。 1 (2 x  )6 x 13． 展开式中的常数项是 （用数字作答）。 2x y 0,  则x3y x,y x y30, 14．非负实数 满足 的最大值为 。 1bb2  bn1  lim  15．若常数b满足|b|>1，则n bn . 16．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题： f(x) 3log x g(x) g(x) 若函数 2 的图象与 的图象关于 对称，则函数 = 。 （注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）  1   x 0,sinxcosx  2 5 已知 . （I）求sinx－cosx的值； 第3页 | 共14页x x x x 3sin2 2sin cos cos2 2 2 2 2 （Ⅱ）求 tanxcotx 的值. 18．（本小题满分12分） 1 2 与 2 5 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 ，投中得1分，投不中得0分. （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望； （Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率； 19．（本小题满分12分） ax6 f(x)  已知函数 x2 b 的图象在点M（－1，f(1)）处的切线方程为x+2y+5=0. （Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式； （Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间. 20．（本小题满分12分） 如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点， 且BF⊥平面ACE. （Ⅰ）求证AE⊥平面BCE； （Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小； （Ⅲ）求点D到平面ACE的距离. 21．（本小题满分12分） x2 y2  1(a b 0) 已知方向向量为v=(1, 3 )的直线l过点（0，－2 3 ）和椭圆C：a2 b2 的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上. 第4页 | 共14页（Ⅰ）求椭圆C的方程； 4 OM ON  6 3 （Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足 cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分14分） 1 a 已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+ n 我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当 3 5 1 1 1,2, , , ;当a   时,得到有穷数列: ,1,0.  2 3 2 2 a=1时，得到无穷数列： （Ⅰ）求当a为何值时a4=0； 1 (nN ) b 1  （Ⅱ）设数列{bn}满足b1=－1, bn+1= n ，求证a取数列{bn}中的任一个数， 都可以得到一个有穷数列{an}； 3  a  2(n 4) 2 n （Ⅲ）若 ，求a的取值范围. 参考答案 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分. 1.B 2.A 3.A 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.B 10.D 11.C 12.D 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 1 13.240 14.9 15. b1 16.如 ①x轴，－3－log2x ②y轴，3+log2(－x) ③原点，－3－log2(x) ④直线y=x, 2x－3 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 第5页 | 共14页17．本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知 识，以及推理和运算能力.满分12分. 1 1 sinxcosx  ,平方得sin2 x2sinxcosxcos2 x  , 5 25 解法一：（Ⅰ）由 24 49 2sinxcosx   . (sinxcosx)2 12sinxcosx  .  25 25 即    x 0,sinx 0,cosx 0,sinxcosx 0,  2 又 7 sinxcosx   . 5 故 x x x x x 3sin2 2sin cos cos2 2sin2 sinx1 2 2 2 2 2  tanxcosx sinx cosx  （Ⅱ） cosx sinx sinxcosx(2cosxsinx) 12 1 108 ( )(2 ) 25 5 125  1 sinxcosx , ①  5 解法二：（Ⅰ）联立方程  sin2cos2x1. ② 1 sinx  cosx, 5 25cos2 x5cosx120, 由①得 将其代入②，整理得  3 sinx  , 3 4    5 cosx  或cosx  .    x0, 5 5 2 4 cosx  .   5 7 sinxcosx   . 5 故 x x x x x 3sin2 2sin cos cos2 2sin2 sinx1 2 2 2 2 2  tanxcotx sinx cosx  cosx sinx （Ⅱ） sinxcosx(2cosxsinx) 3 4 4 3 108 ( ) (2  )   5 5 5 5 125 第6页 | 共14页18．本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力. 满分12分. 解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则 1 2 1 3 P(A)  ,P(B)  ,P(A)  ,P(B)  . 