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郑州外国语学校2024-2025学年高二上期月考1试卷
数 学
（120分钟 150分）
一、 选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若直线l的一个方向向量为(−√2,√6)，则它的倾斜角为（ ）
A．120° B．150° C．60° D．30°
2．圆心为(−1,−2)，且与y轴相切的圆的方程是（ ）
A．(x−1) 2+(y−2) 2=4 B．(x−1) 2+(y−2) 2=1
C．(x+1) 2+(y+2) 2=1 D．(x+1) 2+(y+2) 2=4
3．已知⃗n =(−1,9,1), ⃗n =(m,−3,2), ⃗n =(0,2,1)，若{⃗n ,⃗n ,⃗n }不能构成空间的
1 2 3 1 2 3
一个基底，则m=（ ）
A．3 B．1 C．5 D．7
4．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过
点 A(−3,4)的直线 l 的一个法向量为(1,−3)，则直线 l 的点法式方程为；
1×(x+3)+(−3)×(y−4)=0，化简得x−3 y+15=0．类比以上做法，在空间直角坐
标系中，经过点M(1,2,3)的平面的一个法向量为⃗m=(1,2,−4)，则该平面的方程为
（ ）．
A．x−2y−4z+7=0 B．x+2y+4z+7=0
C．x+2y−4z+7=0 D．x+2y−4z−7=0
5．台风中心从M地以每小时30km的速度向西北方向移动，离台风中心30√3km内的地
区为危险地区，城市N在M地正西方向60km处，则城市N处于危险区内的时长为（
）
A．1h B．√2h C．2h D．√3h
6．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABEF为正方形，四边形ABCD为菱形，
∠DAB=60°，则直线AC,FB所成角的余弦值为（ ）√6 √5 √10 √6
A．− B． C． D．
4 3 4 4
7．直线y=x+b与曲线x=√1−y2恰有1个交点，则实数b的取值范围是（ ）
A．−10且k≠1）的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯
圆，已知O(0,0)， A(3,0)，圆C:(x−2) 2+ y2=r2(r>0)上有且只有一个点P满足|PA|=2|PO|，则r的取值可以是（ ）
A．1 B．4 C．3 D．5
11．已知正方体ABCD−A B C D 的棱长为3，E，F分别为棱BC,CD上的动点.若
1 1 1 1
π
直线CC 与平面EFC 所成角为 ，则下列说法正确的是（ ）
1 1 6
π
A．任意点E，F，二面角C −EF−C的大小为
1 3
3
B．任意点E，F，点C到面EFC 的距离为
1 2
π
C．存在点E，F，使得直线C E与AD所成角为
1 3
D．存在点E，F，使得线段EF长度为2√3
三、 填空题（本大题共 3小题，每小题5分，共15分。）
12．已知点A(2,3)到直线l :kx−y+2=0和直线l :x+ky+1=0的距离相等，则k=
1 2
．
13. 如图，在棱长为1的正方体AC 中，点P,Q分别是棱AD，A B 上的动点. 若异面
1 1 1
直线BD 和PQ互相垂直，则AP+A Q= _______.
1 1
D 1 C 1
Q
A 1 B 1
C
D
P
A
B
1
14. 已 知 实 数 x, x, y, y 满 足 x2+ y2=1， x2+ y2=1， x x + y y = ， 则
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2|x + y −2| |x + y −2|
1 1 + 2 2 的最大值为 ．
√2 √2
四、 解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤。）
15．（本小题满分13分）
已知△ABC的顶点A（0，4），B（2，0），C（﹣5，m），线段AB的中点为D，
且CD⊥AB．
（1）求m的值；
（2）求BC边上的中线所在直线的方程．
16．（本小题满分15分）
如图，在直四棱柱ABCD﹣ABC D 中，底面四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝
1 1 1 1
AD＝2，BD=2√2，BC＝4．
（1）证明：AB⊥AD；
1 1 1
（2）若AA＝2，求点B到平面BCD 的距离．
1 1 1
17．（本小题满分15分）
已知圆O：x2+y2＝1，直线l：x+（m﹣3）y﹣m＝0（m∈R）．
（1）若直线l与圆O相切，求m的值；
（2）当m＝4时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为
A，B，当切线长（点P到切点的距离）最短时，求弦AB所在直线的方程．
18．（本小题满分17分）
1
在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，CD=AD= AB=1
2
，∠PAD＝45°，E是PA的中点，G在线段AB上，且
满足CG⊥BD．
（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求平面PGC与平面BPC夹角的余弦值；
√3
（3）在线段PA上是否存在点H，使得GH与平面PGC所成角的正弦值是 ，若存
3
在，求出AH的长；若不存在，请说明理由．
19. （本小题满分17分）
一个几何系统的“区径”是指几何系统中的两个点距离的最大值，如圆的区径即为它的
直径长度.
