数学-广东省东莞市东莞外国语学校2025届高三上学期10月月考_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年10月试卷_1021广东省东莞市东莞外国语学校2025届高三上学期10月月考

东莞外国语学校 2024-2025 学年第一学期第 2 次月考
高三数学
命题人：桂林峰 审题人：张立东
说明：本试卷共 4页，19小题，满分 150分，考试用时 120分钟.
注意事项：1．答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、
座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 设
A{(x,y)| y  x2x}
，
B {(x,y)| y  x}
，则
AB 
（ ）
A. {(0,0),(2,2)} B. {(0,0)} C. {(2,2)} D. 
2.“0 x2”是“x2  x6 0”的（ ）
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8
3. 函数 f(x)2x (x 1)的最小值为（ ）
x1
A.8 B.6 C.4 D.10
4. 学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3位同学分别到A，
B，C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（ ）
A.70种 B.140种 C.420种 D.840种
5. 如图，直线l和圆C，当l从l开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，
0
它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是
第1页/共5页
学科网（北京）股份有限公司A B.
.
C D.
.
6. 设a log 2,bln2,c51 2 则
3
A. abc B. b<c<a C. c<a<b D. cb a
7. 在VABC中，(ac)(sinAsinC)b(sinAsinB)，则C （ ）
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
8. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，
被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的
位移 y  m  和时间ts的函数关系为 y sin t 0, π  ，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连
续三次到达同一位置的时间分别为t ，t ，t  0t t t  ，且t t 2，t t 5，则在一个周期
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3
内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（ ）
1 2 4
A. s B. s C.1s D. s
3 3 3
二、多选题：本大题共 3小题，每小题 6分，满分 18分，部分选对得部分分，错选得 0分.
（2021·全国·高考真题）
第2页/共5页
学科网（北京）股份有限公司9. 有一组样本数据x，x ，…，x ，由这组数据得到新样本数据 y ， y ，…， y ，其中
1 2 n 1 2 n
y  x c(i 1,2,,n),c为非零常数，则（ ）
i i
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同
D. 两组样本数据的样本极差相同
(2021高考北京改编·)
10. 若点A  cos,sin 关于 y 轴对称点为B  cos   π ,sin   π   ，则的取值可以为（ ）
  6  6
7π π 5π 11π
A.  B.  C. D.
12 12 12 12
11. 已知函数 f(x) x2 sinx在x x 处取得极值，则（ ）
0
1 1 1 x 5
A. x  B. x  C. x  sinx D. tan 0 
0 2 0 3 0 4 0 2 5
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，满分 15分
（必修一P219例4（3）改编）
1tan15
12. 求值： __________．
1tan15
（选择性必修三P 改编）
13. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个白球､5个红球，乙箱中有8个红球､2个白球.掷一
枚质地均匀的骰子，如果点数为5或6，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为1,2,3,4，从乙箱子中随机
摸出1个球.则摸到红球的概率为___________.
x1,1 x2,
14. 定义在  0, 上的函数 f (x)满足：①当x[1,3)时， f(x) ② f(3x)3f(x).若
3x,2 x3,
函数F(x) f(x)a的零点从小到大依次记为x ,x ,,x ,，则当a(1,3)时，
1 2 n
x x x x _______.
1 2 2n1 2n
四、解答题：本大题共 5小题，满分 77分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
（2014·福建·高考真题）
15. 函数 f(x)2cosx(sinxcosx)．
5
（1）求 f( )的值；
4
第3页/共5页
学科网（北京）股份有限公司（2）求函数 f (x)的最小正周期及单调递增区间．
（2007年海南卷）
16. 设函数 f  x ln  2x3 x2
 
