文档内容
学年上学期⾼⼆期中考试
2025—2026
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将⾃⼰的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的
指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题⽬的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的⾮答题
区域均⽆效.
3.选择题⽤2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂⿊；⾮选择题⽤⿊⾊签字笔在答题卡上作
答；字体⼯整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡⼀并上交.
⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是
符合题⽬要求的.
1. 平⾏直线 与 之间的距离是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2. 设 ，向量 ， ， ，则 （ ）
A B. C. D.
3. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上， ，则点 到直线 的距离为（
）
A.3 B.4 C.5 D.6
4. 已知圆 与圆 相交于 两点，则直线 的⽅程为（ ）
A. B. C. D.
5. 平⾏六⾯体 中，点 ， 分别在棱 ， 上，且 ，
．若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
第1⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司6. 已知等⽐数列 的⾸项 ，且满⾜ ， ，则公⽐q为（ ）
A. B.2 C. 或2 D.3
7. 阅读材料：空间直⻆坐标系 中，过点 且⼀个法向量为 的平⾯ 的⽅程
为 ，阅读上⾯材料，解决下⾯问题：直线 是两平⾯ 与
的交线，则下列向量可以为直线 的⽅向向量的是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，过原点的直线与 交于 两点，
，且 的⾯积为 ，则 的离⼼率是（ ）
A. B. C. D.
⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列 是公⽐为 的等⽐数列，且 成等差数列，则 （ ）
A. B. C. D.1
10. 如图，已知正⽅体 的边⻓为2， 分别为 的中点，则下
列结论正确的是（ ）
A.
B. 平⾯AEF
C. 异⾯直线 与EF所成⻆的余弦值为
第2⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司D. 点 到平⾯AEF的距离为2
11. 已知 为坐标原点，过抛物线 ： 焦点 的直线 与 交于 、 两点，则下列选项正确的是
（ ）
A.
B. ⾯积的最⼩值为2.
C.
D. 可能为直⻆.
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. 已知数列 为等差数列， 为其前n项和，若 ， ，则 ______.
13. 已知圆 ： （ ）与圆 ： 没有公共点，则r的取
值范围是______.
14. 点 是双曲线 的左焦点，动点A在双曲线右⽀上，直线 与直线
的交点为 B ，则 的最⼩值为______.
四、解答题：本题共5⼩题，共77分.解答应写出必要的⽂字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知数列 为等差数列， 为其前n项和， ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，数列 的前n项和为 ，求证： .
16. 已知椭圆C的⽅程为 （ ）上顶点为 ，离⼼率为 .
（1）求椭圆C的⽅程；
（2）若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求 的⻓.
17. 已知圆C经过点 和 ，且圆⼼C在直线 上.
（1）求圆C的标准⽅程；
（2）若直线l经过点 且与圆C相切，求直线l的⽅程；
第3⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（3）若直线 与圆C相交于E、F两点，且 ，求实数a的值.
18. 如图，已知矩形 ， 所 平⾯与直⻆梯形 所在平⾯交于直线 ，且
， ， ，且 .
（1）设点 为棱 的中点，求证： 平⾯ ；
（2）求⼆⾯⻆ 正弦值；
（3）线段 上是否存在⼀点 ，使得直线 与平⾯ 所成⻆ 正弦值为 ？若存在，试确定点
的位置；若不存在，请说明理由.
19. 已知A，B分别是双曲线 的左、右顶点，P是C上异于A，B的⼀点，直线
， 的斜率分别为 ，且 ．
（1）求双曲线C的⽅程；
（2）已知过点 的直线 ，交C的左，右两⽀于D，E两点（异于A，B）．
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线 与直线 交于点Q，求证：点Q在定直线上．
第4⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司学年上学期⾼⼆期中考试
2025—2026
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将⾃⼰的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的
指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题⽬的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的⾮答题
区域均⽆效.
3.选择题⽤2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂⿊；⾮选择题⽤⿊⾊签字笔在答题卡上作
答；字体⼯整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡⼀并上交.
⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是
符合题⽬要求的.
1. 平⾏直线 与 之间的距离是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】
【分析】由两条平⾏直线的距离公式直接可得.
【详解】因为直线 与 平⾏，
所以由平⾏线间的距离公式可得 .
故选：B.
2. 设 ，向量 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量共线性质可得 、 ，即可得解.
