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2004 年山西高考文科数学真题及答案
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.
第I卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B） S=4
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径，
球的体积公式
P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V= ，
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
其中R表示球的半径
P(k)=C Pk(1－P)n－k
n
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 .
王新奎新疆屯敞
1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（ B）= （ ）
A．{2} B．{2，3} C．{3} D． {1，3}
2．已知函数 （ ）
A． B．－ C．2 D．－2
3．已知 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么| |= （ ）
A． B． C． D．4
4．函数 的反函数是 （ ）
A． B．
C． D．
5． 的展开式中常数项是 （ ）
A．14 B．－14 C．42 D．－42
6．设 若 则 = （ ）
A． B． C． D．4
7．椭圆 的两个焦点为F、F，过F 作垂直于 轴的直线与椭圆相交，一个交点
1 2 1
为P，则 = （ ）
第1页 | 共7页A． B． C． D．4
8．设抛物线 的准线与 轴交于点Q，若过点Q的直线 与抛物线有公共点，则直线
的斜率的取值范围是 （ ）
A． B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
9．为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象 （ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
10．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH
的表面积为T，则 等于 （ ）
A． B． C． D．
11．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是
（ ）
A． B． C． D．
12．已知 的最小值为 （ ）
A． － B． － C．－ － D． +
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13．不等式x+x3≥0的解集是 .
14．已知等比数列{ 则该数列的通项 = .
15．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为
.
16．已知a、b为不垂直的异面直线， 是一个平面，则a、b在 上的射影有可能是 .
①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线
③同一条直线 ④一条直线及其外一点
在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
等差数列{ }的前n项和记为S.已知
n
第2页 | 共7页（Ⅰ）求通项 ；
（Ⅱ）若S=242，求n.
n
18．（本小题满分12分）
求函数 的最小正周期、最大值和最小值.
19．（本小题满分12分）
已知 在R上是减函数，求 的取值范围.
20．（本小题满分12分）
从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为 ，每
位男同学能通过测验的概率均为 .试求：
（I）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；
（II）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.
21．（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面
PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.
（I）求点P到平面ABCD的距离；
（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.
第3页 | 共7页22．（本小题满分14分）
设双曲线C： 相交于两个不同的点A、B.
（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：
（II）设直线l与y轴的交点为P，且 求a的值.
文科数学参考答案
一、选择题
DBCBABCCBACB
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13．{x|x≥0} 14．3·2n－3 15． 16．①②④
三、解答题
17．本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力.满分12分.
解：（Ⅰ）由 得方程组
……4分 解得 所以 ……7分
（Ⅱ）由 得方程
……10分 解得 ………12分
18．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函数的有关性质.满分12分.
解：
………………6分
所以函数 的最小正周期是 ，最大值是 最小值是 …………12分
19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解
决问题的能力.满分12分.
解：函数f(x)的导数： ………………3分
（Ⅰ）当 （ ）时， 是减函数.
第4页 | 共7页所以，当 是减函数；………………9分
（II）当 时， =
由函数 在R上的单调性，可知
当 时， ）是减函数；
（Ⅲ）当 时，在R上存在一个区间，其上有
所以，当 时，函数 不是减函数.
综上，所求 的取值范围是（ ………………12分
20．本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识
解决实际问题的能力，满分12分.
解：（Ⅰ）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为
1－ ；………………6分
（Ⅱ）甲、乙被选中且能通过测验的概率为
；………………12分
21．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满
分12分.
（I）解：如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结PE.
∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，
∵PA=PD，∴OA=OD，
于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.
由此知∠PEB为面PAD与面ABCD
所成二面角的平面角，………………4分
∴∠PEB=120°，∠PEO=60°
由已知可求得PE=
∴PO=PE·sin60°= ，
即点P到平面ABCD的距离为 .………………6分
（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.
.连结AG.
又知 由此得到：
第5页 | 共7页所以
等于所求二面角的平面角，…………10分
于是
所以所求二面角的大小为 .…………12分
解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，
FG= BC.
∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，
∴∠AGF是所求二面角的平面角.……9分
∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.
又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.
在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°= .
在Rt△PEG中，EG= AD=1. 于是tan∠GAE= = ，
又∠AGF=π－∠GAE. 所以所求二面角的大小为π－arctan .…………12分
22．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能
力.满分14分.
解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ① ……2分
双曲线的离心率
（II）设
……8分
由于x，x都是方程①的根，且1－a2≠0，
1 2
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