（1）讨论 f x 的单调性；
 3 1
（2）求 f  x  在区间

 ,

的最大值和最小值．
 4 4
17. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收
氧气量若超过平时的78倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，
加快了心肌代谢，同时还使心肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.为了调查学生喜欢跑
步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的22列联表：已知在这200
名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6．
喜欢跑步 不喜欢跑步 合计
男生 80
女生 20
合计
（1）判断：是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？
（2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运
动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布及数学期望．
 0.10 0.05 0.005
x 2.706 3.841 7.879

n(ad bc)2
附：2  ，其中nabcd ．
 ab  cd  ac  bd 
第4页/共5页
学科网（北京）股份有限公司18. 设函数 f  x  xex 2aex ，g  x 2ax，aR．
    
（1）a 0时，求 f x 在 1, f 1 处切线方程；
   
（2）若在y轴右侧，函数 f x 图象恒不在函数g x 的图象下方，求实数a的取值范围；
1 1 1
（3）证明：当nN*时，1   ln  2n1 ．
2 3 n
19. 已知kN*，集合X   x x2i 0 2i 1 2i k,0i i i ,其中i ,i ,,i N  .
k 0 1 k 0 1 k
（1）求X 中最小的元素；
2
（2）设a2123X ，bX ，且abX ，求b的值；
1 1 1
k1 b
（3）记Y k  X k   2kn1,2kn  ，nN*，若集合Y k 中的元素个数为b n ，求  2m m 1 .
m1
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学科网（北京）股份有限公司东莞外国语学校 2024-2025 学年第一学期第 2 次月考
高三数学
命题人：桂林峰 审题人：张立东
说明：本试卷共 4页，19小题，满分 150分，考试用时 120分钟.
注意事项：1．答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、
座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 设
A{(x,y)| y  x2x}
，
B {(x,y)| y  x}
，则
AB 
（ ）
A. {(0,0),(2,2)} B. {(0,0)} C. {(2,2)} D. 
【答案】A
【解析】
【分析】联立集合A与集合B方程组，解出来的解组就是AB.
y x2 x
【详解】根据题意知联立集合A与集合B方程组得 ，
 y x
x 0 x 2
解之可得 或 ，所以AB  0,0  ,  2,2  .
y 0 y 2
故选：A
2.“0 x2”是“x2  x6 0”的（ ）
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】分析两个集合A x|0 x2  和B x|2 x3  的关系，从而推出命题之间的关系
【详解】解不等式x2  x6 0，得2 x3
而集合A x|0 x2  是集合B x|2 x3  的真子集，所以“0 x2”是“x2  x6 0”的充分
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学科网（北京）股份有限公司而不必要条件
故选：B
8
3. 函数 f(x)2x (x 1)的最小值为（ ）
x1
A.8 B.6 C.4 D.10
【答案】D
【解析】
【分析】
8
由 f(x)2(x1) 2然后利用基本不等式可求得答案.
x1
8
【详解】因为x 1，所以 f(x)2(x1) 22 16210，
x1
8
当且仅当2(x1) 即x3等号成立，
x1
所以函数的最小值为10，
故选：D.
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于基础题.
4. 学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3位同学分别到A，
B，C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（ ）
A.70种 B.140种 C.420种 D.840种
【答案】C
【解析】
【分析】将情况分为2男1女和2女1男两种情况，相加得到答案.
【详解】2男1女时：C2C1A3 240
5 4 3
2女1男时：C1C2A3 180
5 4 3
共有420种不同的安排方法
故答案选C
【点睛】本题考查了排列组合的应用，将情况分为2男1女和2女1男两种情况是解题的关键.
5. 如图，直线l和圆C，当l从l开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，
0