（1）已知∆ABC为直角边为1的等腰直角三角形，其中AB⊥AC，求分别以∆ABC
三边为直径的三个圆构成的几何系统的区径；
（2）已知正方体 的棱长为2，求正方体的棱切球（与各棱相切的
球）和∆ACB 外接圆构成的几何系统的区径；
1
ABCD
（3）已知正方体 的棱长为 2，求正方形 内切圆和正方形
ADD A 内切圆构成的几何系统的区径.
1 1郑州外国语学校2024-2025学年高二上期月考1
数学参考答案
五、 选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。）
1-8：ACBC CDDD
六、 多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。）
9. BCD 10. AD 11. ABD
七、 填空题（本大题共 3小题，每小题5分，共15分。）
2
12. −4或− 13. 1 14. 2√2+√3
5
八、 解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。）
15．（本小题满分13分）
解：（1）因为A（0，4），B（2，0），所以D的坐标为（1，2），
m−2 4−0
因为CD⊥AB，所以 × =−1，
−5−1 0−2
解得m＝﹣1． ……………………………………6分
3 1
（2）设线段BC的中点为E，由（1）知C（﹣5，﹣1），则E(− ，− )，
2 2
1
4+
2
所以k = =3，
AE 3
0+
2
所以直线AE的方程为y﹣4＝3（x﹣0），化简得3x﹣y+4＝0，
即BC边上的中线所在直线的方程为3x﹣y+4＝0．……………………………13分
16．（本小题满分15分）
【解答】（1）证明：因为AB＝AD＝2，BD=2√2，所以AB2+AD2＝8＝BD2，
所以AB⊥AD，
因为ABCD﹣ABC D 为直四棱往，
1 1 1 1
所以AA⊥AB，
1
因为AA∩AD＝A，AA，AD 面ADD A，
1 1 1 1
所以AB⊥面ADD A，
1 1 ⊂
因为AB∥AB，
1 1
所以AB⊥面ADD A，
1 1 1 1
因为AD 面ADD A，
1 1 1
所以AB⊥AD． ……………………………………7分
1 1⊂ 1
（2）解：由（1）及题意知，AB，AD，AA两两垂直，
1
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为AB＝AD＝2，BD=2√2，BC＝4，AA＝2．
1
所以A（0，0，0），B（2，0，0），B （2，0，2），C（2，4，0），D （0，2，
1 1
2），D（0，2，0），
→ → →
所以CB =(0，−4，2) ，CD =(−2，−2，2) ，BC=(0，4，0) ， ………9
1 1
分
→
设平面B 1 CD 1 的一个法向量为 n=(x，y，z) ，
→ →
{
n⋅CB =0 { −4 y+2z=0
1
则 ，即 ，
→ → −2x−2y+2z=0
n⋅CD =0
1
令y＝1，解得x＝1，z＝2，
→
∴n=(1，1，2) ， ……………………………………12分
→ →
|BC⋅n| 4 2√6
所以点B到平面BCD 的距离为d= = = ． …………………15
1 1 → √6 3
|n|
分
17．（本小题满分15分）
【解答】解：（1）设圆心O到直线l的距离为d，因为直线l与圆O相切，|m| 5
所以 d= =1 ，解得m= ；……………………………………4分
√1+(m−3) 2 3
（2）当m＝4 时，直线l：x+y﹣4＝0，连接OA，OB，则OA⊥AP，OB⊥BP，
所以O，A，P，B四点共圆，切线长|AP|=√|OP|2−|OA|2=√|OP|2−1，
故|AP|最短当且仅当|OP|最短，即OP⊥l时最短， ……………………………8分
4 √16
因为|OP|≥ ，所以|AP|≥ −1=√7，此时k ＝1，
√2 2 OP
所以l ：y＝x，
OP
{ y=x
联立 ，得P（2，2）， ……………………………………11分
x+ y−4=0
故以OP为直径的圆的方程为 x（x﹣2）+y（y﹣2）＝0，即x2+y2﹣2x﹣2y＝0，
因为弦AB即圆O与上述圆的公共弦，将两圆方程相减可得2x+2y﹣1＝0，
所以弦AB所在直线方程为2x+2y﹣1＝0． ……………………………………15分
18．（本小题满分17分）
【解答】（1）证明：取PB中点F，连接EF,CF.1
∆PAB中，EF//AB，且EF= AB，
2
1
又CD//AB，且CD= AB，
2
所以EF//CD，且EF=CD，
即四边形EFCD为平行四边形，