第1⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】由 ，则 ，解得 ， ，故 .
故选：B.
3. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上， ，则点 到直线 的距离为（
）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据抛物线 定义进⾏求解即可.
【详解】抛物线 ，其准线⽅程为： ，因为 ，且点 在 上，
由抛物线定义可知，点 到直线 的距离为3，
因为 与 平⾏，且距离为2，所以点 到直线 距离为5.
故选：C
4. 已知圆 与圆 相交于 两点，则直线 的⽅程为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】两圆⽅程直接作差，整理可得所求直线⽅程.
【详解】 即 ①， ②，
①－②化简可得直线 的⽅程为 .
故选:A.
5. 在平⾏六⾯体 中，点 ， 分别在棱 ， 上，且 ， ．
若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
第2⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】根据给定条件，利⽤空间向量线性运算、空间向量基本定理求解即得.
【详解】在平⾏六⾯体 中， ， ，
则 ，
⽽ ，因此 ，
所以 .
故选：B
6. 已知等⽐数列 的⾸项 ，且满⾜ ， ，则公⽐q为（ ）
A. B.2 C. 或2 D.3
【答案】B
【解析】
【分析】根据 列出公⽐的等式，求解⽅程后再确认是否满⾜ 即可．
【详解】因为公⽐ ，所以 ，化简得 ，解得 或
，
当 时， ，
当 时， ，
⼜ ，则 ．
故选：B．
7. 阅读材料：空间直⻆坐标系 中，过点 且⼀个法向量为 的平⾯ 的⽅程
为 ，阅读上⾯材料，解决下⾯问题：直线 是两平⾯ 与
的交线，则下列向量可以为直线 的⽅向向量的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
第3⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】根据题意求平⾯的法向量，再由垂直关系即可求直线 的⽅向向量．
【详解】由题意有：平⾯ 的法向量为 ，
平⾯ 的法向量为 ，
设直线 的⽅向向量为 ，
所以 ，令 ，得 ，
故选：D.
8. 已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，过原点的直线与 交于 两点，
，且 的⾯积为 ，则 的离⼼率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可得 ，根据对称性可知四边形 为矩形，从⽽得到 ，再
由椭圆的定义 ，即可求出 、 ，再在 中利⽤勾股定理得到 、 的
关系，即可求出离⼼率.
【详解】不妨假设 在第⼀象限，因为 ，所以 ．由图形的对称性知四边形
为矩形，
因为 的⾯积为 ，所以 的⾯积为 ，
所以 ，即 ．
⼜因为 ，所以 ， ，
第4⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司在 中， ，则 ，所以 .
故选：A．
⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列 是公⽐为 的等⽐数列，且 成等差数列，则 （ ）
A. B. C. D.1
【答案】AD
【解析】
【分析】根据等⽐数列的通项公式结合等差中项列⽅程求解.
【详解】由题意， ，由等⽐数列通项公式可得 ，
由于等⽐数列每⼀项都不是 ，故 ，
即 ，解得 或 .
故选：AD
10. 如图，已知正⽅体 的边⻓为2， 分别为 的中点，则下
列结论正确的是（ ）
A.
B. 平⾯AEF
C. 异⾯直线 与EF所成⻆的余弦值为
D. 点 到平⾯AEF的距离为2
第5⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】ABD
【解析】
【分析】由图建系，写出相关点的坐标，根据各选项内容分别求出相关向量，利⽤空间向量垂直、夹⻆、
距离等公式计算即可逐⼀验证判断.
【详解】建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， .
对于A，因 ，
则 ，故 ，A正确；
对于B， ， ，
设平⾯AEF的法向量为 ，
则 故可取 ，
因 ，则 ，⼜ 平⾯AEF，
故 平⾯AEF，故B正确；
对于C，因 ，
则异⾯直线 与EF所成⻆的余弦值为 ，故C错误；
对于D， ，由上分析已得平⾯AEF的法向量为 ，
则点 到平⾯AEF的距离为 ，D正确.
第6⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故选：ABD.
11. 已知 为坐标原点，过抛物线 ： 焦点 的直线 与 交于 、 两点，则下列选项正确的是
（ ）
A.
B. ⾯积的最⼩值为2.
C.