它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知：S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函数的大致图像即
可.
【详解】观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，
对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求.
故选D.
【点睛】本题主要考查实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考查学生的转化能力和
计算求解能力.
6. 设a log 2,bln2,c51 2 则
3
A. abc B. b<c<a C. c<a<b D. cb a
【答案】C
【解析】
ln2 1 1 1 1
【分析】由a  ln2b及a log 3  ,c   可比较大小.
ln3 3 2 5 4 2
第3页/共17页
学科网（北京）股份有限公司ln2
【详解】∵aln2＞0，ln3＞1，∴a  ln2b，即a b．
ln3
1 1 1 1
又a log 2log 3  ,c   ．∴ac．综上可知：ca b
3 3 2 5 4 2
故选C.
【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题.
7. 在VABC中，(ac)(sinAsinC)b(sinAsinB)，则C （ ）
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为(ac)(sinAsinC)b(sinAsinB)，
所以由正弦定理得(ac)(ac)b(ab)，即a2 c2 abb2，
a2 b2 c2 ab 1
则a2 b2 c2 ab，故cosC    ，
2ab 2ab 2
π
又0C  π，所以C  .
3
故选：B.
8. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，
被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的
位移 y  m  和时间ts的函数关系为 y sin t 0, π  ，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连
续三次到达同一位置的时间分别为t ，t ，t  0t t t  ，且t t 2，t t 5，则在一个周期
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3
内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司1 2 4
A. s B. s C.1s D. s
3 3 3
【答案】C
【解析】
2π 2π 
【分析】先根据周期求出 ，再解不等式sin t  0.5，得到t的范围即得解.
3  3 
2π 2π
【详解】因为t t 2，t t 5，t t T ，所以T 3，又T  ，所以 ，
1 2 2 3 3 1  3
2π  2π 
则 y sin t ，由y0.5可得sin t  0.5，
 3   3 
π 2π 5π
所以2kπ  t 2kπ，kZ，
6 3 6
1 3 5 3  5 3   1 3 
所以3k  t   3k ，kZ，故3k     3k    1，
4 2π 4 2π  4 2π   4 2π 
所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s.
故选：C.
二、多选题：本大题共 3小题，每小题 6分，满分 18分，部分选对得部分分，错选得 0分.
（2021·全国·高考真题）
9. 有一组样本数据x，x ，…，x ，由这组数据得到新样本数据 y ， y ，…， y ，其中
1 2 n 1 2 n
y  x c(i 1,2,,n),c为非零常数，则（ ）
i i
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同
D. 两组样本数据的样本极差相同
【答案】CD
【解析】
【分析】A、C利用两组数据的线性关系有E(y) E(x)c、D(y) D(x)，即可判断正误；根据中位数、
极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.
【详解】A：E(y) E(xc) E(x)c且c 0，故平均数不相同，错误；
第5页/共17页
学科网（北京）股份有限公司B：若第一组中位数为x ，则第二组的中位数为 y  x c，显然不相同，错误；
i i i
C：D(y) D(x)D(c) D(x)，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为x x ，则第二组的极差为
max min
y  y (x c)(x c) x x ，故极差相同，正确；
max min max min max min
故选：CD
(2021高考北京改编·)
10. 若点A  cos,sin 关于 y 轴对称点为B  cos   π ,sin   π   ，则的取值可以为（ ）
  6  6
7π π 5π 11π
A.  B.  C. D.
12 12 12 12
【答案】AC
【解析】
 π  π
【分析】根据对称性得到coscos   0，sinsin  ，化简后得到tan2 3，对
 6  6
四个选项一一计算，得到答案.
 π  π
【详解】由题意得coscos   0，sinsin  ，
 6  6
 π π π 2 3 1
coscos 

