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高二数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目
的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，
超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．直线x+2025=0的倾斜角是
π π
A.0 B. C. D.π
4 2
2．抛物线x2=−4 y的焦点到准线的距离为
1 1
A.4 B.2 C. D.
2 4
x2
3．已知双曲线C: −y2=1(a>1)的焦距为4，则C的渐近线方程为
a2
A.y=±❑√3x B.y=±x
❑√3
C.y=±❑√2x D.y=± x
3
4．已知圆C :(x−2) 2+(y+3) 2=16与圆C :x2+(y−2) 2=10相交于A,B两点，则直线AB的方程为
1 2
A.4x-10y-3=0 B.4x+10y+3=0
C.4x-10y-9=0 D.4x+10y+9=0
5．已知点A(2,-3),B(-3,-2)，若过定点P(1,1）的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是
3 3
A.[− ,4] B.[−4, ]
4 4
1 3
C.( ,+∞) D.(−∞,−4]∪[ ,+∞)
5 4
x2 1 1
6．已知F ,F 是椭圆Γ： + y2=1的左、右焦点，P为Γ上一点，则 + 的最小值为
1 2 4 |PF | |PF |
1 2
A.1 B.❑√3 C.2 D.4
7．某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地 ABCD（边长为8
米）如图所示，E,F,G分别是AB,BC,CD的中点，在场地ABCD中设置了一个半
9
径为 米的圆H，圆H与直线AB相切于点E.比赛中，机器人从F点出发，经过
5
线段AG上一点，然后再到达圆H，则机器人走过的最短路程是7❑√41−9 6❑√61−9 7❑√41 6❑√61
A. 米B. 米 C. 米 D. 米
5 5 5 5
x2 y2
8．已知点A是椭圆C： + =1(a>b>0)的下顶点，F是C的右焦点，延长 AF交C于点B，若
a2 b2
→ →
AF=2FB ，则C的离心率为
❑√2 ❑√3 1 1
A. B. C. D.
2 3 2 3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知曲线C:x2+(1−m2 )y2=1（其中m为常数），则曲线C可能为
A.平行于x轴的两条直线 B.单位圆
C.焦点在x轴上的双曲线 D.焦点在x轴上的椭圆
10．已知直线l:2x-y+b=0与⊙O:x2+ y2=9，则下列说法正确的是
A．若⊙O上恰有1个点到直线l的距离为2，则b= ±5❑√5
B．若⊙O上恰有2个点到直线l的距离为2，则b的取值范围是(−5❑√5,5❑√5)
C．若⊙O上恰有3个点到直线l的距离为2，则b= ±❑√5
D．若⊙O上恰有4个点到直线l的距离为2，则b的取值范围是(−❑√5,❑√5)
y2
11．已知双曲线C:x2− =1的左、右焦点分别为F ,F ，点P是C的右支上一点，过点P作C的切
3 1 2
线l 与C的两条渐近线分别交于M,N两点，则下列说法正确的是
A.|PF |2−|PF |2的最小值为8
1 2
→ →
B.存在点P，使得 PF ⋅PF =−4
1 2
C.点M,N的纵坐标之积为定值
D.|MN|=2|MP|
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知直线l :y=ax+2，直线l :y=(a2−2)x−2a，若l //l ，则a=
1 2 1 2
13．已知抛物线C:y2=2x的焦点为F，点A(3,1)，点M是抛物线C上一个动点，当|MF|+|MA|取
最小值时，点M的坐标为
14．已知O为坐标原点，P(4,0)，点E是直线l:x-3y-3=0上一点，若以E为圆心，2为半径的圆E上存
在点Q，使得|PQ|=3|OQ| ，则线段OE长度的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
直线l :x+2y−11=0与直线l :2x+ y−10=0相交于点P，直线l经过点P.
1 2
（1）若直线l⊥l ，求直线l的方程；
2
（2）若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．16.（本小题满分15分）
5
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P是C上一点，线段PF的中点为Q( ,2)
2
（1）求C的方程；
（2）若p<7,O为原点，点M,N在C上，且直线OM,ON的斜率之积为2024，求证：直线MN过定
点.
17.（本小题满分15分）
x2 y2 3❑√5
已知双曲线E： − =1(a>0,b>0)的离心率是 ，焦距为6．
a2 b2 5
（1）求E的方程；
→ → 25
（2）若直线l:y=kx+1与E相交于A,B两点，且OA⋅OB=− (O为坐标原点），求k的值.
3
18.（本小题满分17分）
已知圆O:x2+ y2=1，圆C的圆心在直线y=1上，且过点A(4,3),B(2,1
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知第二象限内的点D在圆O上，过点D作圆O的切线l 恰好与圆C相切，求l 的斜率；
1 1
（3）判断是否存在斜率为1的直线l 与圆O交于点P,Q，与圆C交于点M,N，且|MN|=2❑√3
2
，若存在，求出|PQ|；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分17分）
x2 y2
已知A,B分别是椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右顶点，M,N是椭圆C上异于A,B的两个点，
a2 b2
当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为4❑√5，面积为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若MA,NB的斜率分别为k ,k ，且k =3k
1 2 2 1
（i）证明：直线MN过定点；
（ii）若直线MA,NB交于点P，直线NA,MB交于点Q，求|PQ|的最
小值.
