文档内容
数学答案
1．A【详解】根据题意， ，
所以 .
2．D【详解】因为 关于 轴的对称点为 ，所以 ，
所以 ，
3．A【详解】若 , 则 ，
所以 或 .
当 时, 重合, 不符合题意, 所以舍去;
当 时, 符合题意.
4．D【详解】设圆心 ,由 得 ，化简得 ，即圆心在直线
运动，圆心 到原点距离的最小值即原点到直线 的距离，故最小值为 ，
5．D【详解】在正方体 中，以点D为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标
系，
设正方体棱长为2，则 ，
由 在线段 上运动，设 （ ），则 ，
平面 的法向量 ，显然 ，则直线 与平面 不平行，A错误；
，设直线 与 所成角为 ，则 ，
显然当 时， ， ，即存在点E使得直线 与 所成的角为 ，C错误；
答案第1页，共2页
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为⃗m=(x,y,z)， ，
则 ，令 ，得 ，
当 时， ，因此 平面 ，D正确；
点 在正方体 的对角面矩形 的边 上，则 ，
而 平面 平面 ，则 ，又 ，
可得 平面 ，点 到平面 的距离为 ，则三棱锥 的体积为定值，B错误.
6．C【详解】以点 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 、 、 轴的正方向建立如下图所示的空间直角
坐标系，
设 、 ，其中 ，设点 ，其中 ，
易知点 ， 、 、 、 、 、
、 、 ，
对于①， ， ，则 ，
当点 与点 重合时，即 ，此时 ，即 ，故①错；
对于②，因为 ， ，故平面 即平面 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
易知平面 即为平面 ， ，
答案第2页，共2页
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
所以， ，
则 ，
因此，二面角 的正弦值是 ，故②对；
对于③， ， ，
所以，点 到直线 的距离为 ，
所以， ，故③对；
对于④，由②知，平面 的一个法向量为 ，
所以，点 到平面 的距离为 ，④对.
7．C【详解】由题意可知，
若在圆 上，总存在相异两点到原点的距离等于1，等价于圆 和圆
相交，
则圆心 与原点之间的距离为 ，
，即 ，解得 或 ，
实数 的取值范围是 .
8．A【详解】∵直线 与直线 平行，线段 的中点为 ，
，化简可得
答案第3页，共2页
学科网（北京）股份有限公司解得 ，
设 ，
，即
9．AC【详解】对于A选项，作出图形，
取EF中点H，连接PH，DH，由原图知 和 均为等腰三角形，故 ， ，又因为
，所以 平面PDH，
又 平面PDH，所以 ，A正确；
由PE，PF，PD三线两两垂直，如下图构造长方体，长方体的外接球就是三棱锥 的外接球，长方体的体
对角线就是外接球的直径，设为2R，则 ，则 ，所以所求外接球的体积为
，B错误；
根据题意，可知PE，PF，PD三线两两垂直，且 ， ，在 中， ，
，由等积法可得 ，得 ，C正确；
由题意如上图， ， ，则 ， ，所以∠PHD为二面角 的一个平面
角，因为 ， ，且 ，所以 平面PEF，则 ，即 ，在
中， ，D不正确．
答案第4页，共2页
学科网（北京）股份有限公司10．ACD【详解】由题意可知， ， ， 两两垂直，所以 ，
对于A选项，
，
，故 ，所以A选项正确；
对于B选项， ，
当 时， ，否则不成立，所以选项B不正确；
对于C选项，
，所以选项C正确；
对于D选项， ，同理可得 ， ，
所以 ，选项D正确，
11．BCD【详解】圆 ： ，即 ，圆心为 ，半径为 .
直线 ，即 ，
当 时， ，所以直线 过定点 .
，所以点 在圆 内，所以直线 与圆 相交，A选项错误.
时，直线 的方程为 ，圆心 到直线的距离为 ，
所以圆 上的点到直线 的最远距离为 ，B选项正确.
若圆 上有且仅有3个点到直线 的距离等于 ，则圆心 到直线 的距离为 ，
即 ，C选项正确.