coscoscos sinsin  cos sin0 ，故tan2 3，
 6 6 6 2 2
 π π π 2 3 1
sinsin 

sinsincos cossin  sin cos0 ，故tan2 3，
 6 6 6 2 2
π π
tan tan
 7π 7π  π π 3 4 31
A选项，tan   tan tan     2 3 ，A正确；
 12  12  3 4 π π 1 3
1tan tan
3 4
π π
tan tan
 π  π  π π 3 4 31
B选项，tan   tan tan      32 ，B错误；
 12 12  3 4 π π 1 3
1tan tan
3 4
π π 3
tan tan 1
5π π π 6 4 3
C选项，tan tan     2 3 ，C正确；
12 6 4 π π 3
1tan tan 1
6 4 3
第6页/共17页
学科网（北京）股份有限公司11π  π  π
D选项，由B选项知，tan  tanπ  tan  32，D错误.
12  12 12
故选：AC
11. 已知函数 f(x) x2 sinx在x x 处取得极值，则（ ）
0
1 1 1 x 5
A. x  B. x  C. x  sinx D. tan 0 
0 2 0 3 0 4 0 2 5
【答案】ABC
【解析】
1 1
【分析】求导得到导函数，再次求导证明 f(x)单调递增，根据零点存在定理得到x   , ，AB正确，
0 3 2
1  1 2 1
代换得到x  sinx  x   0，C正确，若D成立得到x  ，矛盾，得到答案.
0 4 0  0 2 0 3
【详解】 f(x) x2 sinx，则 f(x)2xcosx， f(x)2sinx0恒成立，
1 1 1 2 1 2 π 2 3
故 f(x)单调递增， f   1cos 0， f    cos  cos   0，
2 2 3 3 3 3 6 3 2
1 1
故存在x   , ，函数 f  x  在 ,x  上单调递减，在  x , 上单调递增，AB正确；
0 3 2 0 0
f(x )2x cosx 0 ， f  x  x2 sinx  f  0 0，
0 0 0 0 0 0
2
1 1  1
x  sinx  x  x2  x   0，故C正确；
0 4 0 0 4 0  0 2
x 5 1 1 x 6 x 1 2
若tan 0  ，x   , ，则sin 0  ，cosx 12sin2 0 1  ，
2 5 0 3 2 2 6 0 2 3 3
2 1 1 1
cosx 2x  ，则x  ，这与x   , 矛盾，故D错误.
0 0 3 0 3 0 3 2
故选：ABC.
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，满分 15分
（必修一P219例4（3）改编）
1tan15
12. 求值： __________．
1tan15
【答案】 3
第7页/共17页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】直接利用两角和的正切公式计算可得；
1tan15 tan45tan15
【详解】解：  tan  4515tan60 3
1tan15 1tan45tan15
故答案为： 3
（选择性必修三P 改编）
13. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个白球､5个红球，乙箱中有8个红球､2个白球.掷一
枚质地均匀的骰子，如果点数为5或6，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为1,2,3,4，从乙箱子中随机
摸出1个球.则摸到红球的概率为___________.
7
【答案】 ##0.7
10
【解析】
【分析】分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可.
2 1 5 1
【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为5或6的概率为  ，再从甲箱中摸到红球的概率为  ，
6 3 10 2
1 1 1
故从甲箱中摸到红球的概率为P    ；
1 3 2 6
4 2 8 4
从乙箱中摸红球：掷到点数为1，2，3，4的概率为  ，再从乙箱中摸到红球的概率为  ，
6 3 10 5
2 4 8
故从乙箱中摸到红球的概率为P    ；
2 3 5 15
1 8 7
综上所述：摸到红球的概率为P P+P  +  .
1 2 6 15 10
7
故答案为：
10
x1,1 x2,
14. 定义在  0, 上的函数 f (x)满足：①当x[1,3)时， f(x) ② f(3x)3f(x).若
3x,2 x3,
函数F(x) f(x)a的零点从小到大依次记为x ,x ,,x ,，则当a(1,3)时，
1 2 n
x x x x _______.
1 2 2n1 2n
【答案】6(3n 1)
【解析】
【分析】在同一坐标系内做出 y f(x)和 y a的图象，根据图象得到x ,x ,,x ,，的对称关系，把
1 2 n
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学科网（北京）股份有限公司x x x x 转化为等比数列前n项和即可求解.
1 2 2n1 2n
【详解】在同一坐标系内做出 y f(x)和y a的图象如图所示：
当a(1,3)时，利用对称性，依次有：x x 26223，
1 2
x x 2182232，
3 4
L，
x x 223n，
2n1 2n
 
