文档内容
高 2024 届高三第一学期期中考试
数学试题
（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 设 均为非空集合，且满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出集合 的韦恩图，利用韦恩图即可得解.
【详解】集合 的韦恩图，如图所示，
因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
第 1 页 共 26 页2. 已知命题 ，命题q：复数 为纯虚数，则命题 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】先将命题 看成真命题求出 的取值，再根据充要条件与集合间的关系即可写出答案
【详解】
是纯虚数， ，
故命题 是 的充要条件
故选：C
3. 已知向量 ， 的夹角为 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得，根据投影向量的概念直接得解.
【详解】由 ，即 ，
则 ，即 ，
所以 ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 ，
第 2 页 共 26 页故选：B.
4. 《几何原本》卷 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．
通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图
形，点 在半圆 上，点 在直径 上，且 ，设 ， ，则该图形可以完成的
无字证明为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
计算出 和 ，由 可得出合适的选项.
【详解】由图形可知， ， ，
由勾股定理可得 ，
在 中，由 可得 .
故选：D.
【点睛】本题考查利用几何关系得出不等式，考查推理能力，属于基础题.
5. 已知数列 均为等差数列，且 ，设数列 前 项的和为 ，
第 3 页 共 26 页则 （ ）
A. 84 B. 540 C. 780 D. 920
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列性质可得数列 是首项为 的等差数列，利用等差数列前 项和公式即可求
得 .
【详解】根据题意可设数列 的公差分别为 ；
由 可知 ，
即可知数列 是以 为首项，公差为 的等差数列，
所以可得 ，
即可得 ，
所以 .
故选：D
6. 函数 的最大值为（ ）
A. 2 B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用二倍角的正弦公式和两角和的余弦公式化简，再令 ，利
用换元法求解即可.
【详解】 ，
第 4 页 共 26 页令 ，则 ，
故 ，
则 ，
所以当 时， ，
所以函数 的最大值为 .
故选：A.
7. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设 三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、
丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参
加，则不同的报名方法有（ ）
A. 60种 B. 150种 C. 180种 D. 300种
【答案】B
【解析】
【分析】对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理求解即可．
【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选 三门德育校本课程，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，
①三组人数为1、1、3，此时有 种；
②三组人数为2、2、1，此时有 种.
所以不同的报名方法共有60＋90＝150种．
故选：B．
8. 已知函数 ，若方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（
）
第 5 页 共 26 页A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】转化为 有两个不相等的实数根，构造 ，分 和 两种情况，求
导，得到函数的单调性和极值情况，画出函数图象，数形结合得到实数 的取值范围，得到答案.
【详解】由题意得 有两个不相等的实数根，
令 ，
当 时， ， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
且 ，当 时， 恒成立，
当 时， ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
且 ，
第 6 页 共 26 页画出 的图象如下：
要想 有两个不相等的实数根，则 ，
故 有两个不相等的实数根，则 .
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情
况，从中随机抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，并按照
的分组作出频率分布直方图如图所示．则下列说法正确的是
（ ）
A. 样本的众数为70
B. 样本的 分位数为78.5
C. 估计该市全体学生成绩的平均分为70.6
第 7 页 共 26 页D. 该市参加测试的学生中低于60分的学生大约为320人
【答案】BC
【解析】
【分析】样本的众数应是 区间中点75，故选项A错误.设样本的 分位数为t，通过计算可判断
t在区间 内，计算区间 ， ， 所对应的矩形面积之和为0.8，即可求得样本
的 分位数为78.5，故选项B正确. 根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C正确.用样本中低
于60分的频率估计总体频率，即可判断选项D错误.
【详解】对于选项A，样本的众数应是 区间中点75，故选项A错误.
对于选项B，设样本的 分位数为t，
因为左边两个矩形面积和为 ，
左边三个矩形面积和为 .
因此t在区间 内，所以 ，
解得 ，故选项B正确.
对于选项C，用样本平均分估计总体平均分，而样本的平均分为
，故选项C正确.
对于选项D，样本中低于60分的学生的频率为 ，估计总体中低于60分的学生的人数约
为 ，故选项D错误.
故答案为：BC.
10. 已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 在 上单调递增
第 8 页 共 26 页B. 的图象向右平移 个单位长度后所得图象关于 轴对称
C. 若 对任意实数 都成立，则
D. 方程 有3个不同的实数根
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正弦函数的单调性即可判断A；根据平移变换的原则及三角函数的奇偶性即可判断 B；根据
可 得 ， 再 根 据 正 弦 函 数 的 最 值 即 可 判 断 C ； 作 出 函 数
的图象，结合图象即可判断D.
