2006年重庆高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·word_重庆

2006 年重庆高考文科数学真题及答案 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮檫擦干净后，在选涂其他答案标号。 3．答非选择题时，必须用0.5mm黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式： 如果事件 互斥，那么 A、B P(AB) P(A)P(B) 如果事件 相互独立，那么 A、B P(AB) P(A)P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是 p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率： P (k)Ckpk(1 p)nk n n 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中， 只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合 ， ， ，则 U {1,2,3,4,5,6,7} A{2,4,5,7} B {3,4,5} (痧A)( B) U U （A） （B） （C） （D） {1,6} {4,5} {2,3,4,5,7} {1,2,3,6,7} （2）在等差数列a 中，若 a 0 且 a a 64 ， a 的值为 n n 3 7 5 （A）2 （B）4 （C）6 （D）8 （3）以点（2，－1）为圆心且与直线 相切的圆的方程为 3x4y50 （A） （B） (x2)2 (y1)2 3 (x2)2 (y1)2 3 （C） （D） (x2)2 (y1)2 9 (x2)2 (y1)2 3 （4）若P是平面外一点，则下列命题正确的是 （A）过P只能作一条直线与平面相交 （B）过P可作无数条直线与平面垂直 （C）过P只能作一条直线与平面平行 （D）过P可作无数条直线与平面平行 （5）2x35的展开式中 x2 的系数为 （A）－2160 （B）－1080 （C）1080 （D）2160 1 （6）设函数 y  f(x)的反函数为 y  f 1(x)，且 y  f(2x1)的图像过点( ,1)，则 2 的图像必过 y  f 1(x) 第1页 | 共10页1 1 （A）( ,1) （B）(1, ) （C）(1,0) （D）(0,1) 2 2 （7）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家。 为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为 20的样本。若采用分层抽样的方法， 抽取的中型商店数是 （A）2 （B）3 （C）5 （D）13 (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) （8）已知三点 A(2,3),B(1,1),C(6,k)，其中k为常数。若 AB  AC ，则 AB 与 AC 的夹角为 24  24 （A）arccos( ) （B） 或arccos 25 2 25 24  24 （C）arccos （D） 或arccos 25 2 25 （9）高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演 出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 （A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040 （10）若  ，  3 ,  1 ，则 的值等于 ,(0, ) cos( ) sin( ) cos() 2 2 2 2 2 （A） 3 （B） 1 （C）1 （D） 3   2 2 2 2 （11）设 9 是右焦点为 的椭圆 x2 y2 上三个不同的点， A(x ,y ),B(4, ),C(x ,y ) F  1 1 1 5 2 2 25 9 则“ 成等差数列”是“ ”的 AF , BF , CF x x 8 1 2 （A）充要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分不必要条件 （D）既非充分也非必要 （12）若 且 ，则 的最小值是 a,b,c0 a2 2ab2ac4bc12 abc （A） （B）3 （C）2 （D） 2 3 3 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共24分。把答案填写在答题卡相应位置上。 （13）已知 2 5 ， ，则 。 sin  tan 5 2 （14）在数列 中，若 ， ，则该数列的通项 。 {a } a 1 a a 2(n1) a  n 1 n1 n n （15）设 ，函数 有最小值，则不等式 a 0,a 1 f(x)log (x2 2x3) log (x1)0 a a 的解集为 。 第2页 | 共10页x2y30  （16）已知变量x，y满足约束条件 x3y30。若目标函数z ax y（其中a0  y10  ）仅在点 处取得最大值，则 的取值范围为 。 (3,0) a 三．解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分13分） 甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打 1 1 1 给甲、乙、丙的概率依次为 、 、 。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互 6 3 2 独立。求： （Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率； （Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率； （18）（本小题满分13分） 设函数 （其中 ）。且 的图像在 f(x) 3cos2xsinxcosxa 0,aR f(x)  y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是 。 6 （Ⅰ）求的值；  5 （Ⅱ）如果 f(x)在区间[ , ]上的最小值为 3，求a的值； 3 6 （19）（本小题满分12分） 设函数 的图像与直线 相切于点 。 f(x) x33ax2 3bx 12x y10 (1,11) （Ⅰ）求 的值； a,b （Ⅱ）讨论函数 的单调性。 f(x) （20）（本小题满分12分） 如 图 ， 在 增 四 棱 柱 中 ， ABCDABC D 1 1 1 1 ， 为 上 使 的 AB 1,BB  31 E BB BE 1 1 1 1 点。平面 交 于 ，交 的延长线于 AEC DD F AD 1 1 1 1 G ，求： （Ⅰ）异面直线 与 所成角的大小； AD CG 1 （Ⅱ）二面角 的正切值； ACGA 1 1 （21）（本小题满分12分） 第3页 | 共10页已知定义域为 的函数 2x b 是奇函数。 R f(x) 2x1a （Ⅰ）求 的值； a,b （Ⅱ）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围； tR f(t2 2t) f(2t2 k)0 k （22）（本小题满分12分） 如图，对每个正整数 ， 是抛物线 上的 n A (x ,y ) x2 4y n n n 点，过焦点 的直线 角抛物线于另一点 。 F FA B (s ,t ) n n n n （Ⅰ）试证： ； x s 4(n1) n n （Ⅱ）取 ，并记 为抛物线上分别以 与 为切 x 2n C A B n n n n 点 的 两 条 切 线 的 交 点 。 试 证 ： FC  FC  FC 2n 2n11 ； 1 2 n 2006年重庆高考文科数学真题参考答案 一．选择题 1.D 2.D 3.C 4.D 5.B 6.C 7.C 8.D 9.B 10.B 11.A 12.A 二．填空题 1 (13) -2 (14) 2n – 1 (15)（2，） （16）a 2 三．解答题 （17）（本小题满分13分）甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机， 1 1 1 设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为 、 、 。若在一段时 6 3 2 间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求： （Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率； （Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率； 解：（Ⅰ）由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式， 1 1 1 1 所求概率为： p( )3( )3( )3  . 6 3 2 6 1 （Ⅱ）这是n=3，p= 的独立重复试验，故所求概率为： 6 1 5 5 P(2)C2( )2( ) . 3 3 6 6 72 （18）（本小题满分13分）设函数 f(x) 3cos2xsinxcosxa 第4页 | 共10页 （其中0,aR）。