3 13n
所以 x x x x 4  332 3n  4 6  3n 1  .
1 2 2n1 2n 13
故答案为：6(3n 1).
【点睛】方法点睛：已知函数有零点，求零点的和（积）的常用方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再直接求和（积）；
（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
四、解答题：本大题共 5小题，满分 77分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
（2014·福建·高考真题）
15. 函数 f(x)2cosx(sinxcosx)．
5
（1）求 f( )的值；
4
（2）求函数 f (x)的最小正周期及单调递增区间．
5 3 
【答案】（1） f( )2；（2）T ， f (x)的单调递增区间为[k ,k ],kZ .
4 8 8
【解析】
【详解】试题分析：（1）借助题设直接运用诱导公式化简求解；（2）借助题设条件和二倍角公式求解．
试题解析:
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学科网（北京）股份有限公司5 5 5 5   
（1） f( )2cos (sin cos )2cos (sin cos )2，
4 4 4 4 4 4 4

（2）因为 f(x)2sinxcosx2cos2 xsin2xcos2x1 2sin(2x )1．
4
2   
所以T  ， 由2k 2x 2k ,kZ，
2 2 4 2
3   3 
得k  xk ,kZ ，所以 f (x)的单调递增区间为 k ,k ,kZ ．
 
8 8  8 8
考点：三角函数的图象及诱导公式二倍角公式的运用．
（2007年海南卷）
16. 设函数 f  x ln  2x3 x2
 
（1）讨论 f x 的单调性；
 3 1
（2）求 f  x  在区间

 ,

的最大值和最小值．
 4 4
 3   1   1
【答案】（1）函数 f  x  在  ,1,  , 上单调递增；在 1, 上单调递减；
 2   2   2
 3 1 1 7 1
（2） f  x  在区间

 ,

上的最大值为 ln ，最小值为 ln2.
 4 4 16 2 4
【解析】
【分析】（1）先求函数的定义域，解不等式 fx0求出函数的单调递增区间，解不等式 fx0求出
函数的单调递减区间；（2）根据函数的单调性求出函数的最值.
【小问1详解】
 3 
函数 f  x ln  2x3 x2的定义域为  ， ，
 2 
 1
4x

 x1 
又 2  2  3.
f x  2x x 
2x3 2x3  2
令 fx0，解得x 1 或 3  x1；令 fx0，解得1 x 1 .
2 2 2
 3   1   1
所以函数 f  x  在  ,1,  , 上单调递增；在 1, 上单调递减；
 2   2   2
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
 3 1  1 1
由（1）可得：函数 f  x  在区间

 ,

内单调递减，在

 ,

内单调递增.
 4 2  2 4
所以当x 1 时，函数 f  x  取得最小值 f    1   1 ln2，
2  2 4
 3 9 3 1 1 7
又 f     ln ， f   ln ，
 4 16 2 4 16 2
 3 1 9 3 1 7 1 3 1 1
而 f     f    ln  ln  ln  ln 0，
 4 4 16 2 16 2 2 7 2 e
1 1 7
所以当x 时，函数 f  x  取得最大值为： ln .
4 16 2
 3 1 1 7 1
即 f  x  在区间

 ,

上的最大值为 ln ，最小值为 ln2.
 4 4 16 2 4
17. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收
氧气量若超过平时的78倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，
加快了心肌代谢，同时还使心肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.为了调查学生喜欢跑
步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的22列联表：已知在这200
名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6．
喜欢跑步 不喜欢跑步 合计
男生 80
女生 20
合计
（1）判断：是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？
（2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运
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学科网（北京）股份有限公司动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布及数学期望．
 0.10 0.05 0.005
x 2.706 3.841 7.879

