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2024—2025 学年（上）南阳六校高二年级期中考试
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试
卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 已知直线 的斜率为 ，则直线 的一个方向向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线C： 的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知 三个顶点的坐标分别为 ， ， ，则 边上的中线所在直线的方程
为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知双曲线 以两个坐标轴为对称轴，且经过点 和 ，则 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. “ ”是“直线 与 垂直”的（ ）
.
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知直线 经过点 ，且与圆C： 相交于A，B两点，若 ，则直
线 的方程为（ ）
.
A 或 B. 或
C. 或 D. 或
7. 如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于 位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，
当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（ ）
A. 6.4m B. 6m C. 3.2m D. 3m
8. 已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，P为双曲线上一点，若P与
恰好关于C的一条渐近线 对称，且 ，则 的面积为（ ）
A. 2 B. C. D. 4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知曲线 ，则下列说法正确 是的（ ）
A. 若 ，则曲线 表示椭圆
.
B 若曲线 表示双曲线，则
C. 无论 取何值，曲线 都不能表示圆D. 无论 取何值，曲线 都不能表示抛物线
10. 在平面直角坐标系 中，方程 所表示的曲线记为曲线C，由曲线C构成的封闭图形记
为Ω，则下列说法正确的是（ ）
A. 图形Ω为菱形 B. 图形Ω的面积为2
C. 若P为曲线C上的点，则 D. 曲线C与椭圆 有四个公共点
11. 已知直线 经过 ， 两点，P为 上的动点，过点P作圆C：
的两条切线，切点分别为M，N，且Q为圆C上一点，则（ ）
A. B. 的值可以为
C. 的最小值为 D. 直线 一定过坐标原点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若双曲线 的焦距为4，则实数 的值为_________．
13. 已知 ， 两点，则以线段 为直径的圆的标准方程为_________．
14. 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．
设椭圆C的两个焦点分别为 ， ．
（1）若光线由 发出经椭圆C一次反射后到达 ，且入射光线、反射光线与x轴恰好围成底边为 ，
顶角为 的等腰三角形，则C的离心率为_________；
（2）若光线由 发出经椭圆C两次反射后回到 经过的路程为 ，点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，C在点P处的切线为 ， 在 上的射影H在圆 上，则C的短轴长为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知点A是圆C： 与y轴的公共点，点B是圆C上到x轴距离最大的点．
（1）求直线 的方程；
（2）求经过A，B两点，且圆心在直线 上的圆的标准方程．
16. 在平面直角坐标系 中，点P到点 的距离比点P到直线 的距离小2，记动点P的轨迹
为W．
（1）求W的方程；
（2）已知A，B是W上不同的两点， ，若A，B，C三点共线，求 的值．
17. 已知直线 ： ．
（1）若直线m与 平行，且m， 之间的距离为 ，求m的方程；
（2）P为 上一点，点 ， ，求 取得最大值时点P的坐标．
18. 已知双曲线 ： 的离心率为 ，且 经过点 ．
（1）求 的方程；
（2）若 上两点 ， 关于点 对称，求直线 的方程；
（3）过 的右焦点 作两条互相垂直的直线 和 ，且 和 分别与 的右支交于点 ， 和点 ， ，
设 的斜率为 ，求四边形 的面积（用 表示）
19. 已知抛物线 的焦点与椭圆C： 的一个焦点重合，且抛物线的准线被
C截得的弦长为1.
（1）求C的方程.（2）过点 作两条直线，分别与C交于点A，D和点B，E，其中A在D的上方，B在E的上方.
①若直线 过点 ，且倾斜角为钝角， 的面积为 ，证明： ；
②若A是 的中点，且 ，求直线 的方程.2024—2025 学年（上）南阳六校高二年级期中考试
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试
卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】【答案】BD
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】 ①. ## ②.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1） ；
（2） .
【16题答案】
【答案】（1） ；
.
（2）
【17题答案】
【答案】（1） 或 ；
（2） .
【18题答案】
【答案】（1）（2）
（3） ，
【19题答案】
【答案】（1） ；
（2）①证明见解析；② .