【详解】对于A，由 ，得 ，
所以 在 上不具有单调性，故A错误；
对于B， 的图象向右平移 个单位长度得 ，
因为 ，
所以函数 是偶函数，其图象关于 轴对称，故B正确；
对于C，若 对任意实数 都成立，
则 ，
所以 ，即 ，故C正确；
对于D，方程 根的个数，
第 9 页 共 26 页即为函数 交点的个数，
作出函数 的图象，如图所示：
由图可知 的根多于 个，故D错误.
故选：BC.
11. 甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的．从一个人传球到另
一个人称传球一次．若传球开始时甲持球，记传球 次后球仍回到甲手里的概率为 ，则下列结论正确的
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】AC选项，由题意得到 ， ， ；D选项，在C选项基础上，构造等比
数列，得到通项公式；B选项，在D选项基础上求出答案.
【详解】A选项，第一次传球后到乙或丙手里，故 ，
第二次传球，乙或丙有 的概率回到甲手里，故 ，A正确；
C选项， 为传球 次后球仍回到甲手里的概率，要想传球 次后球仍回到甲手里，
第 10 页 共 26 页则第 次传球后球不在甲手里，在乙，丙手里，且下一次传球有 的概率回到甲手里，
故 ，C正确；
D选项，由C选项知 ，即 ，
设 ，故 ，所以 ，
解得 ，
故 ，又 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
故 ，故 ，D正确，
B选项，由D选项可知 ，B错误.
故选：ACD
12. 已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意可得 ，分别限定出 的取值范围即可得 ，可知
A错误；利用作差法可得B正确，C错误；构造函数 利用导数判断出其单调性即可得D正确.
第 11 页 共 26 页【详解】由 可得， ，
对于A，易知 ，则 ，所以 ，
易知 ，即 ，所以 ，所以 ，且
即可得 ，可知A错误；
对于B， ，
由A可知 ，则 ， ，所以 ；
可知 ，所以 ，即B正确；
对于C， ，
则 ，
即可得 ，即C错误；
对于D，构造函数 ，其中 ，
则 ，当 时， ，即 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，即 ，可得 ，
即 ，所以 ，
第 12 页 共 26 页又 ，因此 ，即D正确.
故选：BD
【点睛】方法点睛：指数式与对数式比较大小问题时，作差是最常用的方法之一，当式子结构相似时可考
虑构造函数并利用导数得出单调性也可比较其大小.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中， 的系数为__________（用数字作答）．
【答案】
【解析】
【详解】要得到 项需 分别与 展开式中的 项相乘，
展开式中通项为 ，
所以 项的系数为 ，
故答案为：10
14. 曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】求导，根据导数的几何意义可得 ，再结合齐次式问题运算求解.
【详解】因为 ，可得 ，
由题意可知： ，
所以
，
第 13 页 共 26 页即 .
故答案为： .
15. 定义：在数列 中， ，其中 为常数，则称数列 为“等比差”数列，已
知“等比差”数列 中， ， ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据“等比差”数列的概念可得 ，进而得解.
【详解】由数列 为“等比差”数列，
则 ，
所以 ，即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ， ，
则 ，
所以 ，
故答案为: .
16. 若 是定义在 上的函数，且 为奇函数， 为偶函数．则 在区间
第 14 页 共 26 页上的最小值为______．
【答案】 ##1.75
【解析】
【分析】由 为奇函数， 为偶函数，求出 的解析式，判断 在区间
的单调性即可求出答案.
【详解】因为 为奇函数， 为偶函数，
所以 ，
解得： ，
因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，
在 上单调递减，
所以 在上单调递减，
所以 .
故答案为： .
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 在 中，内角 的对边分别为 ．
（1）求 ；
（2）若 ，点 在边 上，且 ，求 面积的最大值．
第 15 页 共 26 页【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理以及二倍角公式化简即可得 ，即可知 ；
（2）结合（1）中结论，由余弦定理可得 ，利用不等式即可求出 ，再由向量比例关
系可知 ，即可求出结果.
【小问1详解】
根据 ，由正弦定理可得 ，
由二倍角公式可得 ，又因为 ，
所以 ，即可得 ，
即 ，所以 ，即 ；
【小问2详解】
如下图所示：
第 16 页 共 26 页由（1）可知 ，即 ，可得
又 ，解得 ，当且仅当 时，等号成立；
所以 ，
由 可得 ，
所以 面积的最大值为 .