D. 可能为直⻆.
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，根据抛物线的焦半径公式即可判断；对于B，设直线⽅程与抛物线联⽴，求得弦⻓，表示
出三⻆形⾯积，利⽤⼆次函数的性质计算即可判断；对于C，利⽤抛物线焦半径公式代⼊计算易得；对于D
，通过计算 即可判断.
【详解】
对于A，由题意， ，所以 ⽆最⼩值，故A错误；
对于B，因直线 的斜率不可能为0，故可设 ，
与 联⽴消元得： ，
显然 ，设 ，则 ，
则 ，
第7⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司点 到直线 的距离为 ，
则 的⾯积为 ，
则当 时，即 时， 取得最⼩值2，故B正确；
对于C，设直线 的倾斜⻆为 ，则 ，
则 ，故C正确；
对于D，由B选项可得 ，
则 ，
故 与 所夹的⻆为钝⻆，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. 已知数列 为等差数列， 为其前n项和，若 ， ，则 ______.
【答案】28
【解析】
【分析】根据等差数列前 项和公式和下标和性质求解.
【详解】因为等差数列 的前 项和为 ， ， ，
故 .
故答案为：28.
13. 已知圆 ： （ ）与圆 ： 没有公共点，则r的取
值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据两圆⽆公共点，可知两圆外离或者内含，根据圆⼼距和两圆半径的关系即可求解.
第8⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】圆 的圆⼼坐标为 ，半径为 ；
圆 的圆⼼坐标为 ，半径为1，则 ，
因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或内含，
若外离： ；若内含： ，
综上： .
故答案为： .
14. 点 是双曲线 的左焦点，动点A在双曲线右⽀上，直线 与直线
的交点为 B ，则 的最⼩值为______.
【答案】9
【解析】
【分析】由题意求出直线 的交点B为圆⼼在 ，半径为1的圆，由双曲线的定义可得
，所以 ，当A， ，B三点共线时， 最⼩，过
与圆⼼M的直线与圆的交点B且在 和圆⼼M之间时最⼩.
【详解】由双曲线的⽅程可得 ，焦点 ，右焦点 ，
可得 ，所以 ，
当A， ，B三点共线时， 最⼩，
联⽴直线 的⽅程 ，可得 ，
消参数t可得 ，可得交点B的轨迹为圆⼼在 ，半径为1的圆（除去点 ），
所以 ，
当过 与圆⼼M的直线与圆的交点B且在 和圆⼼M之间时最⼩.
所以 的最⼩值为9.
第9⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故答案为：9
四、解答题：本题共5⼩题，共77分.解答应写出必要的⽂字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知数列 为等差数列， 为其前n项和， ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，数列 前n项和为 ，求证： .
【答案】（1）
（2）证明⻅解析
【解析】
【分析】（1）根据等差数列基本量运算求出 ，进⽽求出通项公式；
（2）由（1）求出通项 ，利⽤裂项相消法求得 ，得证.
【⼩问1详解】
由题意等差数列 中， ， ，设公差为 ，
可得 ，解得 ，
故 .
【⼩问2详解】
由（1）可得 ，
故 .
因为 ，所以 ，得证.
第10⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司16. 已知椭圆C的⽅程为 （ ）上顶点为 ，离⼼率为 .
（1）求椭圆C的⽅程；
（2）若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求 的⻓.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题求出 ，求出椭圆⽅程；
（2）利⽤弦⻓公式求解.
【⼩问1详解】
由题意， 且 ， ，得 ，
因此椭圆 的⽅程为 .
【⼩问2详解】
设椭圆左焦点为 ，直线 的⽅程为 ， ， ，
联⽴直线⽅程与椭圆⽅程 ，
可得 ，解得： ， .
所以
17. 已知圆C经过点 和 ，且圆⼼C在直线 上.
第11⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1）求圆C的标准⽅程；
（2）若直线l经过点 且与圆C相切，求直线l的⽅程；
（3）若直线 与圆C相交于E、F两点，且 ，求实数a的值.
【答案】（1）
（2） 或
（3） 或
【解析】
【分析】（1）设 ，根据 列式求出 ，进⽽求得圆⼼坐标和半径，得解；
（2）分直线 斜率存在和不存在讨论，结合直线和圆相切列式求解；
（3）由题可得圆⼼ 到直线 的距离 ，利⽤点到直线的距离公式列式
求解.
【⼩问1详解】
由圆⼼ 在直线 上，设圆⼼ ，
由 ，得 ，解得 ，
因此圆⼼ ，半径 ，
所以圆 的标准⽅程为 .
