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洛阳强基联盟高二 12 月联考
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A.1 B.0 C. D.
2.双曲线C： 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
3.顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点 的抛物线方程为（ ）
A. B. C. D.
4.已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
5.已知数列 中 ， 则数列 前2024项的和为（ ）
A.0 B.1012 C.2024 D.4048
6.若椭圆E： 的周长为C，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知直线l： 与双曲线C： 交于A，B两点，点 是弦AB的
中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知抛物线E： 的准线交y轴于点M，过点M作直线l交E于A，B两点，且 则直线l的斜率是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列数列中，为递增数列的是（ ）
A. B. C. D.
10.已知点A，B是椭圆C： 上关于原点对称且不与C的顶点重合的两点， ， 分别是C的
左、右焦点，O为原点，则（ ）
A.C的离心率为
B.
C. 的值可以为3
D.若 的面积为 ，则
11.已知P为圆 ： 上任意一点， ，线段 的垂直平分线交直线 于点M，
记点M的轨迹为曲线H，设 ， 在曲线H上，且 ， ， ，则
（ ）
A.曲线H的方程为
B.曲线H的离心率为
C.经过 且与曲线H只有一个公共点的直线恰有两条
D.四边形 面积的最小值为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知椭圆 的焦距为2，则 ________.
13.若数列 满足 ，且 ，为其前n项和，则 的最小值为________.
14.已知抛物线C： ，P为抛物线C上任意一点，过点P向圆D： 作切线，切
点分别为A，B，则 的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知 是数列 的前n项和，若 ， 是等差数列， .
（1）求 ；
（2）求数列 的通项公式.
16.（本小题满分15分）
已知两点 ， ，动点P在y轴上的射影是H， .
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设直线l： 与曲线C相交于A，B两点，当m为何值时，以线段 AB为直径的圆经过点
.
17.（本小题满分15分）
已知等差数列 的前n项和为 ， .
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）若 是递增数列， ， ，求证： .
18.（本小题满分17分）
设F为抛物线C： 的焦点， ， ， 为C上三个不同的点，且 ，
.（1）求C的方程；
（2）设过点F的直线l交C于P，Q两点.
①若直线l交圆 于M，N两点，其中P，M位于第一象限，求 的最小值；
②过点F作l的垂线m，直线m交C于A，B两点，设线段PQ，AB的中点分别为D，E，求证：直线DE
过定点.
19.（本小题满分17分）
已知O为坐标原点，椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ， ，P为椭圆
C的上顶点，以P为圆心且过 ， 的圆与直线 相切.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知直线l交椭圆C于M，N两点，若直线l的斜率等于1，求 面积的最大值.
洛阳强基联盟高二 12 月联考·数学
参考答案、提示及评分细则
1.A 由等差数列的性质可知 ，所以 .故选A.
2.B 由题意知 ， ，双曲线C的焦点在y轴上，其渐近线的方程为 ，即
.故选B.
3.C 由题意设抛物线方程为 ，将 代入得 ，所以所求抛物线方程为 .
故选C.
4.B 因为 所以 ，又 ，
当且仅当 时取等号，所以 的最大值为4.故选B.
5.C 因为 ， ，所以 ， ， ，， ， … ， 所 以 数 列 是 周 期 为 4 的 周 期 数 列 ， 且
，所以 .故
选C.
6.D 把 化为标准方程为 ，以长轴为直径的圆周长为 ，
边平行于E的对称轴的外切矩形的周长为 ，所以 ， ，所
以A，C错误；
以 短 轴 为 直 径 的 圆 周 长 为 ， 以 长 轴 和 短 轴 为 对 角 线 的 菱 形 的 周 长 为
，所以 ， ，所以B错误，D正确.故选D.
7.D 设 ， ， 可 得 ， ， 两 式 相 减 可 得
，点 是弦 AB 的中点，且直线 l： ，可得
， ， ，即有 ，即 ，
∴ ， ，故双曲线C的离心率为 ，经验证此时直线与双曲线有两个交点.故选D.
8.B 抛物线E： 的准线为 ，所以 ，因为直线l交E于两点，
所以直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为 ， ， ，
由 消去y得 ，所以 ，即 ， ， ，因为 ，所以 ，得 ，
所以 或
所以 ，满足 .故选B.
9.AD 对于A. 所以 ，
所以 为递增数列，故A正确；
对于B， ，所以 为递减数列，故B错误；
对于C，因为 ，则 ， ，所以 不单调，故C错误；
对于D， ，所以 ，所以 为递增数列，故D正
确.故选AD.
