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武汉外国语学校 2024—2025 学年度上学期 10 月月考
高三数学试卷
考试时间：2024年10月9日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 复数 的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3. 若 ， ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知 ，则下列不等关系中不恒成立的是（ ）
A. B.
.
C D.
5. 将体积为1的正四面体放置于一个正方体中，则此正方体棱长的最小值为（ ）
A. 3 B. C. D.
6. 武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人
至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种
A. 114 B. 120 C. 126 D. 1327. 已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的
取值范围为
A. B. C. D.
8. 已知函数 ， ，函数 ，若 为偶函数，则
的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ）
A. 数据 ，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1
B. 已知随机变量 ，若 ， ，则
C. 若一组样本数据 （ ，2，…，n）的对应样本点都在直线 上，则这组样本数据
的相关系数为
D. 若事件M，N的概率满足 ， 且 ，则M与N相互独立
10. 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（ ）
A. 平行四边形 B. 梯形
C. 有三条边相等的四边形 D. 有一组对角相等的四边形
11. 设函数 ，则（ ）
A. 当 时，直线 是曲线 的切线
B. 若 有三个不同的零点 ，则C. 存在 ，使得 为曲线 的对称轴
D. 当 时， 在 处的切线与函数 的图象有且仅有两个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知 是等差数列 的前n项和，若 ， ，则 ____________．
13. 已知函数 ，写出函数 的单调递减区间____________．
14. 掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于 3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，
（1）恰好得3分的概率为____________；（2）恰好得n分的概率为____________．（用与n有关的式子
作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 的面积为 ，且满足 ,设 和 的夹角为 ，
（1）求 的取值范围；
（2）求函数 值域．
的
的
16. 如图，已知四棱锥 ， ，侧面 为正三角形，底面 是边长为 菱形，
侧面 与底面 所成的二面角为 ．
（1）求四棱锥 的体积；
（2）求二面角 的正弦值．a
17. 已知函数f(x)=aex−2+ln (a>0)
x
的
（1）当 时，求曲线y=f (x)在点(1,f (1))处 切线方程；
（2）若不等式 恒成立，求 的取值范围．
18. 已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，离心率为 ，且经过点
（1）求椭圆E的方程；
（2）求 的角平分线所在直线 的方程；
（3）在椭圆E上是否存在关于直线 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．
19. 设 使定义在区间 上的函数，其导函数为 .如果存在实数 和函数 ，其中
对任意的 都有 >0，使得 ，则称函数 具有性质 ．
（1）设函数 ，其中 为实数
① 求证：函数 具有性质 ；
的
② 讨论函数 单调性；
（2）已知函数 具有性质 ，给定 设 为正实数， ，
，且 ，若 ，求 的取值范围．