18. 2023年9月23日第19届亚运会在中国杭州举行，其中电子竞技第一次列为正式比赛项目．某中学对
该校男女学生是否喜欢电子竞技进行了调查，随机调查了男女生人数各200人，得到如下数据：
男生 女生 合计
喜欢 120 100 220
不喜欢 80 100 180
合计 200 200 400
（1）根据表中数据，采用小概率值 的独立性检验，能否认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与
性别有关？
的
（2）为弄清学生不喜欢电子竞技 原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢电子竞技的学生中随机抽
取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；
（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对电子竞技喜欢的人
数为 ，求 的数学期望．
参考公式及数据： ，其中 ．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.01
.
2.07
2.706 3.841 5.024 6635
2
第 17 页 共 26 页【答案】（1）采用小概率值 的独立性检验，能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及对立事件概率和为1，即可求解．
（3）结合二项分布的期望公式，即可求解．
【小问1详解】
列联表如下表所示：
男生 女生 合计
喜欢
不喜欢
合计
零假设 该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别无关，
，
，
采用小概率值 的独立性检验，可推断 不成立，即能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性
别有关，
【小问2详解】
采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的
人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名男生”的概率为 ．
【小问3详解】
第 18 页 共 26 页由题意可知喜欢电子竞技的概率为 ，所以 ，
故 ．
19. 已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，若对任意 都有 成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由 ，得 ，再利用累乘法即可得解；
（2）先利用错位相减法求出 ，即可求得 ，再求出 的最大值，即可得解.
【小问1详解】
由 ，
得 ，
则当 时， ，
所以 ，
当 时，上式成立，
所以 ；
【小问2详解】
第 19 页 共 26 页由（1）知 ，
，
，
，
．
因此 ，
，
当 ，即 ，
当 时， ，即 ，
最大项 ， ．
20. 当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某
地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表：
201 202
年份 2017 2019 2021 2022
8 0
编号 1 2 3 4 5 6
企业总数量 （单位：百
50 78 124 121 137 352
个）
（1）若用模型 拟合 与 的关系，根据提供的数据，求出 与 的经验回归方程；
（2）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三
第 20 页 共 26 页家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与
未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，
该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，
乙胜丙的概率为 ，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．
参考数据： ，其中，
参考公式：对于一组数据 ，其经验回归直线 的斜率和截距的最小二乘
估计分别为
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令 ，利用最小二乘法求出 ，即可得解；
（2）由根据相互独立事件概率的乘法公式计算即可得到答案.
【小问1详解】
令 ，
，
第 21 页 共 26 页则 ，
，所以 ，
所以 ；
【小问2详解】
设甲公司获得“优胜公司”为事件 ，
则 ，
所以甲公司获得“优胜公司”的概率为 ．
21. 已知函数 ．
（1）若 ，求 在 处的切线方程；
（2）若函数 在 上恰有一个极小值点，求实数 的取值范围；
（3）若对于任意 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求出在 处的切线斜率即可求得切线方程；
（2）利用导函数求出函数 在 上的单调性，利用极值点定义即可求得实数 的取值范围为
；
第 22 页 共 26 页（3）根据题意将不等式转化为 在 恒成立，求出 的单调性即可
求得 的取值范围是 .
【小问1详解】
若 时， ，则 ，
，
可得 在点 处的切线方程为 ，
即 ．
【小问2详解】
函数 ，则 ，
令 得 ，
①若 ，则 在 上恒成立，
此时 在 上单调递增，无极值，不符合题意，
②若 ，则 与 的情况如下：
0 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
若 在 上恰有一个极小值点，则需满足 ，
解得 ，
即实数 的取值范围为 ．
【小问3详解】
易知 ，所以 可化为 ，
第 23 页 共 26 页又 ，所以可得 ，
即对于任意 恒成立，
令 ，则 ，
又 ，所以 ，
又 可得
即 在 上单调递减，所以 ，
可得 ，
即实数 的取值范围为 ．
22. 已知函数 ．
（1）若函数 是减函数，求 的取值范围；
（2）若 有两个零点 ，且 ，证明： ．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1） 在 上恒成立，参变分离 在 上恒成
立，构造函数求出 的最大值，从而求出 的取值范围；
（ 2 ） 由 零 点 得 到 ， 令 ， 从 而 得 到 ，
第 24 页 共 26 页， ，构造 ，求导得到其单调性，从而
证明出结论.
【小问1详解】
的定义域为 ，
，
函数 是减函数，故 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ， ，
，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故 在 处取得极大值，也是最大值，且 ，
故 ，解得 ，
故 的取值范围是 ；
【小问2详解】
若有两个零点 ，则 ，
第 25 页 共 26 页得 ．
，令 ，则 ，
故 ，
则 ，
，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 上单调递增，
，
，则 在 上单调递增，
，即 ，
故 .
【点睛】极值点偏移问题，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变
形，如常常利用 进行变形，可构造关于 的函数，利用导函数再进行求解.
第 26 页 共 26 页
