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2024-2025 学年高三上学期 8 月试题
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．足球是一项大众喜爱的运动,为了解喜爱足球是否与性别有关,随机抽取了若干人进行调查,抽取女性人数是男性
的2倍,男性喜爱足球的人数占男性人数的 ,女性喜爱足球的人数占女性人数的 ,若本次调查得出“在犯错误的概
率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,则被调查的男性至少有（ ）人
a 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A．10 B．11 C．12 D．13
2．已知函数 是定义在 上的增函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．为了研究某班学生的脚长 （单位厘米）和身高 （单位厘米）的关系，从该班随机抽取 名学生，根据测量
数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 ．已知 ，
， ．该班某学生的脚长为 ，据此估计其身高为
A． B． C． D．
5．已知函数 ，若关于x的方程 恰有6个不同的实数根，则m的取值范
围是（ ）
答案第1页，共2页
学科网（北京）股份有限公司A． B．( C． D．
6．已知某家族有 、 两种遗传性状，该家族某位成员出现 性状的概率为 ，出现 性状的概率为 ， 、
两种遗传性状都不出现的概率为 ．则该成员在出现 性状的条件下，出现 性状的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的
水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃
球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚
下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃
球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为 ，则随机变量 的期望与方差分别为（ ）
A． B．2，1 C．3，1 D．
8．图①是底面边长为2的正四棱柱，直线 经过其上，下底面中心，将其上底面绕直线 顺时针旋转 ，得图
②，若 为正三角形，则图②所示几何体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部
分选对得3分，有选错的得0分。）
9．总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．它反映的是一名妇女在每年
都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数．为了了解中国人均GDPx（单位：万元）
和总和生育率y以及女性平均受教育年限z（单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据
绘制了散点图，并得到经验回归方程 ， ，对应的决定系数分别为
， ，则（ ）
答案第2页，共2页A．人均GDP和女性平均受教育年限正相关．
B．女性平均受教育年限和总和生育率负相关
C．
D．未来三年总和生育率一定继续降低
10．甲箱中有3个黄球､2个绿球，乙箱中有2个黄球､3个绿球（这10个球除颜色外，大小､形状完全相同），先
从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件“取出2个黄球”，“取出2个绿球”，“取
出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是（ ）
A．A，B是对立事件 B．事件B，D相互独立
C． D．
11．已知定义在 上的函数 满足 ， ，且 ，则（ ）
A． 的最小正周期为4 B．
C．函数f (x−1)是奇函数 D．
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分。）
12．已知直线 分别与曲线 ， 相切于点 ， ，则 的值为 .
13．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数： ， ， ，
， ， ．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放
回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X，则 的概率为
．
14．已知函数 在 时取得极大值4，则 ．
四．解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
答案第3页，共2页
学科网（北京）股份有限公司15．某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛.比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通
过的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学
生可获得奖品一纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为 ，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为 ，
通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为 .
(1)求学生小杰获得奖品的概率；
(2)已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率；
(3)求学生小杰通过的比赛轮数 的分布列与数学期望.
16．如图， 平面 ， 在平面 的同侧， ， ， ， .
(1)若 四点在同一平面内，求线段 的长；
(2)若 ，平面 与平面 的夹角为 ，求线段 的长.
17．已知函数 .
(1)若 ，求 在点 处的切线方程；
(2)若 是 的两个极值点，证明： .
18．已知在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形， 是正三角形，E、F、M、O分别是
、 、 、AD的中点， 平面 ．
(1)求证： ；
(2)求点B到平面EFM的距离；
答案第4页，共2页(3)在线段 上是否存在点N，使得直线 与平面EFM所成角的正弦值为 ？若存在，求线段 的长度，
若不存在，说明理由．
19．2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900
多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园
中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明
两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最
后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到 颗番石榴（不妨设 颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番
石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如
下策略：不摘前 颗番石榴，自第 颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石
榴，否则就摘最后一颗.设 ，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为 .
(1)若 ，求 ；
(2)当 趋向于无穷大时，从理论的角度，求 的最大值及 取最大值时 的值.
（取 ）
数学答案
1．C【详解】设被调查的男性为 人,则女性为 人,依据题意可得列联表如下表:
男
女性 合计
性
喜爱足球
不喜爱足球
合计
,
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,所以有
答案第5页，共2页
学科网（北京）股份有限公司,即 ,
解得 ,又因为上述列联表中的所有数字均为整数,故 的最小值为12.
2．B【详解】因为 是定义在 上的增函数，
所以 ，解得 .
3．D【详解】 ， ， ，
.
4．C【详解】由已知 ,
， 故选C.
5．A【详解】根据 ，作出 的大致图象如下：
由图可知：当 时，此时由两个根，分别为 ，
当 时，此时 有4个交点，
当 时，此时 有3个交点，
当 时，此时 有2个交点，
故要使得 由6个不同的零点，则令 ， 有6个不同的实数根，
显然不是 的根，
设 的两个零点分别为 ，且 ，
故当 时，此时 有4个交点， 有2个交点，满足题意，
故需要满足 ，解得 ，
当 时，此时 有3个交点， 有3个交点，满足题意，
答案第6页，共2页故需要满足 ，解得 ，
综上可得 或
6．B【详解】记事件 该家族某位成员出现 性状，事件 该家族某位成员出现 性状，
则 ， ， ，则 ，
又因为 ，则 ，
故所求概率为 .
7．C【详解】白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均为 ，
则向左的次数服从二项分布 .
因为 ，
，
所以 ，
.
8．A【详解】
答案第7页，共2页
学科网（北京）股份有限公司如图，设正四棱柱的上下底面中心分别为点 ,过点 作 于点 ，连接 ，
依题意，易得直角梯形 ,因 为边长为2的正三角形,则 ，且 ,
又 ，则 .