【⼩问2详解】
当直线 斜率不存在时，圆⼼ 到直线 的距离为半径3，
所以直线 符合题意；
当直线 斜率存在时，设直线 的⽅程为 ，即 ，
圆⼼ 到直线 的距离为 ，解得 ，直线⽅程为 .
综上所述，直线 的⽅程为 或 .
【⼩问3详解】
第12⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司由（1）知，圆 的圆⼼为 ，半径 ，
由 ，得圆⼼ 到直线 的距离 ，
则 ，即 ，
解得 或 ，所以实数 的值为 或 .
18. 如图，已知矩形 ， 所在平⾯与直⻆梯形 所在平⾯交于直线 ，且
， ， ，且 .
（1）设点 为棱 的中点，求证： 平⾯ ；
（2）求⼆⾯⻆ 的正弦值；
（3）线段 上是否存在⼀点 ，使得直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值为 ？若存在，试确定点
的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明⻅解析
（2）
（3）存在， 点与 点重合
第13⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）利⽤勾股定理逆定理先判定 ，建⽴合适的空间直⻆坐标系，利⽤空间向量研究线⾯
关系即可；
（2）利⽤空间向量计算⾯⾯夹⻆即可；
（3）假设存在，设 ，由空间向量计算线⾯夹⻆，解⽅程求参数即可.
【⼩问1详解】
由已知 ， ，可知 ，则 ，
⼜矩形 中有 ，且 ，
平⾯ ，所以 平⾯ ，
⼜ ，
则 平⾯ ，所以 两两垂直，
故以 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴正⽅向，
建⽴如图所示的空间直⻆坐标系 ，
则 ，所以 .
易知平⾯ 的⼀个法向量等于 ，
所以 ，所以 ，
⼜ 平⾯ ，所以 平⾯ .
【⼩问2详解】
因为 ，
设平⾯ 的法向量为 ，
第14⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司由 ，得 ，
取 ，则 ，
即 为平⾯ 的⼀个法向量，
因为 ，
设平⾯ 的法向量为 ，
由 ，得 ，
取 ，则 ，
即 为平⾯ ⼀个法向量，
设平⾯ 与平⾯ 的所成⻆为 ，
则 ，故 .
【⼩问3详解】
存在，当点 与点 重合时，直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值为 .
理由如下：
假设线段 上存在⼀点 ，使得直线 与平⾯ 所成的⻆ 的正弦值等于 .
设 ，
则 .
所以
.
所以 ，解得 或 (舍去)，
第15⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司因此，线段 上存在⼀点 ，当 点与 点重合时，
直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值等于 .
19. 已知A，B分别是双曲线 的左、右顶点，P是C上异于A，B的⼀点，直线
， 的斜率分别为 ，且 ．
（1）求双曲线C的⽅程；
（2）已知过点 的直线 ，交C的左，右两⽀于D，E两点（异于A，B）．
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线 与直线 交于点Q，求证：点Q在定直线上．
【答案】（1）
（2）（i） 或 ；（ii）证明⻅解析
【解析】
【分析】（1）由已知条件去设点 的坐标，表示斜率之积，通过点 在双曲线上，代⼊并消元⼀个变
量，即可得到 ，从⽽求出双曲线⽅程；
（2）（i）利⽤过点 的直线与双曲线的左右两⽀相交，必满⾜ ，从⽽去求出 的取值范围；
（ii）先⽤交点 坐标去表示直线 的⽅程，然后猜想交点 的横坐标为定值，所以消去纵坐标
得到关于交点 的横坐标的表达式，最后利⽤⻙达定理代⼊化简，可得定值，即问题可得证.
【⼩问1详解】
由题意可知 ，因为 ，所以 .
第16⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司设 ，则 ，所以 ，
⼜ ，所以 .
所以双曲线C的⽅程为 .
【⼩问2详解】
（i）由题意知直线l的⽅程为 .
联⽴ ，化简得 ，
因为直线l与双曲线左右两⽀相交，所以 ，
即 满⾜： ，解得 或 ；
（ii）由（i） ，
直线 的⽅程为
直线 的⽅程为 ．
联⽴直线 与 的⽅程，得 ，
第17⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 ，
所以 ，
所以
.
所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线 上.
第18⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
