文档内容
2024-2025 学年高二上学期 11 月检测
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写
在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.）
1. 无论 为何值，直线 过定点（）
A. B. C. D.
2. 已知圆 和点 ，若点 在圆 上，且
，则实数 的最小值是（）
A. B. 6 C. -6 D.
3. 已知向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为（）
A. B.
C. D.
4. 空间四边形 中， ， ， ，点 在 上，且 为 中点， 为 中
点，则 等于（）A. B.
C. D.
5. 如图，在三棱锥P-ABC中， ， ， ，点D，E，
F满足 ， ， ，则直线CE与DF所成的角为（）
A. 30° B. C. 60° D. 90°
6. 钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市
的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收
拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心
上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟
面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的
角的余弦值为（）
A. B. C. D.的
7. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触
面上的数字，得到样本空间为 ，记事件 “得到的点数为奇数”，记事件 “得
到的点数不大于4”，记事件 “得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（）
A. 事件 与 互斥 B.
C. D. 两两相互独立
8. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直
角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x,y)是阴影部分（包括边界）的动点，则
的最小值为（）
A. B.
C. D.二．多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.）
9. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 为椭圆 上一点，则（）
A. 的周长为
B. 存在点 ，使得
C. 若 ，则 的面积为
D. 使得 为等腰三角形的点 共有4个
A B C D
10. 如图，已知正方体 的棱长为2，点 ， 在四边形 1 1 1 1所在的平面内，若
， ，则下述结论正确的是（）
A. 二面角 的平面角的正切值为2
B.
C. 点 的轨迹是一个圆
D. 直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
11. 为平面 外一点， 是平面 内一点．下列说法中正确的有（）
A. 若 ，则B. 若 为 重心，则
C. 若 与 所成的角为 与平面 所成的角为 ，则
D. 若 ，则 ．
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分.）
的
12. 点A是圆 上 一个动点，点 ，当点A在圆上运动时，线段 的中点P的轨迹方程
为_______.
13. 已知椭圆 的左焦点为 ，过原点的直线与椭圆 交于 ， 两点，
， ，则椭圆 的离心率为______________.
14. 如图，在四棱锥 中，顶点P在底面的投影 恰为正方形ABCD的中心且 ，设点
M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当 取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四
棱锥的外接球的表面积为____________．
四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知圆 ，点 为直线 上一动点，过点 引圆 的两条切线，
切点分别为（1）当 时，求 的值；
（2）若两条切线 与 轴分别交于 两点，求 的面积的最小值．
16. 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面 ， ， ，
，点 在棱 上，且 平面 .
（1）求证： 为 中点；
（2）求平面 与平面 夹角的正弦值；
（3）若点 为棱 上一动点（含端点），求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围.
17. 为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，重庆市政府积极鼓励居民节约用水．
计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 （吨），一位居民的月用水量不超过
的部分按平价收费，超出 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位
居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 ， ，…， 分成9组，制成了如图所示
的频率分布直方图，其中 ．
的
（1）求直方图中 ， 值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点
值作为代表）；（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使 的居民每月的用水量不超过标准 （吨），估计 的值，并说明理由．
18. 已知直线 及圆 .
（1）求证：直线 过定点，并求出圆心 到直线 距离最大时的 值；
（2）若直线 与圆 相交于 、 两点，且弦 的长为 ，求 的值.
的
19. 某班同学利用春节进行社会实践，对本地 岁 人群随机抽取 人进行了一次生活习惯是否符合
低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各
年龄段人数频率分布直方图．
分组
序号 本组中“低碳族”人数 “低碳族”人数在本组所占的比例
（岁）
1 [25, 30) 120 0.6
2 [30, 35) 195 p
3 [35, 40) 100 05
4 [40, 45) a 0.4
5 [45, 50) 30 0.3
6 [55, 60) 15 0.3
（一）人数统计表（二）各年龄段人数频率分布直方图
（1）在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出 、 、 的值；
（2）从 岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求 岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率．2024-2025 学年高二上学期 11 月检测
数学
一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.）
1.
【答案】A
2.
【答案】D
3.
【答案】D
4.
【答案】B
5.
【答案】D
6.
【答案】B
7.
【答案】C
8.
【答案】C
二．多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.）
9.
【答案】AB
10.
【答案】BCD
11.
【答案】ABD
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分.）
12.【答案】
13.【答案】
14.
【答案】 .
四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.
【解析】
【分析】（1）根据圆的切线性质及点到直线距离公式进行求解即可；
（2）利用圆心到直线的距离等于半径得到 ，根据韦达定理得到
， ，进而得到 ，再根据三角
形面积公式结合二次函数的性质求解即可.