n(ad bc)2
附：2  ，其中nabcd ．
 ab  cd  ac  bd 
【答案】（1）无90%把握认为喜欢跑步与性别有关，理由见解析
3
（2）分布列见解析，E  X 
4
【解析】
【分析】（1）计算出喜欢跑步和不喜欢跑步的人数，完善列联表，作出零假设，计算出卡方，与2.706比较
后得到结论；
（2）由分层抽样得到抽取女生2名，男生6名，得到X 的分布列，计算出期望值.
【小问1详解】
由题可知，从200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6，
故喜欢跑步的人有2000.6120（人），不喜欢跑步的人有20012080（人）．
喜欢跑步 不喜欢跑步 合计
男生 80 60 140
女生 40 20 60
合计 120 80 200
∴a80，b60，c40，d 20，
零假设H :学生对长跑的喜欢情况与性别无关联，
0
根据题意，由22列联表中的数据，
200 80204060 2
可得2  1.5872.706 ，
1208014060
所以在0.1的独立性检验中，不能推翻H ，故无90%把握认为喜欢跑步与性别有关．
0
【小问2详解】
8 x y
按分层抽样，设女生x名，男生 y 名，   ，解得x2，y 6，
80 20 60
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学科网（北京）股份有限公司∴从不喜欢跑步的学生中抽取女生2名，男生6名，
故X 的可能取值为0，1，2．
C0C3 5 C1 C2 15 C2C1 3
P  X 0  2 6  ，P  X 1  2 6  ，P  X 2  2 6  ，
C3 14 C3 28 C3 28
8 8 8
故X的分布为：
X 0 1 2
5 15 3
P
14 28 28
5 15 3 21 3
∴E  X 0 1 2   ．
14 28 28 28 4
18. 设函数 f  x  xex 2aex ，g  x 2ax，aR．
（1）a 0时，求 f  x  在  1, f  1  处切线方程；
   
（2）若在y轴右侧，函数 f x 图象恒不在函数g x 的图象下方，求实数a的取值范围；
1 1 1
（3）证明：当nN*时，1   ln  2n1 ．
2 3 n
【答案】（1）2ex ye0
（2）
,1 
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）设函数h  x  f  x g  x  xex2aexax 2，求得h x  x12a  exa ，令
 x  x12a  exa ，求得 x  x22a  ex，分22a0和22a0，两种情况讨论，求
解函数的单调，进而求得a的取值范围.
2t2 2t2 1
（3）取a 1，由（2）知xex 2ex x20，令x lnt  t 1  ，lnt  ，令  ，化简得
1t 1t n
1 2n1
到 ln ln  2n1 ln  2n1 ，进而证得结论.
n 2n1
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司a 0时， f  x  xex，
∵ f x  x1  ex，∴k  f 1 2e，
∵ f 1e，则切线方程为 ye2e(x1)，即2ex ye0.
【小问2详解】
设函数h  x  f  x g  x  xex2aexax2  x  0 ，则h x  x12a  exa，
令 x  x12a  exa  x0 ，则 x  x22a  ex，
当22a0，即a1时， x 0，即 x  x12a  exa 0 1a0 ，
即h x  x12a  exa 0，
所以h  x  xex 2aex 2ax2h  0 22a 0 成立，此时符合题意；
当22a0，即a1时，令
x
0，解得x22a，
所以 x  在区间  0,22a  上单调递减，
又由 0 1a0，此时h  x  在  0,22a  上单调递减，
所以h

x
h 
0
22a0，显然不满足题意，
综上可得，实数a的取值范围为
,1 
.
【小问3详解】
取a 1，由（2）知xex 2ex x20在  0, 上恒成立，当且仅当x0时，等号成立，
因为x0，令x lnt  t 1  ，代入得到tlnt2tlnt20，
2t2 2t2 4
即lnt  ，且 2  0,2 ，
1t 1t t1
2t2 1 2n1
令  ，nN*，即t  ，
1t n 2n1
1 2n1
代入化简得到 ln ln  2n1 ln  2n1 ，
n 2n1
1 1 1
所以1    ln3ln1  ln5ln3 

