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武汉外国语学校 2024—2025 学年度上学期 10 月月考
高三数学试卷
考试时间：2024年10月9日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式求集合A，即可得交集.
【详解】由题意可得： ，且 ，
所以 .
故选：D.
2. 复数 的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据复数的除法求解，再根据共轭复数的概念求解.
【详解】因为 ，
所以其共轭复数是 .
故选：D.
3. 若 ， ，且 ，则 与 的夹角为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量垂直列方程，结合向量数量积的运算以及向量夹角的知识求得正确答案.
【详解】因为 ，所以 ，
由于 ，所以 ，
由于 ，所以 .
故选：B
4. 已知 ，则下列不等关系中不恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两角和的正弦、余弦公式展开后结合不等式的性质可判断ABD，举反例判断C．
【详解】 都是锐角，则 ，
，A正确；
，B正确；
时， ，
， ，，C错误；
，D正确．
故选：C．
5. 将体积为1的正四面体放置于一个正方体中，则此正方体棱长的最小值为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】反向思考，求出边长为 的正方体的最大内接正四面体的体积，结合条件，即可求解.
【详解】反向思考，边长为 的正方体，其最大内接正四面体的体积为 ，
得到 ，解得 ，
故选：C.
6. 武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人
至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种
A. 114 B. 120 C. 126 D. 132
【答案】A
【解析】
【分析】依据值班3天的为分类标准，逐类解决即可.
【详解】因为有三位老师值班7天，且每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，
所以必有一人值班3天，另两人各值班2天.
第一类：值班3天在 、 、 、 、 、 时，共有
种不同的值班方法；
第二类：值班3天在 、 时，共有 种不同的值班方法；
第三类：值班3天在 时，共有 种不同的值班方法；第四类：值班3天在 时，共有 种不同的值班方法；
综上可知三位老师在国庆节7天假期共有 种不同的值班方法.
故选：A
7. 已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的
取值范围为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断 时， 在 上恒成立；若 在 上恒成立，转化为
在 上恒成立．
【详解】∵ ，即 ，
（1）当 时， ，
当 时， ，
故当 时， 在 上恒成立；
若 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
当 函数单增，当 函数单减，
故 ，所以 ．当 时， 在 上恒成立；综上可知， 的取值范围是 ，
故选C．
【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．
8. 已知函数 ， ，函数 ，若 为偶函数，则
的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由 为偶函数，推得 ，再由 ，求得 关于
对称，结合 ，推得 ，得到 是周期为4的周期函数，根据
，得到 ，进而求得 的值，得到答案.
【详解】因为函数 为偶函数，可 的图象关于 对称，所以 ，
由 ，可得 ，
即 ，所以函数 关于 对称，
又因为 ，所以 是定义在 上的偶函数，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以函数 是周期为4的周期函数，
所以 ，
则 .故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
的
9. 下列关于概率统计 知识，其中说法正确的是（ ）
A. 数据 ，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1
B. 已知随机变量 ，若 ， ，则
C. 若一组样本数据 （ ，2，…，n）的对应样本点都在直线 上，则这组样本数据
的相关系数为
D. 若事件M，N的概率满足 ， 且 ，则M与N相互独立
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据百分位数的定义计算判断A，由二项分布的数学期望与方差公式计算可判断B，根据相关系
数的定义可判断C, 根据相互独立事件及条件概率的概率公式计算可判断D.
【详解】对于选项A，8个数据从小到大排列，由于 ，
所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数 ，故A正确；
对于选项B，因为 ， ， ，
所以 ，解得 ，故B正确；
对于选项C，因为样本点都在直线 上，说明是负相关且线性相关性很强，
所以相关系数为 ，故C错误.
对于选项D，由 ，可得 ，即 ，即 ，所以M与N相互独立，故D正确；
故选：ABD.
10. 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（ ）
A. 平行四边形 B. 梯形
C. 有三条边相等的四边形 D. 有一组对角相等的四边形
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意作出相应的图形，结合抛物线的性质逐项分析判断.
【详解】对于选项A：作两条平行线与抛物线均相交，根据抛物线的性质可知：截得的弦长一定不相等，
所以所得的四边形不可能为平行四边形，故A错误；
对于选项C：任作一条直线垂直与抛物线的对称轴，交抛物线与 两点，则 ，
再以 圆心， 为半径作圆，该圆以抛物线必有一个异于坐标原点的交点 ，
此时可得 ，符合题意，故C正确；
对于选项B：任作两条直线垂直与抛物线的对称轴，分别与交抛物线交于 和 ，
此时 ，即 为梯形，故C正确；对于选项D：如图，以 为直径作圆，与抛物线交于 ，
此时 ，符合题意，故D正确；
故选：BCD.