对于D选项，直线 与圆 相交于 、 两点，设 的中点P(x,y)，则 ，
则 ，即 点的轨迹是以 为直径的圆.
由于直线 的斜率存在，所以 点的轨迹是以 为直径的圆，且除去与直线 的交点（ 以外的另一点），
所以D选项正确.
答案第5页，共2页
学科网（北京）股份有限公司12．
【详解】由题知 ，则 ，
则 ，故若使 取最小值，
则只需向量 与向量 反向，
即
，
当且仅当 时，等号成立.
故答案为：
13．11
【详解】取 的中点G， 与 的交点为 ，以O为坐标原点，分别以 为 轴的正方向，建
立空间直角坐标系 ，设
因为二面角 为60°，所以
则 .
设 ，则
从而
答案第6页，共2页
学科网（北京）股份有限公司整理得 ，解得 (舍)，
故 .
14． 或
【详解】依题意令x＝0,得P（0，﹣√3），
（x+1）2+y2＝25圆心C（﹣1，0），
∴|CP|＝ ＝2，∵半径为5，
∴其长度之比＝ ＝ 或 ＝ ，
故答案为 或 ．
15．(1) (2)6
【详解】（1）当 时， ，AB的中点为 ，
则 ，由直线的点斜式方程得MC的方程为
，即 ；
（2）设 ， ，则 ，
当 时， ，即 ，解得 .
16．(1) (2)不存在，理由见解析
【详解】（1）设点列 的正交点列是 ，
答案第7页，共2页
学科网（北京）股份有限公司由正交点列的定义可知 ，
设 ，
由正交点列的定义可知 ，
即 ，解得
所以点列 的正交点列是 .
（2）由题可得 ，
设点列 是点列 的正交点列，
则可设
因为 与 与 相同，所以有
因为 得方程 ，显然不成立，
所以有序整点列 不存在正交点列.
17．(1)证明见解析 (2) .
【详解】（1）如图，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
所以 ，设 ，
则 ，解得 ，即 .
则 ，
答案第8页，共2页
学科网（北京）股份有限公司设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即
令 ，解得 ，所以平面 的一个法向量为 .
因为 ，设平面 的一个法向量为 ，
所以 即 ，令 ，解得 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
又 ，所以平面 平面 ；
（2） ，
所以 .
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，即
令 ，解得 ，
所以平面 的一个法向量为 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即
令 ，解得 ，所以平面 的一个法向量为 .
，
所以平面 和平面 夹角的大小为
答案第9页，共2页
学科网（北京）股份有限公司18．(1)证明见解析 (2) (3)见解析.
【详解】（1）由 得:
；
则 ，解得
所以不论 为何值，直线 必过一定点 ；
（2）由 得，
当 时， ，当 时， ，
又由 ，得 ，
∴
,
当且仅当 ，即 时取等号
∴ ， ，
∴ 的周长为 ；
（3）直线 在两坐标轴上的截距均为整数，
即 ， 均为整数，
所以 ， 均为整数，∴ ， ， ， ， ，0， ，2，
又当 时，直线 在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意，
所以直线 的方程为 ， ， ， ， ， ，
， .
答案第10页，共2页
学科网（北京）股份有限公司19．(1)证明见详解 (2)
【详解】（1）设 ，则 为 的中点，连接 ，
因为 为菱形，则 ，
又因为 ，且 为 的中点，则 ，
， 平面 ，所以 平面 ，
且 平面 ，则 ，
又因为 ∥平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
可得 ∥ ，所以 .
（2）因为 ，且 为 的中点，则 ，
且 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
可知 与平面 所成的角为 ，即 为等边三角形，
设 ，则 ，且 平面 ， 平面 ，
可得 平面 ， 平面 ，
且平面 平面 ，所以 ，即 交于一点 ，
因为 为 的中点，则 为 的重心，
且 ∥ ，则 ，
设 ，则 ，
如图，以 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
可得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
设平面 的法向量 ，则
，
令 ，则 ，可得 ，
答案第11页，共2页
学科网（北京）股份有限公司可得 ，
所以平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值 .
答案第12页，共2页
学科网（北京）股份有限公司