设该几何体外接球球心为点 ,半径为 ,则点 为 的中点，则 ,
在 中， ,
于是该几何体外接球的表面积为 .
9．AB 【详解】由回归方程 知人均GDP和女性平均受教育年限正相关，故A正确；因为
， ，
可得女性平均受教育年限z和总和生育率y的关系式为 ，
所以女性平均受教育年限z和总和生育率y负相关，故B正确；
由散点图可知，回归方程 相对 拟合效果更好，所以 ，故C错误；
根据回归方程 预测，未来总和生育率预测值有可能降低，
但实际值不一定会降低，故D错误．
10．ABD【详解】对于A，事件A，B不能同时发生，但能同时不发生，故A，B是互斥事件，但不是对立事件，
故A错误；对于B，事件B发生与否，影响事件D，所以事件B，D不是相互独立事件，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D， ，故D错误.
11．AB【详解】对于A，因为 ，
答案第8页，共2页所以 ， ，
所以 ，故 的最小正周期为4，A正确；
对于B，因为 ，
令 ，则 ，
所以 ，
由A可知， ，故B正确；
对于C， 因为 ，①
令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，②
由①②，所以 ，即f (−x)=−f (x)，故 为奇函数，
若函数f (x−1)是奇函数，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 的最小正周期为2，与选项A矛盾，故C错误；
对于D，因为 为奇函数，且 ，所以 ，
又因为 的最小正周期为4，所以 ，
因为
所以 ， ，
所以 ，
答案第9页，共2页
学科网（北京）股份有限公司，
以此类推，
所以 ，故D错误.
12．1
【详解】由 ， ，有 ， ，
在点 处的切线方程为 ，
在点 处的切线方程为 ，
则有 ，得 ，
所以 ，可得 .
4
13． /0.8
5
【详解】易判断 ， ， 为偶函数，所以写有偶函数的卡片有3张， 的取值范
围是 ．
， ，
所以 ．
14．
【详解】由题意可知 ，
因为函数 在 时取得极大值4，所以 ，
解之得 ，
检验，此时 ，令 或 ，
令 ，
答案第10页，共2页即 在 上单调递增，在 上单调递减，即 满足题意，
故 .
15．(1) (2) (3)分布列见解析， .
【详解】（1）记事件 ：学生通过第 轮，事件 ：学生通过第 轮就选择奖品离开，
事件 ：学生通过第 轮且继续答题， ），
由题意得 ， .
记事件 ：学生获得奖品.则 ，
，
，
，
.
（2）学生小杰获得奖品，则至少通过两轮比赛的概率：
.
（3）由题意，随机变量 可取 ，
可得 ，
，
，
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
所以期望为 .
答案第11页，共2页
学科网（北京）股份有限公司16．(1)1； (2)
【详解】（1） ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
，则 四点共面，
平面 ， 平面 ，平面 平面 ， ，又 ，则四边形
是平行四边形，
；
（2）以 为原点，分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴，
建立空间直角坐标系，设 ，则 ， ，B(1,0,0)， ， ，
， ，
设 是平面 的一个法向量，
由 ，得 ，令 ，可得 ，
可得 ，
设⃗n=(x ,y ,z )是平面 的一个法向量，
2 2 2
由 ，得 ，令 ，可得 ，
可得 ，
依题意 ，
解得 ， .
17．(1) ； (2)证明见解析
【详解】（1）当 时， ，则 ，
所以 ， ，
答案第12页，共2页所以 在点 处的切线方程为 ，
即
（2）证明：由 ，可知 ，
因为 （ ）是 的极值点，
所以 方程 的两个不等的正实数根，
所以 ， ，
则
．
要证 成立，
只需证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，
设 ，则 ，即证 ，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，则 ，
所以 ，故 ．
18．(1)证明见详解 (2)√3 (3)存在点 满足题意，
【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又底面 是正方形，则 ，
且 与 是平面 内两条相交直线，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 分别是 的中点，所以 ，
答案第13页，共2页
学科网（北京）股份有限公司所以 .
（2）因为 分别是 的中点，
所以 ，
所以平面 即是平面 ，
由（1）知 平面 ，则 平面 ， 平面 ，
，则 ，
设点 到平面 的距离为 ，由 ，
得 ，即 ，
解得 ，
所以点 到平面 的距离为 .
（3）如图以 为原点， 为 轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，A(2,0,0)， ， ， ，
， ， ，
设线段 上存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ，且 ，
， ，
，
设平面 的一个法向量为⃗n=(a,b,c)，
则 ，即 ，令 ，得 ，
，
，整理得 ，
解得 或 （舍），
，即存在点 使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，此时 .
答案第14页，共2页19．(1) ； (2) 的最大值为 ，此时 的值为 .
【详解】（1）依题意，4个番石榴的位置从第1个到第4个排序，有 种情况，
要摘到那个最大的番石榴，有以下两种情况：
①最大的番石榴是第3个，其它的随意在哪个位置，有 种情况；
②最大的番石榴是最后1个，第二大的番石榴是第1个或第2个，其它的随意在哪个位置，有 种情况，
所以所求概率为 .
（2）记事件 表示最大的番石榴被摘到，事件 表示最大的番石榴排在第 个，则 ，
由全概率公式知： ，
当 时，最大的番石榴在前 个中，不会被摘到，此时 ；
当 时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前 个番石榴中的最大一个在前 个之中时，此时
，
因此 ，
令 ，求导得 ，由 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，于是当 时， 取得最大值 ，
所以 的最大值为 ，此时 的值为 .
答案第15页，共2页
学科网（北京）股份有限公司