2 5 2 5 甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，则ξ概率分布为： ξ 0 1 2 P 3 1 1 10 2 5 3 1 1 9 10 2 5 10 Eξ=0× +1× +2× = 9 10 答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为 . （Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 1 1 3 3 9 P      2 2 5 5 100 ∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率 9 91 P 1P 1  . 100 100 91 . 100 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为 19．本小题主要考查函数的单调性，导数的应用等知识，考查运用数学 知识，分析问题和 解决问题的能力.满分12分. 解：（1）由函数f(x)的图象在点M（－1f(－1)）处的 切线方程为x+2y+5=0，知 1 12f(1)50,即f(1)  2, f (1)   . 2 a(x2 b)2x(ax6) f (x)  .  (x2 b)2 ab  2 a  2b4   1b  1  即 a(1b)2(a6)   a(1b)2(a6) 1 2    (1b)2   2   (1b)2 ∴ 第7页 | 共14页解得a 2,b3( b10,b1舍去).  2x6 所以所求的函数解析式是f(x) . x2 3 2x2 12x6 (II)f(x) . (x2 3)2 令2x2 12x60,解得x 32 3,x 32 3, 1 2 当x32 3,或x32 3时, f(x)0; 当32 3  x32 3时, f(x)0. 2x6 所以f(x) 在(,32 3)内是减函数;在(32 3,32 3)内是增函数; x2 3 在(32 3,)内是减函数. 20．本小题主要考查直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等基础知识，考查空间想 象能力，逻辑思维能力与运算能力. 满分12分. 解法一：（Ⅰ） BF 平面ACE. BF  AE. CB  AB CB  ∵二面角D—AB—E为直二面角，且 ， 平面ABE. CB  AE. AE 平面BCE. （Ⅱ）连结BD交AC于G，连结FG， 2 ∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG= ，  BF 平面ACE， 由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC. BGF 是二面角B—AC—E的平面角. 由（Ⅰ）AE⊥平面BCE， 又 AE  EB， 2 ∴在等腰直角三角形AEB中，BE= . BCE中,EC  BC2 BE2  6, 又直角 第8页 | 共14页BCBE 2 2 2 3 BF    EC 6 3 ， 2 3 BF 3 6 直角BFG中,sinBGF    . BG 2 3 6 arcsin . 3 ∴二面角B—AC—E等于 EO  AB （Ⅲ）过点E作 交AB于点O. OE=1.∵二面角D—AB—E为直二面角， ∴EO⊥平面ABCD. 设D到平面ACE的距离为h， 1 1  S h  S EO.  V DACE V EACD , 3 ACB 3 ACD  AE 平面BCE， AE  EC. 1 1 ADDCEO 221 2 2 2 3 h   . 1 1 3 AEEC 2 6 2 2 2 3 . 3 ∴点D到平面ACE的距离为 解法二：（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直 线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行 于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系 O—xyz，如图.  AE 面BCE，BE面BCE， AE  BE， 第9页 | 共14页RtAEB中,AB  2,O为AB 在 的中点， OE 1. A(0,1,0),E(1,0,0),C(0,1,2). AE (1,1,0),AC (0,2,2). n (x,y,z) 设平面AEC的一个法向量为 ，  AEn 0, x y 0, 即    ACn 0, 2y2x 0. 则 y  x,  z  x, 解得 x 1, n (1,1,1) 令 得 是平面AEC的一个法向量. m (1,0,0) 又平面BAC的一个法向量为 ， m,n 1 3 cos(m,n)    . |m||n| 3 3 3 arccos . 3 ∴二面角B—AC—E的大小为 AD (0,0,2) （III）∵AD//z轴，AD=2，∴ ， | ADn| 2 2 d | AD||cos AD,n    3. |n| 3 3 ∴点D到平面ACE的距离 21．本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解 题能力.满分14分. l: y  3x2 3 （I）解法一：直线 ， ① 3 y   x l 3 过原点垂直 的直线方程为 ， ② 3 x  . 2 解①②得 l ∵椭圆中心O（0，0）关于直线 的对称点在椭圆C的右准线上， a2 3   2 3. c 2 l ∵直线 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）. 第10页 | 共14页x2 y2  1. c  2,a2 6,b2  2. 6 2 故椭圆C的方程为 ③ l: y  3x2 3 解法二：直线 . q p  3 2 3  2 2  q  3 1. 设原点关于直线 l 对称点为（p，q），则   p 解得p=3. l ∵椭圆中心O（0，0）关于直线 的对称点在椭圆C的右准线上， a2  3. c l ∵直线 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）. x2 y2  1. c  2,a2 6,b2  2. 