且 f(x)的图像在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是 。 6 （Ⅰ）求的值；  5 （Ⅱ）如果 f(x)在区间[ , ]上的最小值为 3，求a的值； 3 6 解：（I） 3 1 3  3 f(x) cos2x sin2x sin(2x ) a 2 2 2 3 2    1 依题意得 2    ． 6 3 2 2 （II）由（I）知，  3 ．又当  5 时， f(x)sin(x )  x[ , ] 3 2 3 6  7 ，故 1  ，从而 在区间 π 5π x [0, ]  sin(x )1 f(x)  ，   3 6 2 3  3 6  上的最小值为 1 3 ，故 31 3   a a . 2 2 2 （19）（本小题满分12分） 设函数 的图像与直线 相切于点 。 f(x) x33ax2 3bx 12x y10 (1,11) （Ⅰ）求 的值； a,b （Ⅱ）讨论函数 的单调性。 f(x) 解：（Ⅰ）求导得 。 f '(x)3x2 6ax3b 由于 的图像与直线 相切于点 ， f(x) 12x y10 (1,11) 所以 ，即： f(1)11, f '(1)12 1-3a+3b = -11 解得: ． a 1,b3 3-6a+3b=-12 （ Ⅱ ） 由 得 ： a 1,b3 f '(x)3x2 6ax3b3(x2 2x3)3(x1)(x3) 令f′（x）＞0，解得 x＜-1或x＞3；又令f′（x）< 0，解得 -1＜x＜3. 故当x（, -1）时，f(x)是增函数，当 x（3,）时，f(x)也是 增函数， 但当x（-1 ，3）时，f(x)是减函数. 第5页 | 共10页（20）（本小题满分12分） 如图，在正四棱柱 中， ABCDABC D 1 1 1 1 ， 为 上使 的点。 AB 1,BB  31 E BB BE 1 1 1 1 平面 交 于 ，交 的延长线于 ，求： AEC DD F AD G 1 1 1 1 （Ⅰ）异面直线 与 所成角的大小； AD CG 1 （Ⅱ）二面角 的正切值； ACGA 1 1 解法一：（Ⅰ）由 为异面直线 与 所成角．（如图1） AD//DG知CGD AD CG 1 1 1 1 连接 ．因为ＡＥ和 分别是平行平面 ， C F C F ABB A和CC DD与平面AECG的交线 1 1 1 1 1 1 1 所以AE// ,由此得 C F DF  BF  3.再由FDG FDA DG  3. 1 1 1 1  在RtC DG中, 由CD=1得CGD  1 1 1 1 1 1 6 （Ⅱ）作 于H,由三垂线定理知 DH CG 1 1 FH CG,故DHF为二面角F-CG-D 1 1 1 1 即二面角 的平面角. ACGA 1 1  3 . 在RtHDG中, 由DG= 3,HGD  得DH  1 1 1 6 1 2 DF 3 从而tanDHF  1  2. 1 DH 3 1 2 解法二：（Ⅰ）由 为异面直线 与 所成角．（如图2） AD//DG知CGD AD CG 1 1 1 1 因为 和AF是平行平面 ， EC BBCC与平面AADD与平面AECG的交线 1 1 1 1 1 1  所以EC // AF ,由此得AGA EC B  , AG  AA  31 DG  3. 1 1 1 1 4 1 1 1  在RtC DG中, 由CD=1得CGD  1 1 1 1 1 1 6 第6页 | 共10页  （Ⅱ）在ACG中, 由CAG= , AGC= 知ACG为钝角。 1 1 1 1 4 1 1 6 1 1 作 的延长线于H,连接AH，由三垂线定理知 AH GC交GC 1 1 1 的平面角. GH  AH,故AHA为二面角A-CG-A 1 1 1  31. 在RtAHG中, 由AG= 31,HGA  得AH  1 1 1 6 1 2 AA 31 从而tanAHA 1  2. 1 AH 31 1 2 解法三：（Ⅰ）以 为原点，AB AD ，AA所在直线分别为x、y、z轴建立如图3所 A 1 1， 1 1 1 1 示的空间直角坐标系，于是， A(0,0, 31),C (1,1,0),D(0,1, 31),E(1,0,1), 1 (cid:3) (cid:3) 因为 和AF是平行平面 AD (0,1,0),EC (0,1,1). EC 1 1 ，所以 ．设Ｇ（0,y,0）,则 BBCC和AADD与平面AECG的交线 EC // AF 1 1 1 1 1 1 (cid:3) (cid:3) (cid:3) 1 1 ,于是 . AG (0,y,1 3).由EC // AG  y  31 1 y 1 3 (cid:3) 故 .