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2006 年山西高考文科数学真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知向量 、 满足| |=1，| |=4，且 • =2，则 与 夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（ ）
A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R
3．（5分）已知函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（ ）
A．f（2x）=e2x（x∈R） B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）
C．f（2x）=2ex（x∈R） D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）
4．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（ ）
A． B．﹣4 C．4 D．
5．（5分）设S 是等差数列{a}的前n项和，若S=35，则a=（ ）
n n 7 4
A．8 B．7 C．6 D．5
6．（5分）函数 的单调增区间为（ ）
A． B．（kπ，（k+1）π），k∈Z
C． D．
7．（5分）从圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角
的余弦值为（ ）
A． B． C． D．0
8．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且
c=2a，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积
是（ ）
A．16π B．20π C．24π D．32π
第1页 | 共16页10．（5分）在 的展开式中，x4的系数为（ ）
A．﹣120 B．120 C．﹣15 D．15
11．（5分）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．3
12．（5分）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允
许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ）
A． B． C． D．20cm2
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）已知函数f（x）=a﹣ ，若f（x）为奇函数，则a= ．
14．（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为 ，则侧面与底面所成的二面
角等于 °．
15．（4分）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件： ，则z的最大值为
．
16．（4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二
人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有 种（用数字作答）．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知{a}为等比数列， ，求{a}的通项公式．
n n
18．（12分）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时， 取得最大值，
并求出这个最大值．
19．（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组
由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，
服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服
第2页 | 共16页用A有效的概率为 ，服用B有效的概率为 ．
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；
（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学
期望．
20．（12分）如图，l 、l 是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l
1 2 1
上，C在l 上，AM=MB=MN．
2
（Ⅰ）证明AC⊥NB；
（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．
21．（12分）设P是椭圆 =1（a＞1）短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|
PQ|的最大值．
22．（14分）设a为实数，函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x在（﹣∞，0）和（1，+∞）
都是增函数，求a的取值范围．
2006年山西高考文科数学真题参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知向量 、 满足| |=1，| |=4，且 • =2，则 与 夹
角为（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，用数量积列
出等式，变化出夹角的余弦表示式，代入给出的数值，求出余弦值，注意向量夹角的范围
求出适合的角．
【解答】解：∵向量a、b满足 ，且 ，
第3页 | 共16页设 与 的夹角为θ，
则cosθ= = ，
∵θ∈【0π】，
∴θ= ，
故选C．
2．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（ ）
A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R
【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集．
【解答】解：集合 M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，
∴M∩N=M，
故选：B．
3．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x
对称，则（ ）
A．f（2x）=e2x（x∈R） B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）
C．f（2x）=2ex（x∈R） D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）
【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关
知识和方法．
根据函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f（x）是y=ex的反函数，
由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）．
【解答】解：函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，
所以f（x）是y=ex的反函数，即f（x）=lnx，
∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），
选D．
4．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（ ）
A． B．﹣4 C．4 D．
【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出
第4页 | 共16页m的值．
【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，
∴m＜0，且双曲线方程为 ，
∴m= ，
故选：A．
5．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设S 是等差数列{a}的前n项和，若S=35，则a=（ ）
