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宜春一中 2024—2025 学年第二学期高二年级期中考试 的解集为（ ）
A． B． C． D．
数学试卷
一､选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
符合题目要求的.
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知实数数列 的前n项和为 ，下列说法正确的是（ ）
1. 已知函数 在 处可导，且 ，则 （ ）
A．若数列 为等差数列，则 是等差数列
A. B. C. D. 2
B．若数列 为等差数列，则 ， ， ，…为等差数列
2．若数列 各项均为正数，则“ 为等比数列”是“ 为等差数列”的（ ）
C．若数列 为等比数列，且 ， ，则
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
D．若数列 为等比数列，则 ， ， ，…为等比数列
3.已知数列 满足 ，若 ，则 （ ）
A．28 B．13 C．18 D．20 10. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
4．在公差不为0的等差数列 中，若 是 与 的等差中项，则 的最小值为（ ） A．函数 存在两个不同的零点
B．函数 既存在极大值又存在极小值
A． B． C． D．
C．当 时，方程 有且只有两个实根
5．在等比数列 中， ， 是函数 的极值点，则 （ ）
D．若 时， ，则t的最小值为2
A．3 B． C．-4 D．4
6.已知函数f(x)是奇函数，函数g(x)是偶函数，且当x＞0时，f '(x)＞0，g'(x)＞0，则当x＜0时， 11. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， ，
以下说法正确的是（ ） 则下列说法正确的有（ ）
f '(x)
A.f '(x)+g'(x)＞0 B.f '(x)—g'(x)＞0 C.f '(x)g'(x)＞0 D. ＞0 A. 数列 为等比数列 B. 数列 为等差数列
g'(x)
C. D.
7.已知函数 的图象在点 处的切线的斜率为 ，则数列 的前
项和 为（ ）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
A． B． C． D．
12．记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 .
13．若不等式 有解，则实数m的取值范围为 .
8．已知函数 在 上可导，且f (1)=1，其导函数 满足 ，则不等式 14.已知数列 满足 ， ，则 .四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
18．已知函数 .
15.在数列 中， ， ．
(1)求函数f(x)的单调区间.
(1)求数列 的通项公式；
(2)当 时，若对任意 ，不等式 恒成立， 求 的最小值.
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
16.已知函数 .
19.对于数列 ，如果存在一个正整数 ，使得对任意 ，都有 成立，那么就把这
(1)求函数 在点 处的切线方程；
样的一类数列 称作周期为 的周期数列， 的最小值称作数列 的最小正周期，简称周期.
(2)求 的单调区间和极值.
(1)判断数列 是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.
(2)已知无穷数列 是周期为2的周期数列，且 ， ， 是数列 的前 项和，若
对一切正整数 恒成立，求常数 的取值范围；
17.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形
(3)若无穷数列 和 满足 ，且 ，是否存在非零常数 ，使得
状把数分成许多类，把按照下图排列规律的数 ，称为五边形数，记五边形数构成的数列为
，数列 的前 项和为 ，满足 .
是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数 ；若不存在，请说明理由.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .则 ，解得 ，于是 ， ，
所以所求切线方程为： ，即 ............................6'
宜春一中 2024—2025 学年第二学期高二年级期中考试
（2）由（1）知，函数 ，定义域为 ，求导得
数学试卷
，
1．D 2．C 3.C 4．A 5.B 6.B. 7.C 8．B
当 或 时， ，当 时， ，
9.AB 10.ABC
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减........................................................10'
【详解】对于A，由 ，得 ，∴ ，故A正确；
当 时， 取得极大值 ，当 时， 取得极小值 ，
所以函数 的递增区间为 ，递减区间为 ，
对于B， ，
极大值 ，极小值 ..................................................................................15'
当 时， ，当 时， ，
17.【答案】(1) ， (2)
∴ 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 是函数的极小值， 是函数的极大值，故B正确； 【详解】（1）由题意可知 ， 当 时，
对于C，当 时， ，根据B可知，函数的最小值是 ，再根据单调性可知，当
累加得
时，方程 有且只有两个实根，所以C正确；
对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．
11. ACD
12．45 13． 14.3 当 时， 满足上式.
【详解】由 可知：
........................................................................................................4'
当 为偶数时， ，当 为奇数时， ， . 当 时， ，且 ，
所以 ，
两式相减得 ， ，即
即
，由此解得 . 数列 是首项为1，公比为 的等比数列， .............................................................7'
15.【答案】(1) (2)
（2）
【详解】（1）因为 ，所以数列 是以 为首项，3为公比
的等比数列，所以 ，所以
...................................................................................................6'
（2）因为 ，所以 ................................13' ②
16.【答案】(1) ；
①-②得
(2)递增区间为 ，递减区间为 ，极大值 ，极小值 .
【详解】（1）函数 ，求导得 ，当 时， ，则 在 上单调递增，
，
当 时， ，则 在 上单调递减，
...........................................15'
4 4
所以 ，即满足不等式成立的b≥ ,所以 的最小值为
e e
；.............................17'
4
18．【答案】(1)见解析 (2)
e
19.【答案】(1)数列 为周期数列，周期为2，(2) ，(3)不存在，理由见解析
【详解】
【详解】（1）因为 ，
，
所以数列 是周期数列，其最小正周期为2..............................................................................4'
（2）因为无穷数列 是周期为 的周期数列，且 ， ，
所以当 为偶数时， ；
当 为奇数时， ，
因为 对一切正整数 恒成立，
所以当 为偶数时， ，故只需 即可；
.........................................8'
当 为奇数时， 恒成立，故只需 即可；
（2）当 时，不等式可化为 ，
变形为 综上， 对一切正整数 恒成立，常数 的取值范围为 .......................................................9'
同构函数 ，求导得 ， （3）假设存在非零常数 ，使得 是周期为T的数列，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 在 上是增函数，而原不等式可化为 ，
所以 ，即 ，
根据单调性可得： ， 所以数列 是周期为 的周期数列，
因为 ，
再构造 ，则 ，即 ，因为 ，
所以 ， ，
所以数列 的周期为 ，
所以 ，即 ，显然方程无解，
所以不存在非零常数 ，使得 是周期数列.......................17'
