文档内容
2024-2025 学年高二上学期 9 月检测
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知向量 ， ，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
2．已知空间直角坐标系 中的 点关于 轴的对称点为 ，则 的值为（ ）
A． B．4 C．6 D．
3．已知直线 ： 与直线 ： ，若 ，则 （ ）
A． B．2 C．2或 D．5
4．已知圆 过点 ，则圆心 到原点距离的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
5．如图，已知正方体 中，F为线段 的中点，E为线段 上的动点，则下列四个结论正确的
是（ ）
A．存在点E，使 平面
答案第1页，共2页
学科网（北京）股份有限公司B．三棱锥 的体积随动点E变化而变化
C．直线 与 所成的角不可能等于
D．存在点E，使 平面
6．已知正方体 的棱长为 ， 是棱 上的一条线段，且 ，点 是棱 的中点，点
是棱 上的动点，则下面四个结论中正确的个数是（ ）
① 与 一定不垂直 ②二面角 的正弦值是
③ 的面积是 ④点 到平面 的距离是常量
A． B． C． D．
7．若在圆 上，总存在相异两点到原点的距离等于1，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知点A在直线 上，点 在直线 上，线段 的中点为 ，且满足 ，
则 的取值范围为
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部
分选对得3分，有选错的得0分。）
9．如图，边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将 ， ， 分别沿DE，
DF，EF折起，使A，B，C重合于点P，则下列结论正确的是（ ）
答案第2页，共2页A． B．三棱锥 的外接球的体积为
C．点P到平面DEF的距离为 D．二面角 的余弦值为
10．已知四面体 中， ， ， 两两垂直，则以下结论中一定成立的是（ ）
A． ； B．
C． ； D．
11．已知圆 ： 和直线 ，则（ ）
A．直线 与圆 的位置关系无法判定
B．当 时，圆 上的点到直线 的最远距离为
C．当圆 上有且仅有3个点到直线 的距离等于1时，
D．如果直线 与圆 相交于 、 两点，则 的中点的轨迹是圆的一部分
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分。）
12．已知平面向量 ，满足 与 的夹角为 ，且 ，则对一切实数
的最小值是 ．
13．如图，在正四棱锥 中，二面角 为60°，E为 的中点.已知F为直线 上一点，且F与
A不重合，若异面直线 与 所成角为60°，则 = .
答案第3页，共2页
学科网（北京）股份有限公司14．设直线2x－y－ ＝0与y轴的交点为P，点P把圆(x＋1)2＋y2＝25的直径分为两段，则这两段之比为
．
四．解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（14分）15．已知 的三个顶点分别为 ， ， ，其中点 在直线 上
(1)若 ，求 的 边上的中线所在的直线方程：
(2)若当 时，求实数 的值．
（14分）16．在平面直角坐标系中，横､纵坐标都是整数的点称为整点，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列
与 ，其中 ，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同：②
，其中 ，则称 与 互为正交点列.
(1)求 的正交点列 ；
(2)判断 是否存在正交点列 ？并说明理由.
（16分）17．如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为3的正方形， 平面 ， ，
点 是棱 的中点，点 是棱 上的一点，且 .
答案第4页，共2页(1)证明：平面 平面 ；
(2)求平面 和平面 夹角的大小.
（17分）18．设直线 的方程为 .
(1)求证：不论a为何值，直线 必过一定点P；
(2)若直线 分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A，B，当 面积最小时，求 的周长；
(3)当直线 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线 的方程.
（16分）19．已知四棱锥 ，底面 为菱形， 为 上的点，过 的平面分别交
于点 ，且 ∥平面 ．
(1)证明： ；
(2)当 为 的中点， 与平面 所成的角为 ，求平面 与平面 所成的锐二
面角的余弦值．
答案第5页，共2页
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