n n 7 4
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】充分运用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．
【解答】解：S 是等差数列{a}的前n项和，若S= ×7=7a=35，
n n 7 4
∴a=5，
4
故选D．
6．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）函数 的单调增区间为（ ）
A． B．（kπ，（k+1）π），k∈Z
C． D．
【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+ 的范围i，进而求得x的范围．
【解答】解：函数 的单调增区间满足 ，
∴单调增区间为 ，
故选C
7．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）从圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条
切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．0
【分析】先求圆心到P的距离，再求两切线夹角一半的三角函数值，然后求出结果．
第5页 | 共16页【解答】解：圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0的圆心为M（1，1），半径为1，从外一点P（3，2）
向这个圆作两条切线，
则点P到圆心M的距离等于 ，每条切线与PM的夹角的正切值等于 ，
所以两切线夹角的正切值为 ，该角的余弦值等于 ，
故选B．
8．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c
成等比数列，且c=2a，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据等比数列的性质，可得b= a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答
案．
【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，
由c=2a，则b= a，
= ，
故选B．
9．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为
16，则这个球的表面积是（ ）
A．16π B．20π C．24π D．32π
【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．
【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，
正四棱柱的对角线长即球的直径为2 ，
∴球的半径为 ，球的表面积是24π，
故选C．
10．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）在 的展开式中，x4的系数为（ ）
第6页 | 共16页A．﹣120 B．120 C．﹣15 D．15
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求出x4的系数
【解答】解：在 的展开式中
x4项是 =﹣15x4，
故选项为C．
11．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是
（ ）
A． B． C． D．3
【分析】设抛物线 y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线 4x+3y﹣8=0 的距离为
，由此能够得到所求距离的最小值．
【解答】解：设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），
该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为 ，
分析可得，当m= 时，取得最小值为 ，
故选B．
12．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒
围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ）
A． B． C． D．20cm2
【分析】设三角形的三边分别为 a，b，c，令 p= ，则 p=10．海伦公式 S=
≤ = 故排除 C，
D，由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面
第7页 | 共16页积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，进而得到答案．
【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，
令p= ，则p=10．由海伦公式S=
知S=
≤ = ＜20＜3
由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，
∴S＜20＜ ．
3
排除C，D．
由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最
大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，
此三角形面积最大，面积为 ，
故选B．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数f（x）=a﹣ ，若f（x）为奇函数，则a=
．
【分析】因为f（x）为奇函数，而在x=0时，f（x）有意义，利用f（0）=0建立方程，求
出参数a的值．
【解答】解：函数 ．若f（x）为奇函数，
则f（0）=0，
即 ，a= ．
故答案为
14．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为 ，则侧面
第8页 | 共16页与底面所成的二面角等于 6 0 °．
【分析】先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，
求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可．
【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为 ，底面边长为2 ，底面积为
12，
所以正四棱锥的高为3，
则侧面与底面所成的二面角的正切tanα= ，
∴二面角等于60°，
故答案为60°
15．（4 分）（2006•全国卷Ⅰ）设 z=2y﹣x，式中变量 x、y 满足下列条件：
，则z的最大值为 1 1 ．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y﹣x表示直线在y轴
上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
【解答】解： ，在坐标系中画出图象，
三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），
在△ABC中满足z=2y﹣x的最大值是点C，代入得最大值等于11．
第9页 | 共16页故填：11．
16．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班
一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有 240 0 种（用
数字作答）．
【分析】本题是一个分步计数问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A2种排法，
5
其余5人再进行排列，有A5种排法，根据分步计数原理得到结果．
5
【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A2=20种排法，
5
其余5人再进行排列，有A5=120种排法，
5
∴根据分步计数原理知共有20×120=2400种安排方法．
故答案为：2400
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）已知{a}为等比数列， ，求{a}的