ln  2n1 ln  2n1 

ln  2n1 成立．
2 3 n
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
第14页/共17页
学科网（北京）股份有限公司1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
19. 已知kN*，集合X   x x2i 0 2i 1 2i k,0i i i ,其中i ,i ,,i N  .
k 0 1 k 0 1 k
（1）求X 中最小的元素；
2
（2）设a2123X ，bX ，且abX ，求b的值；
1 1 1
k1 b
（3）记Y k  X k   2kn1,2kn  ，nN*，若集合Y k 中的元素个数为b n ，求  2m m 1 .
m1
【答案】（1）7 （2）b24或10
（3）2k
【解析】
【分析】（1）根据集合新定义，确定X 中最小的元素即可；
2
（2）根据集合X 中的元素可得a2123 10，设b2j 2i，0i j  i, jN  ，分别讨论当 j 3
1
时，当 j4时，当 j 5时，b的取值情况，即可得结论；
（3）设xY k ，则x2i 0 2i 1 2i k，其中i k k n1，0i 0 i 1 i k1 kn1，所以
k1 b
b Ck ，根据组合数的运算性质确定S 与S 的关系，即可求得  m 的值.
n kn1 k1 k 2m1
m1
【小问1详解】
X 中的最小元素为20 2122 7.
2
【小问2详解】
由题得a2123 10，设b2j 2i，0i j  i, jN  .
①当 j 3时，b2322 12或b2321 10或b2320 9或b22 21 6或b22 20 5或
b2120 3.
经检验，当b10时，ab2024 22，符合题意，
所以b10.
第15页/共17页
学科网（北京）股份有限公司②当 j4时，b24 23 24或b24 22 20或b24 21 18或b24 20 17.
经检验，当b24时，ab3425 21，符合题意，
所以b24.
③当 j 5时，不符合题意.
因此，b24或10.
【小问3详解】
设xY ，则x2i 0 2i 1 2i k，其中i k n1，
k k
0i i i kn1，所以b Ck ，
0 1 k1 n kn1
k1 b 1 1 1
设S  m ，则S Ck  Ck  Ck  Ck .
k 2m1 k k 2 k1 22 k2 2k 2k
m1
因为Ck1 Ck Ck1，
n n1 n1
1 1 1 1
所以S Ck1 Ck1  Ck1  Ck1  Ck1
k1 k1 2 k2 22 k3 2k 2k1 2k1 2k2
Ck  1 Ck Ck1   1  Ck Ck1   1  Ck Ck1   1  Ck Ck1 
k 2 k1 k1 22 k2 k2 2k 2k 2k 2k1 2k1 2k1
 1 1 1 1 
 Ck  Ck  Ck  Ck  Ck

 k 2 k1 22 k2 2k 2k 2k1 2k1 
1 1 1 1
 Ck1 Ck1  Ck1 Ck1
2 k1 22 k2 2k 2k 2k1 2k1
1 1 1 
S  S  Ck1  Ck .
k 2 k1 2k1 2k2 2k 2k1 
1  2k1  ! 1  2k2  !  2k1  ! 2k1  !
因为Ck  Ck1     0，
2k1 2 2k2 k!  k1  ! 2  k1  !  k1  ! k!  k1  !
1
所以S S  S ，所以S 2S ，
k1 k 2 k1 k1 k
1
又因为S 1 C1 2，所以S 2k .
1 2 2 k
【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，注意两点：
（1）根据集合定义式，确定集合中元素的特点，结合指数运算确定指数的取值情况从而得集合X 中的元
k
素性质；
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学科网（北京）股份有限公司k1 b
（2）确定集合Y 中的元素个数为b 时，结合组合数的运算性质确定S  m 与S 的关系.
k n k 2m1 k1
m1
第17页/共17页
学科网（北京）股份有限公司