设异面直线 与 所成的角 G(0,1 3,0),CG (1, 3,0) AD CG 1 1 的大小为,则: (cid:3) (cid:3) ADCG 3  cos (cid:3) 1(cid:3)  ,从而  . AD  CG 2 6 1 （ Ⅱ ） 作 H, 由 三 垂 线 定 理 知 AH CG 1 1 的平面角. 设 H（a,b,0）, GH  AH,故AHA为二面角A-CG-A 1 1 1 (cid:3) (cid:3) 则: .由 得: AH (a,b,0),C H (a1,b1,0) AH CG 1 1 1 1 (cid:3) (cid:3) ……① C H CG 0,由此得a- 3b=0. 1 1 (cid:3) (cid:3) a1 b1 又由 ,于是 H,C ,G共线得C H //CG,  1 1 1 1 3 第7页 | 共10页……② 3ab( 31)0. 联立①②得: 33 31 33 31 , a ,b .故H( , ) 4 4 4 4 由 (cid:3) 3 3 1 3 1 3 (cid:3) 得: AH  ( )2 ( )2  , AA 1 3 1 4 4 2 1 AA 31 tanAHA 1  2. 1 AH 31 1 2 （21）（本小题满分12分） 已知定义域为 的函数 2x b 是奇函数。 R f(x) 2x1a （Ⅰ）求 的值； a,b （Ⅱ）若对任意的 ，不等式 恒成立， tR f(t2 2t) f(2t2 k)0 求k的取值范围； 解：（Ⅰ）因为 是奇函数，所以 =0，即 b1 12x f(x) f(x) 0b1 f(x) a2 a2x1 1 1 又由f（1）= -f（-1）知12 2  a2. a4 a1 （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知 12x 1 1 ，易知 在 f(x)   f(x) (,) 22x1 2 2x 1 上 为 减 函 数 。 又 因 是 奇 函 数 ， 从 而 不 等 式 ： f(x) f(t2 2t) f(2t2 k)0 等价于 ，因 为减函数，由上式推 f(t2 2t)f(2t2 k) f(k2t2) f(x) 得： ．即对一切 有： ， t2 2t k2t2 tR 3t2 2tk 0 1 从而判别式412k 0k  . 3 第8页 | 共10页解法二：由（Ⅰ）知 12x ．又由题设条件得： f(x) 22x1 12t22t 122t2k ，  0 22t22t1 222t2k1 即 ： (22t2k12)(12t22t)(2t22t12)(122t2k)0 ， 整理得 23t22tk 1,因底数2>1, 故: 3t2 2tk 0 1 上式对一切tR均成立，从而判别式412k 0k  . 3 （22）（本小题满分12分） 如图，对每个正整数 ， 是抛物线 上的点， n A (x ,y ) x2 4y n n n 过焦点 的直线 交抛物线于另一点 。 F FA B (s ,t ) n n n n （Ⅰ）试证： ； x s 4(n1) n n （Ⅱ）取 ，并记 为抛物线上分别以 与 为切点的两条切线的交点。 x 2n C A B n n n n 试 证 ： FC  FC  FC 2n 2n11 ； 1 2 n 证明：（Ⅰ）对任意固定的 因为焦点F（0,1）,所以可设直线 的方程为 n1, A B n n 将它与抛物线方程 联立得: y1k x, x2 4y n ,由一元二次方程根与系数的关系得 ． x2 4k x40 x s 4(n1) n n n 第9页 | 共10页（Ⅱ）对任意固定的 利用导数知识易得抛物线 在 处 n1, x2 4y A n x 的切线的斜率k  n ,故x2 4y在A 处的切线的方程为： A n 2 n x y y  n (xx )，……① n 2 n 类似地，可求得 在 处的切线的方程为： x2 4y B n s yt  n (xs )，……② n 2 n 由②－①得： x s x2 s2 x2 s2 ， y t  n n x n n  n  n n n 2 2 4 4 x s x2 s2 x s ……③ n n x n n ,x n n 2 4 2 x s 将③代入①并注意x s 4得交点C 的坐标为( n n ,1)． n n n 2 由两点间的距离公式得： x s x2 s2 FC 2 ( n n)2 4 n  n 2 n 2 4 4 x2 4 x 2 x 2  n  2( n  )2, FC  n  ． 4 x2 2 x n 2 x n n n 现在 ，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得： x 2n n 1 1 1 1 FC  FC  FC  (x  x  x )2(   ) 1 2 n 2 1 2 n x x x 1 2 n 1 1 1 1  (222 2n)2(   )(2n 1)(221n)2n 2n11. 2 2 22 2n 第10页 | 共10页