n n
通项公式．
【分析】首先设出等比数列的公比为 q，表示出a ，a ，利用两者之和为 ，求出公比q
2 4
的两个值，利用其两个值分别求出对应的首项a，最后利用等比数列的通项公式得到即可．
1
【解答】解：设等比数列{a}的公比为q，则q≠0，a= = ，a=aq=2q
n 2 4 3
所以 +2q= ，
第10页 | 共16页解得q= ，q=3，
1 2
当q= ，a=18．
1 1
所以a=18×（ ）n﹣1= =2×33﹣n．
n
当q=3时，a= ，
1
所以a= ×3n﹣1=2×3n﹣3．
n
18．（12 分）（2006•全国卷Ⅰ）ABC 的三个内角为 A、B、C，求当 A 为何值时，
取得最大值，并求出这个最大值．
【分析】利用三角形中内角和为π，将三角函数变成只含角A，再利用三角函数的二倍角
公式将函数化为只含角 ，利用二次函数的最值求出最大值
【解答】解：由A+B+C=π，得 = ﹣ ，
所以有cos =sin ．
cosA+2cos =cosA+2sin =1﹣2sin2 +2sin
=﹣2（sin ﹣ ）2+
当sin = ，即A= 时，cosA+2cos 取得最大值为
故最大值为
19．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对
比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．
若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类
第11页 | 共16页组．设每只小白鼠服用A有效的概率为 ，服用B有效的概率为 ．
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；
（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学
期望．
【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概
率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的
概率．
（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重
复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．
【解答】解：（1）设A 表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，
i
2，
B 表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
i
依题意有：P（A）=2× × = ，P（A）= × = ．P（B）= × = ，
1 2 0
P（B）=2× × = ，所求概率为：
1
P=P（B•A）+P（B•A）+P（B•A）
0 1 0 2 1 2
= × + × + × =
（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3， ）．
P（ξ=0）=（ ）3= ，
P（ξ=1）=C1× ×（ ）2= ，
3
P（ξ=2）=C2×（ ）2× = ，
3
P（ξ=3）=（ ）3=
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
第12页 | 共16页∴数学期望Eξ=3× = ．
20．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）如图，l 、l 是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂
1 2
线段．点A、B在l 上，C在l 上，AM=MB=MN．
1 2
（Ⅰ）证明AC⊥NB；
（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．
【分析】（1）欲证 AC⊥NB，可先证 BN⊥面 ACN，根据线面垂直的判定定理只需证
AN⊥BN，CN⊥BN即可；
（2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面
ABC所成的角，在Rt△NHB中求出此角即可．
【解答】解：（Ⅰ）由已知l⊥MN，l⊥l，MN∩l=M，可得l⊥平面ABN．
2 2 1 1 2
由已知MN⊥l，AM=MB=MN，
1
可知AN=NB且AN⊥NB．
又AN为AC在平面ABN内的射影．
∴AC⊥NB
（Ⅱ）∵AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，
由中垂线的性质可得AN=BN，
∴Rt△CAN≌Rt△CNB，
∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，
因此△ABC为正三角形．
∵Rt△ANB≌Rt△CNB，
∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，
连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角．
在Rt△NHB中，cos∠NBH= = = ．
第13页 | 共16页21．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）设P是椭圆 =1（a＞1）短轴的一个端点，Q为椭
圆上一个动点，求|PQ|的最大值．
【分析】依题意可知|PQ|= ，因为Q在椭圆上，所以x2=a2（1﹣y2），|PQ|
2=a2（1﹣y2）+y2﹣2y+1=（1﹣a2）y2﹣2y+1+a2
=（1﹣a2）（y﹣ ）2﹣ +1+a2．由此分类讨论进行求解．
【解答】解：由已知得到P（0，1）或P（0，﹣1）
由于对称性，不妨取P（0，1）
设Q（x，y）是椭圆上的任一点，
则|PQ|= ，①
又因为Q在椭圆上，
所以，x2=a2（1﹣y2），
|PQ|2=a2（1﹣y2）+y2﹣2y+1=（1﹣a2）y2﹣2y+1+a2
=（1﹣a2）（y﹣ ）2﹣ +1+a2．②
因为|y|≤1，a＞1，若a≥ ，则| |≤1，
所以如果它包括对称轴的x的取值，那么就是顶点上取得最大值，
即当﹣1≤ ＜0时，
第14页 | 共16页在y= 时，|PQ|取最大值 ；
如果对称轴不在y的取值范围内的话，那么根据图象给出的单调性来求解．
即当 ＜﹣1时，则当y=﹣1时，|PQ|取最大值2．
22．（14分）（2006•全国卷Ⅰ）设a为实数，函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x在（﹣∞，
0）和（1，+∞）都是增函数，求a的取值范围．
【分析】先对函数f（x）进行求导得到一个二次函数，根据二次函数的图象和性质令
f'（x）≥0在（﹣∞，0）和（1，+∞）成立，解出a的值．
【解答】解：f'（x）=3x2﹣2ax+（a2﹣1），其判别式△=4a2﹣12a2+12=12﹣8a2．
（ⅰ）若△=12﹣8a2=0，即a=± ，当x∈（﹣∞， ），或x∈（ ，+∞）时，
f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）为增函数．
所以a=± ．
（ⅱ）若△=12﹣8a2＜0，恒有f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）为增函数，
所以a2＞ ，
即a∈（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）
（ⅲ）若△12﹣8a2＞0，即﹣ ＜a＜ ，
令f'（x）=0，
解得x= ，x= ．
1 2
当x∈（﹣∞，x），或x∈（x，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
1 2
当x∈（x，x）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数．依题意x≥0且x≤1．
1 2 1 2
由x≥0得a≥ ，解得1≤a＜
1
由x≤1得 ≤3﹣a，解得﹣ ＜a＜ ，从而a∈[1， ）
2
第15页 | 共16页综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞）∪[1， ），
即a∈（﹣∞，﹣ ]∪[1，+∞）．
第16页 | 共16页
