广东省东莞市七校联考2024-2025学年高三上学期12月月考数学_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年12月试卷_1220广东省东莞市七校联考2024-2025学年高三上学期12月月考试题

东莞市 2024-2025 学年第一学期七校联考试题 高三数学 命题人：余升豪 审题人：唐嘉敏 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知集合A2,1,2,3，B  xR x2x60 ，则AB（ ） A．2,1,2 B．2,1,3 C．2,1 D．1,2 2．已知复数z满足zi1i1i，则 z （ ） A．0 B．1 C． 3 D．2 3．已知a ， b  满足a  2,2，b  2，  a  b   b  ，则a ， b  的夹角为（ ） π π π π A． B． C． D． 6 4 3 2 2 1 4．已知sincos ，cossin ，则sin（α＋β）=（ ） 3 3 13 13 13 13 A． B． C． D． 9 18 9 18 5．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆 锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 3 2 2 3 6．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下 可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世 杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三 角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，从上到下，顶上一层1个球，第二层3 个球，第三层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛第18层 球的个数为（ ） A．190 B．171 C．153 D．136 a,ab 7．对任意两个实数a，b，定义mina,b ，若 f x2x2，gxx2，则下列关于函 b,ab 数hxmin  f x,gx的说法正确的是（ ） A．函数hx是奇函数 B．函数hx在区间,10,1上单调递增 C．函数hx图象与x轴有三个交点 D．函数hx最大值为2 第1页，共4页 {#{QQABQQYAggAAABJAABgCEwEQCAIQkhEAAQgOQAAEIAAByRNABAA=}#}8．定义在R上的函数y f x满足 f 4x f x,x2 fx0，若x x 且x x 4，则（ ） 1 2 1 2 A． f x  f x  B． f x  f x  C． f x  f x  D．f x 与 f x 的大小不确定 1 2 1 2 1 2 1 2 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．甲、乙两名高中学生某学科历次测试成绩(百分制)分 别服从正态分布N(,2)，N(,2)，其正态分布的密度 1 1 2 2 曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ） 附：若随机变量X服从正态分布N(,2)，则 P( X )0.6826. A．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩 B．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩 C．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近 D．若 5，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587 1 1 10．对于函数 f  x  3sinxcosxsin2x ，给出下列结论，其中正确的有（ ） 2 π 2π  1  A. 函数y  f  x 在区间  ,  上的值域为   ,1  6 3   2  5π  B.函数y  f  x 的图象关于点 ,0对称 12  π C. 将函数y  f  x 的图象向左平移 个单位长度得到函数y cos2x的图象 3 π D. 曲线y  f  x 在x 处的切线的斜率为1 4 x2 y2 11．已知双曲线C：  （1 a0,b0）的左右焦点分别为F,F ，且 FF 4，A、P、B为双 a2 b2 1 2 1 2 曲线上不同的三点，且A、B 两点关于原点对称，直线PA与PB斜率的乘积为1，则下列正确 的是（ ） A．双曲线C的实轴长为 2 B．双曲线C 的离心率为 2   C．若PF PF  0，则三角形PFF 的周长为 42 6 1 2 1 2 D．2xy的取值范围为(, 6][ 6,) 第2页，共4页 {#{QQABQQYAggAAABJAABgCEwEQCAIQkhEAAQgOQAAEIAAByRNABAA=}#}三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分． 12．写出过点P(2,4)且与圆(x1)2 (y1)2 1相切的一条直线方程：________________. 13．在VABC中，若 sin2 Asin2BsinAsinBsin2C ，且AB边上的中线长为2，则VABC面积的 最大值为_______. 14．已知函数 f xx1xaxb为奇函数，则函数y f x在x0,2上的最小值为 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取 有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的 样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 50 30 80 数学 成绩 不优秀 40 80 120 合计 90 110 200 (1)根据小概率值0.010的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ P  B∣A  (2)在人工智能中常用L  B∣A    表示在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的优势，在统 P B∣A 计中称为似然比.现从该校学生中任选一人， A 表示“选到的学生语文成绩不优秀”， B 表示“选 到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计L  B∣A 的值. n(adbc)2 附：2  abcdacbd  0.050 0.010 0.001 x 3.841 6.635 10.828  16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形， PA平面ABCD，E 为PD的中点． (1)证明：PB//平面AEC； (2)若平面DAE与平面AEC的夹角为60,AP1,AD 3，求AB的长． 第3页，共4页 {#{QQABQQYAggAAABJAABgCEwEQCAIQkhEAAQgOQAAEIAAByRNABAA=}#}S  17．（本小题满分15分）已知数列a 的前n项和为S ，a 1，数列 n是以1为公差的等 n n 1  n  差数列． (1)求数列a 的通项公式； n 1 1 1 (2)若对于任意正整数n，都有   ，求实数的最小值. aa a a a a 1 2 2 3 n n1 1 18．（本小题满分17分）已知函数 f(x)lnx ax2(a1)x 2 （1）当a1时，求曲线y f(x)在点(1, f(1))处的切线方程； 1 （2）若函数g(x) f(x) ax2有两个不同的零点x ，x . 1 2 2 ①求实数a的取值范围； ②证明：xx e2. 1 2 19．（本小题满分17分）通过研究，已知对任意平面向量  A  B  (x,y)，把 A  B 绕其起点A 沿逆时  针方向旋转角得到向量APxcos ysin,xsin ycos，叫做把点B 绕点A逆时针方向旋转 角得到点P     π (1)已知平面内点A  3,2 3 ，点B 3,2 3 ，把点B 绕点A逆时针旋转 得到点P，求点 P 3 的坐标； x2 y2 (2)已知二次方程x2  y2  xy 1的图象是由平面直角坐标系下某标准椭圆  1ab0 a2 b2 π 绕原点O 逆时针旋转 所得的斜椭圆C， 4 ①求斜椭圆C 的离心率；  2 2 ②过点Q , 作与两坐标轴都不平行的直线l 交斜椭圆C 于点M、N，过原点O作直线l   3 3   1 2 2 1 与直线l 垂直，直线l 交斜椭圆C 于点G、H，判断  是否为定值，若是，请求出定 1 2 MN OH 2 值，若不是，请说明理由. 第4页，共4页 {#{QQABQQYAggAAABJAABgCEwEQCAIQkhEAAQgOQAAEIAAByRNABAA=}#}