【小问1详解】
由圆 ，可知 ，半径为1，
设过点 引圆 的切线，显然两条切线的斜率都存在，
设切线方程为： ，即 ，
由 ，解得 或 ，
因此切线所在直线方程为 或 ，
分别联立 ， ，解得 ， ，即 ，
所以 .
【小问2详解】
由（1）知 ，半径为1，
设过点 引圆 的切线，显然两条切线的斜率都存在，
设切线方程为： ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
设 ， 是方程 的两个根，
则 ， ，
所以 ，
在切线方程中，令 ，得 ，
设 ， ，
则 ，
则 的面积为 ，
当 时， 的面积取得最小值，最小值为 .16.
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的性质定理，得到线线平行，再根据中位线性质定理证明 为 中点.
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的三角函数值.
（3）在（2）的基础上，利用空间向量求线面角的正弦值的取值范围.
【小问1详解】
连结 交 于点 ，连结 ，
因为底面 是矩形，所以 为 中点，
因为 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，所以 ，
又因为 为 中点，所以 为 中点.
【小问2详解】
取 的中点 ，连结 ， ，因为底面 为矩形，所以 ，
因为 ， 为 中点，所以 ， ，
所以 ，又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ，所以 平面 ，所以 ，
所以 ， ， 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系 ，则由题意可得：
， ， ，P(0,0,1)， ， ，
则 ， ， ，
由上可知 为平面 的一个法向量，
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，
，令 ，则 ， ，所以 ，
所以 ， ，
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 .
【小问3详解】
由（2） ， ，因为点 在棱 上（含端点）
所以设 ，
则 ，
设 与平面 所成角为 ，则
，所以直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 .
17.
【解析】
【分析】（1）由频率之和为1以及 列方程组求得 的值，并由频率分布直方图中间值作为代
表，计算出平均数；
（2）计算不低于2吨人数对应的频率，求出对应的人数；
（3）由频率分布直方图计算频率，可判断 ，再根据频率列出方程，求出 的值.
【小问1详解】
由频率分布直方图可得
，
又 ，则 ， ，
该市居民用水的平均数估计为：
；
【小问2详解】
由频率分布直方图可得，
月均用水量不超过2吨的频率为： ，
则月均用水量不低于2吨的频率为： ，
所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：
（万）；
【小问3详解】
由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，
月均用水量不超过5吨的频率为0.73，
则85%的居民每月的用水量不超过标准 （吨）， ，
，解得 ，
即标准为5.8吨．18.
【解析】
【分析】（1）将直线 的方程化为 ，由 可得出直线 所过定点的坐标，分
析可知，定点在圆上，且当圆心 到直线距离最大时直线与圆相切，利用直线与圆相切可求得实数 的值；
（2）利用勾股定理可求出圆心到直线 的距离，再利用点到直线的距离公式可求得实数 的值.
【小问1详解】
证明：因为直线 ，得 ，
由 ，可得 ，所以直线 过定点 .
圆 ，所以定点 在圆上，
圆心 ，半径为 .
当圆心 到直线距离最大时直线与圆相切，此时有： ，所以 .
【小问2详解】
解：设点 到直线 的距离为 ，利用勾股定理得： .
同时利用圆心到直线的距离： ，解得 .
19.
【解析】
【分析】（1）先根据频率分布直方图中所有小长方形面积和为1得第二组的频率，除以组距得高，再补全
直方图，根据频率等于频数除以总数求得 、 、
（2）先根据分层抽样确定两区间抽取人数，利用列举法确定总的基本事件数，以及 岁中被抽取的
人恰好又分在同一组的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.
【小问1详解】结合频率分布直方图可知，第二组的频率为 ，
所以第二组高为 ．故补全频率分布直方图如下：
结合人数统计表与频率分布直方图，可知第一组的人数为 ，频率为 ，所以
；
因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为 ，所以 ；
因为第四组的频率为 ，所以第四组的人数为 ，所以 ．
【小问2详解】
因为 岁年龄段的“低碳族”与 岁年龄段的“低碳族”的比为 ，
所以采用分层抽样法抽取6人，则在 岁中抽取4人，在 岁中抽取2人．
设年龄在 中被抽取的4个人分别为： ；
年龄在 岁中被抽取的2个人分别为： ；
则总的基本事件有： , , , ,,…… ，共20个；
记“ 岁中被抽取的人恰好有分在同一组” 为事件C，而事件C包含的基本事件有8个；
所以 .
