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河南省郑州外国语学校2024-2025学年高二下学期月考1
数学试题
一、单选题
1．如果函数 在 处的导数为1，那么 （ ）
A． B．1 C．2 D．
2．下列求导正确的（ ）
A． B．
C． D．
3．曲线 在点 处切线的斜率为 ，则 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．将2个相同的红球和2个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法
有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
5．函数 在 上不单调，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 恰有一个极值点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．7．已知函数 的定义域为R， ，若对任意 ，都有 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ， ，对 ， ，使得
成立.下列结论正确的是（ ）
A． ，使得
B．函数 的最大值为0
C．a的取值范围为
D．过 作 的切线，有且只有一条
9．函数 的导函数 的图象如图所示，给出下列选项正确的是（ ）
A． 是函数 的极大值点；
B． 是函数 的最小值点；
C． 在区间 上单调递增；
D． 在 处切线的斜率小于零．
二、多选题
10．若函数 在 上具有单调性，则函数 可以是（ ）A． B．
C． D．
11．已知函数 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数 的最大值是
B． 在 上单调递减
C．对任意两个正实数 ，且 ，若 ，则
D．若关于x的方程 有3个不等实数根，则m的取值范围是
三、填空题
12．若函数 在区间 上最大值为 ，最小值为 ，则实数 ．
13．乙巳蛇年，古城榆林燃动全国秧歌热潮，国内外共39支队伍汇聚榆林，舞动非遗年味.现有4名国际
友人，每人从俄罗斯、保加利亚、榆林市直教育系统的三支秧歌队中选择观看一支，则不同的观看方式有
.（用数字作答）
14．已知函数 .若 ， 恒成立，a的取值范围为 .
四、解答题
15．已知函数 .
(1)若 ，求 的单减区间；
(2)若函数 在区间 上存在减区间，求a的取值范围.
16．已知函数 在 处有极大值.
(1)求实数 的值；
(2)若函数 有三个不同的零点，求实数 的取值范围.
17．已知函数 .(1)当 时，求函数 的极值点；
(2)若对任意 ， 恒成立，求实数a的取值范围.
18．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时 恒成立，求实数b的最小值.
19．定义：如果函数 在定义域内，存在极大值 和极小值 ，且存在一个常数 ，使
成立，则称函数 为极值可差比函数，常数 称为该函数的极值差比系数.已知函数
.
(1)当 时，判断 是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在 使 的极值差比系数为 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由；
(3)若 ，求 的极值差比系数的取值范围.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C D C A D C BD
题号 11
答案 ACD
1．A
利用导数的定义求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ．
故选：A．
2．D
利用导数加法运算法则判断A；根据复合函数的导数判断B；根据导数除法运算法则判断C；根据导数乘
法运算法则判断D.
【详解】 ，A不正确；
，B不正确；
，C不正确；
，D正确.
故选：D.
3．B
借助导数的几何意义计算即可得.
【详解】 ，令 ，则 ，故 ，
当 时， ，即 的坐标为 .
故选：B.
4．C
先从球的个数分类，再求出每类放球的方法，结合分类加法计数原理可得答案.
【详解】若两个盒子中都放入2个球，则有3种不同的方法；若一个盒子中放1个球，另一个盒子中放3个球，则有4种不同的方法．
故不同的放法有7种．
故选：C
5．D
由 有解，结合三角函数的值域来求得正确答案.
【详解】 ，
因为函数 在 上不单调，
所以函数 有零点，
所以方程 有根，
所以函数 与 有交点（且交点非最值点），
因为函数 的值域为 ，
所以 .
故选：D
6．C
函数 恰有一个极值点，只需 有一个变号实数根，反解参数，研究其单调性，
得出 的取值范围.
【详解】 ，
，
因为函数 恰有一个极值点，
所以 有一个变号实数根，即 有一个变号的根，
即 与 一个交点，且在该交点前后两函数的大小关系发生变化，
令 ，
则 ，
令 ，函数单调递增，解得： ，
令 ，函数单调递减，解得： ，
则 ，
有一根，即 ，
当 ， 时都有
当 时， ，
所以 .
综上所述， 的取值范围是
故选：C
7．A
根据给定条件，构造函数 ，利用导数确定单调性并求解不等式.
【详解】令函数 ，由 ，得 ，
又 ，求导得 ，
函数 在R上单调递增，不等式 ，
解得 ，所以不等式 的解集为 .
故选：A8．D
利用单调性说明 的解判断A，由导数求最值判断B，由 ，使得 求解判
断C，设切点坐标为 ，代入所过点坐标求 ，引入新函数，由导数确定方程只有一个解 ，从而判
断D．
【详解】对于A， ，
因为 在 上单调递增， 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
又 ，
所以当 时， ，故A错误;
对于B，由A的分析可知，当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得最小值： ，无最大值，故B错误;
对于C，由前面分析知 ，
由题可知： ，使得
对于函数 ， ，
当 时， ，
故无论a取什么值，均 ，使得 ，
则a的取值范围为R，故C错误;对于D，不妨设切点为 ， ，
切线方程为 ，
把 代入可得： ，
即：
令 ， ，
，
因为 对 恒成立，
所以当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，
所以 只有一个零点0，
即只有 时， 成立，
故过 作 的切线，有且只有一条，故D正确.
故选：D.
9．C
【详解】解：由函数 的导函数 的图象可知，A． 左侧的导数小于0，而右侧的导数大于0，所以 是函数 的极小值点，故 错误，不符合
题意；
B． 左侧的导数大于0，右侧的导数大于0， 不是函数 的最小值点，故B错误，不符合题意；
C．当 时， ， 单调递增，故C正确，符合题意；
D．由图象得 ，所以 在 处切线的斜率大于零，故D错误，不符合题意；
故选：C．
10．BD
由题意可得 或 在 上恒成立，逐个选项计算并判断即可得.
