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河南省信阳高级中学北湖校区
2024-2025 学年高二上期开学测试
数学试题
命题人：杨立雅 审题人：龚宏伟
一、单选题
1．如图，平行四边形 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
， ， ，则原图形 与 间的距离为
A．1 B． C． D．4
2．为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
3．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
A． B．
C． D．
4．直线 与 平行，则实数 的值是
A．-1或3 B．-1 C．-3或1 D．3
5．已知 ， ， 是三个非零平面向量，则下列叙述正确的是
1
学科网（北京）股份有限公司A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6．已知 是两条不同的直线， ， 是两个不重合的平面，则有下列命题
① ， ， ；
② ， ， ；
③ ， ， ；
④ ， .
其中正确命题的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
7．在三棱锥 中，点M,N分别在棱PC,PB上，且 ， ，
则三棱锥 和三棱锥 的体积之比为
A． B． C． D．
二、多选题
8．已知 为虚数单位，则
A．若复数 的共轭复数为 ，则
B．若 ，则 的充要条件是
C．若复数 ，则 ，
D．若复数 ，则
9．已知 ， ，且 ，则
A． B．
2
学科网（北京）股份有限公司C． D．
10．下列说法不正确的有
A．若两条直线 与 互相平行，则实数a的值为
B．若直线 不经过第三象限，则点 在第二象限
C．过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为
D．已知直线 和以 ， 为端点的线段相交，则实数
k的取值范围为 或
11． 中，角 ， ， 所对的边为 ， ， ，下列叙述正确的是
A．若 ，则 是等腰三角形
B．若 ，则 一定是等边三角形
C．若 ，则
D．若 ，则
12．阳马和鳖臑［biē nào］是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按
下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱（图2，图3），称为堑堵．再沿
堑堵的一顶点与相对的棱剖开（图4），得四棱锥和三棱锥各一个．以矩形为
底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（图5）．余下的三棱锥是由四个
直角三角形组成的四面体，称为鳖臑（图6）．若图1中的长方体是棱长为4的
正方体，则下列结论正确的是
3
学科网（北京）股份有限公司A．鳖臑中只有一个面不是直角三角形 B．鳖臑的外接球半径为
C．鳖臑的体积为正方体的 D．鳖臑内切球半径为
三、填空题
13．正方形 的边长是 是 的中点，则 .
14．若 ，则 ．
15．已知一组数据 的平均数 ，方差 ，去掉一个数据之后，
剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数 .
16．在三棱锥 中， 是等边三角形， 平面 ， ，
， 是 的中点，球 为三棱锥 的外接球， 是球 上的一点，
则三棱锥 体积的最大值是 .
四、解答题
17．已知点 ， ， ，设 ， ．
（1）求 ， 夹角的余弦值．
（2）若向量 ， 垂直，求 的值．
4
学科网（北京）股份有限公司（3）若向量 ， 平行，求 的值．
18．某城市医保局为了对该城市多层次医疗保障体系建设加强监管，随机选取
了100名参保群众，就该城市多层次医疗保障体系建设的推行情况进行问卷调
查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值（百分制）按照
分成5组，制成如图所示频率分布直方图.
（1）求图中 的值；
（2）求这组数据的中位数；
（3）已知满意度评分值在 内的男生数与女生数的比为 ，若在满意度
评分值为 的人中按照性别采用分层抽样的方法抽取5人，并分别依次进
行座谈，求前2人均为男生的概率.
19．已知圆C和直线 ： ， ： ，若圆C的圆心为 且
经过直线 和 的交点.
（1）求圆C的标准方程；
5
学科网（北京）股份有限公司（2）直线l： 与圆C交于M，N两点，且 ，求直线l的方
程.
20．在 中，内角 的对边分别是 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 边上的中线长.
21．如图，三棱锥 中， ， ， ，E
为BC的中点．
（1）证明： ；
（2）点F满足 ，求二面角 的正弦值．
22．作为世界乒坛本赛季收官战，首届 世界乒乓球职业大联盟 世界杯总
决赛 年 月 日在新加坡结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最
大赢家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭式训练，
甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢 个球者获胜，通过
分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为 ，乙发球甲赢的概率
6
学科网（北京）股份有限公司为 ，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
（1）求该局打 个球甲赢的概率；
（2）求该局打 个球结束的概率．
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