.
11 设函数 ，则（ ）
A. 当 时，直线 是曲线 的切线
B. 若 有三个不同的零点 ，则
C. 存在 ，使得 为曲线 的对称轴
D. 当 时， 在 处的切线与函数 的图象有且仅有两个交点
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据曲线的切线、函数的零点、曲线的对称轴，直线和曲线的交点个数等知识对选项进行分析，
从而确定正确答案.
【详解】A选项，当 时， ，令 解得 ，且 ，
此时 在 处的切线方程为 ，即 ，正确.
B选项， ，
要使 有三个零点，则 ，
若 有三个不同的零点 ，
则
，
通过对比系数可得 ，正确.
C选项，若存在 ，使得 为曲线 的对称轴，
则 ，即 ，
即 ，
即 ，此方程不恒为零，
所以不存在符合题意的 ，使得 为曲线 的对称轴，错误.
D选项，当 时， ，
则 ，
所以 在 处的切线方程为 ，
，
由 ，消去 得 ①，
由于 ，
，
所以①可化为 ，
提公因式 得 ，
化简得 ，
进一步因式分解得 ，解得 ，
由于 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以当 时， 在 处的切线与函数y=f (x)的图象有且仅有两个交点，正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：D选项的解答涉及到切线与曲线交点的个数，利用联立方程组和因式分解的方法，
最终得出交点个数的结论，过程完整而严谨．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知 是等差数列 的前n项和，若 ， ，则 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】设 首项为 ，公差为d，后由等差数列求和公式可得答案.【详解】设 首项为 ，公差为d，由题，则 .
则 .
故答案为：
13. 已知函数 ，写出函数 的单调递减区间____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数判断函数的单调性即可.
【详解】 ， ，
令 ，即 ，解得 或 .
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增.
综上可知，函数 的单调递减区间为 .
故答案为： .
14. 掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于 3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，
（1）恰好得3分的概率为____________；（2）恰好得n分的概率为____________．（用与n有关的式子作答）
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】因为一次得2分，另一次得1分或三次的1分时恰好得3分，进而利用独立重复试验的概率可求
（1）；令 表示“恰好得n分”的概率，不出现 分的唯一情况是得到 分以后再掷出一次不小于3
的情况，则有 ，进而利用构造等比数列可求（2）.
【详解】（1）掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3的概率 ,
掷一个质地均匀的骰子，向上的点数小于3的概率 .
因为一次得2分，另一次得1分或三次得1分时恰好得3分，
所以恰好得3分的概率等于 .
（2）令 表示“恰好得n分”的概率，不出现 分的唯一情况是得到 分以后再掷出一次不小于3的
情况，
因为“不出现 分”的概率是 ，所以“恰好得到 分”的概率是 .
因为“掷一次得2分”的概率是 ，所以有 ，
即 ，则构造等比数列 ，
设 ，即 ，则 ， ，
所以 ，又 ， ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
即 ， .
故恰好得n分的概率为 .
故答案为：（1） ；（2） .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 的面积为 ，且满足 ,设 和 的夹角为 ，
（1）求 的取值范围；
（2）求函数 的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意由三角形面积公式可得 ，继而可得 或 ，结合
的范围即可求解；
（2）利用和差公式、降幂公式、倍角公式及辅助角公式化简可得 ，由（1）所求的
的范围可得 的范围，继而即可求得值域.
【
小问1详解】由题 ，
可得 ，
又 ，
所以 ，
得到 或 ，
因为 ，
所以 .
【小问2详解】
，
因为 ，故 ，
故可得 .
16. 如图，已知四棱锥 ， ，侧面 为正三角形，底面 是边长为 的菱形，
侧面 与底面 所成的二面角为 ．
（1）求四棱锥 的体积；
（2）求二面角 的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）作出四棱锥 的高，并计算出高的长度，进而计算出四棱锥 的体积.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角 的余弦值，进而计算出正弦值.
【小问1详解】
为
过点 作 垂直于平面 ，垂足 ，
连接 交 于 ，连接 ，
因为 平面 ，
，又 ，又 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ， ，
又 ，所以 为 得中点，
所以 ，
因为侧面 与底面 所成的二面角为 ，即有 ，
所以 ，因为侧面 为正三角形，
所以 ，则 ，
所以 .
【小问2详解】
在平面 内过点 作 的垂线 ，依题可得 两两垂直，
以 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
可得 ， ， ， ，
取 得中点为 ，则 ，
因为 ，所以 ，
由（1） 平面 ， ，
知 平面 ， 平面 ，
所以 ，可得 所成角即为二面角 的平面角，记为 ，
求得 ， ，则 ，则 .