所以DE//CF，
又CF⊂面PBC，DE⊄面PBC，
所以DE∥平面PBC. ……………………………………4分
（2）因为PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，如图，以D为原点，建立空间直
角坐标系D﹣xyz，
1
由题意CD＝AD= AB＝1，而∠PAD＝45°，又∠PDA＝90°，于是PD＝DA＝1，
2
故D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
→ →
所以BC=(−1，−1，0)，CP=(0，−1，1) ，
→ →
{
→
m⋅BC=0 {−x−y=0
设平面PBC的法向量为 m=(x，y，z) ，则
→ →
，即
−y+z=0
，
m⋅CP=0
→
令y＝1，则x＝﹣1，z＝1，∴ m=(−1，1，1) ，
→ →
设点G坐标为（1，t，0），则 CG=(1，t−1，0) ， DB=(1，2，0) ，
→ → 1 1
由CG⊥BD得CG⋅DB=1+2(t−1)=0⇒t= ，∴G(1， ，0)，
2 2
→ → 1
设平面GPC的法向量为 n=(a，b，c) ，CG=(1，− ，0)，
2
{
→ → {−b+c=0
n⋅CP=0
→
由
→ →
得
a−
1
b=0
，令a＝1，则n=(1，2，2) ，
n⋅CG=0 2
→ →
→ → m⋅n 3 √3
则cos〈m，n〉= = = ，
→ → 3√3 3
|m|×|n|√3
所以平面GPC与平面PBC夹角的余弦值为 ． ………………………………10分
3
→ → →
（ 3 ） AP=(−1，0，1) ， 设 AH=λAP=(−λ，0，λ) ， λ∈ [0 ， 1] ，
→ 1
GA=(0，− ，0)，
2
→ → → 1
∴ GH=GA+AH=(−λ，− ，λ)， ∴
2
→ →
→ → GH⋅n 2λ−2
cos＜GH，n＞= =
，
→ → 3√(8λ2+1)
|GH||n|
√3 | 2λ−2 | √3
=
∵GH与平面PGC所成角的正弦值为 ，∴ ，
3 3√8λ2+1 3
1 1
整理得：20λ2+8λ﹣1＝0，解得：λ= ，λ=− （舍），
10 2
→ 1 1 √2
∴存在满足条件的点H，AH=(− ，0， )，且AH= ．
10 10 10
…………………………17分
19. （本小题满分17分）
C
M
E
F
A D B
N
解：（1）如图，若几何系统中的两点分别在两圆上，不妨设其中一点N在⊙D上.
√2
若另一点M在⊙E上，则|MN|≤|ME|+|ED|+|DN|=1+ ，当M,E,D,N共线时
2
取到等号；
√2
若另一点M在⊙F上，则|MN|≤|MF|+|FD|+|DN|=1+ ，当M,F,D,N共线时
2
取到等号；若两点在同一圆上，则最大距离为⊙E直径，即√2.
√2
综上，该几何系统的区径为1+ . ……………………………………4分
2
（2）记棱切球的球心为O，即为正方体的中心，容易求得棱切球的半径为 ．
2√6
因为∆AB C为正三角形，记它的外接圆圆心为 ，易知其半径为 .
1 3
√3
又|OO |= ，则球心 到∆AB C的外接圆上任意一点的距离均为 ，圆
1 3 1
与球 的位置关系如图：
若两点分别在球上和圆上，设点M在球O上，点N在⊙O 上，则有|OM|=√2，
1
|ON|=√3. 所以|MN|≤|OM|+|ON|=√2+√3，当M,O,N三点共线，且M,N在 的异
侧时取到等号.
4√6
若两点同时在球上或圆上，则最大距离为⊙O 的直径，即 .
1 3
4√6
综上，该几何系统的区径为 . ……………………………………10分
3
z
D 1 C 1
N
A 1 B 1
O D
2 C y
M
O
1
A
B
x
（3）如图以D为原点建立空间直角坐标系，在xDy平面上，⊙O 的方程为(x−1) 2+(y−1) 2=1；
1
在xDz平面上，⊙O 的方程为(x−1) 2+(z−1) 2=1.
2
若两点分别在两圆上，设点M在⊙O 上，点N在⊙O 上，且
1 2
M(1+cosα,1+sinα,0),N(1+cosβ,0,1+sinβ).
则
|MN| 2&=(cosα−cosβ) 2+(1+sinα) 2+(1+sinβ) 2
&=4+2(sinα+sinβ−cosαcosβ)
&=4+2(sinα+√1+cos2αsin(β−φ)
&≤4+2(sinα+√1+cos2α)
&≤4+2√2(sin2α+1+cos2α)
&=8
π
即|MN|≤2√2，等号成立当且仅当α=β=
.
2
若两点在同一个圆上，则最大距离为⊙O 的直径，即2.
1
综上，该几何系统的区径为2√2. ……………………………………17分