6 2 故椭圆C的方程为 ③ x ,y x ,y （II）解法一：设M（ 1 1），N（ 2 2）. x m: y  k(x2) 当直线m不垂直 轴时，直线 代入③，整理得 12k2 12k2 6 x  x   ,x x  , (3k2 1)x2 12k2x12k2 6 0, 1 2 3k2 1 1 2 3k2 1 12k2 12k2 6 2 6(1k2) |MN | 1k2 (x x )2 4x x  1k2 ( )2 4  , 1 2 1 2 3k2 1 3k2 1 3k2 1 |2k | d  1k2 点O到直线MN的距离 4 4 cosMON  OM ON  6cotMON, |OM ||ON |cosMON  6 0, 3 即 3 sinMON 4 2 4 |OM ||ON|sinMON  6,S  6.|MN|d  6, 3 OMN 3 3 4 4 6 |k | k2 1  6(3k2 1). 3 即 1 3 k2  ,k   . 3 3 整理得 2 S  6 当直线m垂直x轴时，也满足 OMN 3 . 第11页 | 共14页3 2 3 y  x , 3 3 故直线m的方程为 3 2 3 y   x , 3 3 x  2. 或 或 OM ON  0 经检验上述直线均满足 . 3 2 3 3 2 3 y  x , y   x , 3 3 3 3 x  2. 所以所求直线方程为 或 或 x ,y x ,y 解法二：设M（ 1 1），N（ 2 2）. x m: k(x2) 当直线m不垂直 轴时，直线 代入③，整理得 12k2 x  x   , (3k2 1)x2 12k2x12k2 6 0, 1 2 3k2 1 ∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点， ∴|MN|=|ME|+|NE| a2 a2 c 2 12k2 2 6(k2 1) e( x )e( x ) (x x )2a ( )2 6  . = c 1 c 2 a 1 2 6 3k2 1 3k2 1 以下与解法一相同. x ,y x ,y 解法三：设M（ 1 1），N（ 2 2）. m:x ty2 (t2 3)y2 4ty20. 设直线 ，代入③，整理得 4t 2 y  y  ,y y  , 1 2 t2 3 1 2 t2 3 4t 8 24t2 24 | y  y | (y  y )4y y  ( )2   . 1 2 1 2 1 2 t2 3 t2 3 (t2 3)2 4 4 cosMON  OM ON  6cotMON, |OM ||ON |cosMON  6 0, 3 即 3 sinMON 4 2 |OM ||ON|sinMON  6,S  6. 3 OMN 3 24t2 24 1 . S  S S  |OE|| y  y | OMN OEM OEN 2 1 2 (t2 3)2 24t2 24 2 6 ∴ (t2 3)2 =3 ，整理得 t4 3t2. 第12页 | 共14页t   3, t 0. 解得 或 3 2 3 3 2 3 y  x , y   x , 3 3 3 3 x  2. 故直线m的方程为 或 或 OM ON  0. 经检验上述直线方程为 3 2 3 3 2 3 y  x , y   x , 3 3 3 3 x  2. 所以所求直线方程为 或 或 22．本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考试逻辑思维能力、分析问题和解决问题的 能力.满分14分. 1 a  a,a 1 ,  1 n1 a （I）解法一： n 1 1 a1 1 2a1 a 1 1  ,a 1  2 a a a 3 a a1 1 2 1 3a2 2 a 1  .故当a  时a 0. 4 a 2a1 3 4 3 1 解法二: a 0,1 0,a 1.  4 a 3 3 1 1 1 2 2 a 1 ,a  . a 1 ,a  .故当a  时a 0.  3 a 2 2  2 a 3 3 4 2 b 1 (II)解法一: b 1,b  ,b  1.  1 n1 b 1 n b n n1 a取数列{b }中的任一个数不妨设a b . n n 1 1 a b ,a 1 1 b .  n 2 a b n1 1 n 1 1 a 1 1 b . 3 a b n2 2 n1  1 1 a 1 1 b 1. n a b 1 n1 2 a 0. n1 故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an} 1 1 b  1,b  ,b  1  1 n1 b n b 解法二： n1 n1 第13页 | 共14页1 当a b时,a 1 0 1 2 b 1 1 当a b 时,a 1 b a 0 2 2 b 1 3 2 1 1 1 当a b 时,a 1 b a 1 1 b 3 2 b 2 3 a b 1 3 2 2 a 0 ∴ 4 ………… a 0 a ,a ,a , ,a 一般地，当a=bn时， n1 可得一个含有n+1项的有穷数列 1 2 3  n1 下面用数学归纳法证明： ①当n=1时，a=b1显然a2=0得到一个含有2项的有穷数列a1，a2。 a b a ,a ,a , ,a ,其中a 0 ②假设当 n=k时， k得到一个含有 k+1项的有穷数列 1 2 3  k1 k1 ， 1 a 1 b a b 2 b k 则n=k+1时， k1 ∴ k1 a ,a , ,a ,其中a 0 由假设可知，可得到一个含有k+1项的有穷数列 2 3  k2 k2 a ,a ,a , ,a ,其中a 0 ∴当n=k+1时，可得到一个含有k+2项的有穷数列 1 2 3  k1 k2 nN 由①②知，对一切 命题都成立。 3 3 1  a  2,即 1  2. 1 a  2. 2 n 2 a 1 n1 （Ⅲ）要使 n 3  a  2 2 n a 满足1 a  2. ∴要使 当且仅当它的前一项 n1 n1 3 3 3 ( ,2)(1,2) a ( ,2) a ( ,2)(n 5) ∵ 2  ∴只须当 4 2 时都有 n 2 3a2 3 3a2 3 3a2 a  ,得   2,得   2. 由 4 2a1 2 2a1 2 2a1 3 3a2  1  a     2 2a1  2 得   3a2 1   2  a 0或a   .   2a1  2 解不等式组 故a>0 第14页 | 共14页