17. 已知函数
（1）当 时，求曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线方程；
（2）若不等式 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义，根据导数求切线的斜率，再代入点斜式方程，即可求解；
（2）首先根据指对公式，变形不等式为elna+x−2+lna+x−2≥lnx+elnx，x>0，再构造函数
，结合函数的单调性，转化为不等式 恒成立，再利用参变分离，转化为函
数最值问题，即可求解.
【小问1详解】
当 时， ， ， ，
所求切线方程为： ，即 ；
【小问2详解】
转化为 ，可得elna+x−2+lna+x−2≥lnx+elnx，x>0，
构造函数 ，易得 在 单调递增，
所以有 ，由 在 单调递增，
故可得 ，即有 在 恒成立，
令 ， ，得到 ，
可得 时，ℎ ′(x)>0； 时， ，所以ℎ(x)在 时取最大值，
所以 ，得到 .
18. 已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，离心率为 ，且经过点
（1）求椭圆E的方程；
（2）求 的角平分线所在直线 的方程；
（3）在椭圆E上是否存在关于直线 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据椭圆经过的点的坐标以及离心率解方程组可求得椭圆E的方程；
（2）思路一：利用角平分线上的点的性质，由点到直线距离公式整理可得结论；
思路二：求得椭圆在点 处的切线方程，再由椭圆的光学性质可得平分线所在直线方程；
（3）思路一：假设存在关于直线 对称的相异的两点，联立直线与椭圆方程可得线段 中点
与点A重合，假设不成立；思路二：利用点差法求出 ，联立直线方程可得点 与点A重合，不合题意，可得结论.
【小问1详解】
椭圆E经过点 ，
可得 ，解得 ，
因此可得椭圆E的方程为 ；
【小问2详解】
由（1）可知， ，
思路一：
由题意可知 ， ，如下图所示：
设角平分线上任意一点为P(x,y)，则
得 或
又易知其斜率为正，
∴ 的角平分线所在直线为思路二：椭圆在点 处的切线方程为 ，
根据椭圆的光学性质， 的角平分线所在直线 的斜率为 ，
所以 的角平分线所在直线 ，
即
【小问3详解】
思路一：假设存在关于直线 对称的相异两点B(x ,y ),C(x ,y )，
1 1 2 2
设 ，
联立 可得 ，
∴线段 中点为 在 的角平分线上，
即 ，解得 ；
因此 与点A重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．
思路二：假设存在关于直线 对称的相异两点B(x ,y ),C(x ,y )，线段 中点 ，
1 1 2 2
由点差法可得 ，即 ；
∴ ，因此 ，
联立 可得 与点A重合，舍去，
故不存在满足题设条件 的相异的两点．
19. 设 使定义在区间 上的函数，其导函数为 .如果存在实数 和函数 ，其中
对任意的 都有 >0，使得 ，则称函数 具有性质 ．
（1）设函数 ，其中 为实数
① 求证：函数 具有性质 ；
② 讨论函数 的单调性；
（2）已知函数 具有性质 ，给定 设 为正实数， ，
，且 ，若 ，求 的取值范围．
【答案】（1）①证明见解析；②答案见解析
（2）
【解析】
1
【分析】(1)① 对
求导，可得ℎ(x)= >0恒成立，即可函数
具有性质 ；②设
x(x+1) 2
u(x)=x2−bx+1(x>1)，f′(x)与 符号相等，对 讨论，可知f′(x)符号，即可得出函数 的单调
区间；
(2)对 求导， ，分析可知 其在 恒成立，对
讨论，再根据 与 大关系进行讨论，验证是否满足条件，可求解 的取值范围.【小问1详解】
① ，
1
所以
，ℎ(x)= >0恒成立，则函数
具有性质 ；
x(x+1) 2
② 设u(x)=x2−bx+1(x>1)，
(i) 当 即 时， ， ，故此时 在区间 上递增；
(ii) 当 时
当 即 时， ， ，故此时 在区间 上递增；
当 即 时， ，
所以 时， ， ，此时 在 上递减；
时， ， ，此时 在 上递增.
综上所述，当 时， 在 上递增；
当 时， 在 上递减，在 上递增.
【小问2详解】
由题意， ，
又 对任意的 都有 ，
所以对任意的 都有 ， 在 上递增.
所以 ， ，因为
先考虑 的情况
即 ，得 ，
此时 ，
所以
所以 满足题意
当 时，
，
，
所以
所以 ，
则 ，不满足题意，舍去
综上所述，