10.ABD 对于A，椭圆C： 中， ， ， ，离心率为 ，A正确；
对于B，由对称性可得 ，所以 ，B正确；
对 于 C ， 设 ， 且 ， 则 ， 故
所以 ， ，C错误；
对于 D，不妨设 A 在第一象限， ，则 ，则 ，则 ，则， ，故 ，故D正确.故选ABD.
11.AC 圆 ： 的圆心为 ，半径 ，因为线段 的垂直平分线交直线
于点M，则 ，所以 ，所以点M的轨迹是以
， 为焦点的双曲线，其中 ， ，所以 ，所以曲线 H 的方程为
，故A正确；
对于B，因为 ， ，所以该双曲线的离心率为2，故B错误；
对于C，经过 且与曲线H相切的直线恰有一条，满足条件；经过 的直线与曲线H的渐近
线 平行时，也满足条件，所以符合条件的直线恰有两条，故C正确；
对于D，因为 ， ，则A，B分别在两支上，且A，B都在x轴上方或x轴下方，不妨设都
在x轴上方，又 ，则A在第二象限，B在第一象限，如图所示，延长 交双曲线于点N，延
长 交双曲线于点Q，由对称性知四边形 为平行四边形，且面积为四边形 面积的2倍.由
题设 ，直线AN的方程为 ，直线BQ的方程为 ，联立 消去x
并整理得 ，易得 ，因为
， 所 以 ， 所 以 ， 两 条 直 线 AN 与 BQ 间 的 距 离
， 所 以 ， 令 ，，
所以 ，因为 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上单调递增，当 即 时，取得最小值为12，故D错误.故
选AC.
12.5或7 由题意知 ，所以 .当椭圆 的焦点在x轴上时， 且 ，解
得 ；当椭圆 的焦点在y轴上时， 且 ，解得 ，故m的值为5或7.
13.10 由 ，解得 ，所以数列 中，只有 ， 为负数，所以 的最小
值为 或 或 ，又 ， ，所以 的最小值为10.
14. 圆 D： 的标准方程是 ，则圆心为 ，半径为
，
设 ， ，所 以 ，
所以 的最小值为 .
15.解：（1）设数列 的公差为d，则由 ，得 ， 1分
所以 ，即 ， 4分
所以 ， ， 5分
因为 ，
所以 ，解得 ， 7分
所以 8分
（2）由（1）知 ，
所以 时， ， 11分
上面这个式子对 也适合， 12分
所以 时， . 13分
16.解：（1）设动点 ，则 ，所以 ， ， ，
2分
因为 ，所以 .
即轨迹C的方程为 . 5分（2）联立方程 消去y并整理得 ， 6分
所以 ，且 ，所以 且 ， 8分
设 ， ，则 ， . 9分
若以AB为直径的圆过点 ，则 ，所以 ，
即 ，
所以 ， 12分
所以 ，
化简，得 ，解得 ，满足 ，
所以 . 15分
17.证明：（1）设等差数列 的公差为d，
则 ， 3分
所以 ， 6分
所以数列 是公差为 的等差数列 8分
（2）由（1）知数列 是公差为 的等差数列，
因为 ， 9分即 ， 10分
因为 ，所以 ，11分
所以 ， 12分
所以
15分
18.（1）解：由题意得焦点 ，设 ， ， ，
因为 ，所以 ，
即 ， 2分
所以|
解得 ，
所以C的方程为 . 5分
（2）①解：圆 化为标准式为 ，其圆心恰为F，半径为1，6分
当直线l斜率存在时，根据题意可设直线l的方程为 ， ， ，
由 得 ， ， 7分， ， 8分
因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
当直线l斜率不存在时， ， ， ，
所以 的最小值为4. 11分
②证明：由题知直线l的斜率k存在且不为0，
由①得 ， ，则 . 12分
用 替换k得点 . 13分
当 ，即 时，直线DE的斜率 ， 14分
所以直线DE的方程为 ，整理得 ，
所以直线DE恒过点 ； 16分
当 时，直线DE的方程为 ，也过点 .
综上所述，直线DE恒过点 . 17分
19.解：（1）因为 ，所以 ，即 ， 2分
又 且以P为圆心的圆与直线 相切，所以此圆半径 ，又圆过点 ，所以 ，即 ，解得 ， 5分
所以 ，即 ，故椭圆C的方程为 . 7分
（2）如图所示，
不妨令直线l： ， ， ，
联立 消去y并整理得 ， 9分
所以 ，解得 ，即 ，
又 11分
所 以
13分
又点O到直线l的距离为 ， 14分
所以 15分
当且仅当 ，即 时， 取到最大值 ，此时满足 ，所以 面积的最大值为 . 17分