【详解】 ，
若函数 在 上具有单调性，由 恒成立，
则 或 在 上恒成立，
对A： ，不满足题意，故A错误；
对B： 恒成立，故B正确；
对C： ，
由 ，
，不符，故C错误；
对D： ，
由 ，故 恒成立，故D正确.
故选：BD.11．ACD
直接求导得出函数单调性，继而可得函数最值情况判断AB；利用函数值相等，结合极值点偏移构造函数
判断C；结合函数图象，数形结合将 的范围转换成复合型二次函数的值域求解判断D.
【详解】对于AB，函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，函数 在 上单调递增，
在 上单调递减， ，A正确，B错误；
对于C，依题意， ， ，则 ，
不等式 ，令
，令 ，
求导得 ，
而当 时， ，
于是 ，函数 在 上单调递增， ，即 ，
因此 ，又 在 上单调递减，则 ，C正确；
对于D，令 ，若关于 的方程 有3个不等实数根，
则关于 的方程 有两个不相等的实数根 ， ，
解得 或 ，且 ，则 或 ，
当 时， ，解得 ，与 矛盾；当 时， ， ，整理得 ，
则 的取值范围是 ，因此 的取值范围是 ，D正确.
故选：ACD
12．
求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，即可求出函数的极小值，再求出区间端点处的函数值，即
可求出函数的最值，即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，所以当 时 ， 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数在 处取得极小值，
又 ， ， ，
因为 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
则 .
故答案为：
13．81
利用分步乘法计数原理计算即可.
【详解】4名国际友人，每人有三种选择，所以 种.
故答案为：81.14．
由已知可得 ，构造函数结合单调性建立不等式，再构造函数，利用导数求出最大值即
可.
【详解】不等式 ，
令 ， 在R上单调递增，则 ，
于是 ，即 ，令函数 ，求导得 ，
当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，则 ，
则 的取值范围为 .
故答案为：
15．(1) ；
(2) .
（1）把 代入，利用导数求出单调递减区间.
（2）求出函数 的导数 ，再将问题转化为 在 上有解即可.
【详解】（1）当 时， 的定义域为 ，
求导得 ，由 ，得 ，
所以 的单减区间为 .
（2）函数 ，求导得 ，
由函数 在 上存在减区间，得 ，使得 成立，即 ，使得 成立，函数 在 上单调递增，
，则 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
16．(1)
(2)
（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案；
（2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化
为函数交点问题，可得答案.
【详解】（1）由函数 ，求导可得 ，
由函数 在 处取极大值，则 ，解得 或 ，
当 时，可得 ，
易知当 时， ；当 时， ，
则此时函数 在 处取得极小值，不符合题意，舍去；
当 时，可得 ，
易知当 时， ；当 时， ，
则此时函数 在 处取得极大值，符合题意.
综上所述， .
（2）由（1）可得函数 ，求导可得 ，
令 ，解得 或 ，可得下表：单调递 极大 单调递 极小 单调递
增 值 减 值 增
所以函数 的极大值为 ，极小值为 ，
函数 存在三个零点，等价于函数 图象与直线 存在三个交点，
如下图：
由图可得 ，则 .
17．(1) 是函数 的极小值点；
(2) .
（1）利用导数求出函数的极值点.
（2）分离参数并构造 ，再利用导数求出最大值即可.
【详解】（1）当 时，函数 的定义域为 ，求导得 ，
由 ，得 ，当 时， ；当 时， ，
所以 是函数 的极小值点.
（2）当 时，不等式 ，
设 ，依题意， ， ，
求导得 ，由 ，得 ；由 ，得 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，则 ，所以实数 的取值范围是 .
18．(1)答案见解析；
(2) .
（1）求出导数，再按 分类求出函数的单调区间.
（2）由（1）的信息，求出函数 的最大值，再由已知建立恒成立的不等式并分离参数，构造函数并利
用导数求出最大值即可.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 时，由 ，得 ；由 ，得 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，由 ，得 或 ；由 ，得 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 恒成立，函数 在 上单调递增；
当 时，由 ，得 或 ；由 ，得 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时，函数 的递增区间为 ，递减区间为 ；
当 时，函数 的递增区间为 ，递减区间为 ；
当 时，函数 的递增区间为 ；
当 时，函数 的递增区间为 ，递减区间为 .
（2）由（1）知当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，依题意， ，即 恒成立，
令函数 ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，函数 在 上递增，在 上递减，
即 ，因此 ，
所以 最小值为 .
19．(1)是，理由见解析
(2)不存在，理由见解析
(3)
（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出
极值差比系数 的值，这样的值存在即可判断.
（2）反证法，假设存在这样的 ，由“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可.
（3）由（2）得到参数 与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性，
即可得出函数取值范围.
【详解】（1）当 时， （ ），
则
当 时， ，当 ， ，
所以 在 和 上严格递增，在 上严格递减，
所以 的极大值为 ，极小值为 ，
所以 ，所以 是极值差比函数.（2） 的定义域为 ， ，
假设存在 使 的极值差比系数为 ，
则 ， 是方程 的两个不相等的正实数根，
则 ，解得 ，不妨设 ，则 ，
因为
，
所以 ，从而 ，得 （*）
令 （ ）， ，
所以 在 上是严格增函数，所以 ，
因此（*）无解，所以不存在 使 的极值差比系数为 ；
（3）由（2）知极值差比系数为 ，即 ，
不妨设 ，令 ， ，极值差比系数可化为 ，
，又 ，解得 ，令 （ ）， ，
设 （ ）， ，
所以 在 上单调递减，当 时， ，
从而 ，所以 在 上单调递增，所以 ，
即 ，
