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齐鲁名师联盟 2025 届高三年级第一次诊断考试
数 学
本试卷共4页，19题。满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本次考试范围：集合与常用逻辑用语；一元二次方程、函数和不等式；函数与导数；计数原理
与概率统计。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．若集合
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S = x x = 2 m − 1 , m N ， P = x x = 3 n − 1 , n N ， T = x x = 6 k − 1 , k N ，则
A． S T B． P = T C． S P = T D． S P = T
2．函数 f (x)=x3−12x在区间[-3,2]上的最大值是
A．－9 B．－16 C．16 D．9
3．若正数x， y 满足 4 x + y = 4
1 1
，则 + 的最小值为
x y
A．2 B．
9
4
C．3 D．
8
3
4．从数字 1 , 2 , 3 中随机取一个数字，取到的数字为 n ( n = 1 , 2 , 3 ) ，再从数字 1 , , n
2024.08
中随取一个数字，则
第二次取到数字2的概率为
5 7 11 13
A． B． C． D．
18 18 18 18
5．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2
之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为
A．48 B．32 C．24 D．16
6．令a=C1 +C2+C3 + +Cn，则当n=2024时，a除以15所得余数为
n n n n
A．4 B．1 C．2 D．0
{#{QQABaQAAogCgApBAARhCAQVYCgIQkAECAYgGBFAAIAAAAQFABCA=}#}7．不等式2xex−2ax−ln2x−10恒成立，则实数
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a 的最大值为
1
A． B．
4
1
2
C．1 D．2
8．已知函数 f ( x ) = e x −
2 ( a
1
+ 1 )
x 2 − b x ( a ， b R ) 没有极值点，则
a
b
+ 1
的最大值为
A．
2
e B． e
2
C． e D． 2 e
2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左
到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，
22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确
的是
A．四位回文数有45个 B．四位回文数有90个
C． 2 n （nN*）位回文数有 1 0 n 个 D．2n+1（ n N * ）位回文数有 9 1 0 n 个
10．已知 为随机试验的样本空间，事件A，B满足 A ， B ，则下列说法正确的是
A．若 A B
1
，且P(A)= ，
3
P ( B ) =
1
2
，则 P ( A + B ) =
5
6
B．若 A B = ，且 P ( A ) =
1
3
， P ( B ) =
1
2
5
，则P(A+B)=
6
C．若 P ( A ) = P ( A B ) = 1
3
，P(B)= 1 ，则P ( B A ) = 1
2 2
D．若 P ( A ) =
1
2
， P ( A B ) =
3
4
， P ( A B ) =
3
8
，则 P ( B ) =
2
3
11．已知函数 f ( x ) = x 3 − 2 a x 2 + b x + c ( a , b , c R ) , f ( x ) 是 f ( x ) 的导函数，则
A．“ a = c = 0 ”是“ f ( x ) 为奇函数”的充要条件
B．“a=b=0”是“ f ( x ) 为增函数”的充要条件
C．若不等式 f ( x ) 0 的解集为{x∣x1且 x ? 1 } ，则 f ( x )
32
的极小值为−
27
D．若 x
1
, x
2
是方程 f ( x ) = 0 的两个不同的根，且
1
x
1
+
1
x
2
= 1 ，则a<0或 a 3
{#{QQABaQAAogCgApBAARhCAQVYCgIQkAECAYgGBFAAIAAAAQFABCA=}#}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知集合
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A = x | x 2 − x − 1 2 0 ，B= x|x2−3mx+2m2+m−10 ，若“ x A ”是“ x B ”的必要不
充分条件，则实数m的取值范围为ABC36ABC.
13．已知函数 f ( x ) = a x − a − x − x （其中 a 0 且 a 1 ），若存在 x
0
( 0 , + ) ，使得 f (x )0，则实数a
0
的取值范围是ABC36ABC．
14．切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其
内容是：对于任一随机变量X ，若其数学期望E(X)和方差 D ( X ) 均存在，则对任意正实数，有
P ( X E ( X ) ) 1
D ( X
2
)
− − .根据该不等式可以对事件 | x E ( X ) | − 的概率作出估计.在数字通信
中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号 n 次，每次发射信号“0”和“1”是等可能
的.记发射信号“1”的次数为随机变量X ，为了至少有 9 8 % 的把握使发射信号“1”的频率在区间
( 0 .4 , 0 .6 ) 内，估计信号发射次数 n 的值至少为ABC36ABC.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
设函数 f ( x ) = x 2 − 4 tx + 5 ，其中 t R .
(1)若命题“ x R , f ( x ) 0 ”为假命题，求实数 t 的取值范围；
(2)若函数
f (
x
x )
2 5 + 2 在区间 ( 0 , ) + 内恒成立，求实数 t 的取值范围.
16．（15分）
已知函数 f ( x ) = ln x − x .
(1)求函数 g ( x ) = f ( x ) + 2 x − 4 ln x −
2
x
的单调区间和极值;
(2)若不等式 f ( x ) ( a − 1 ) x + 1 在(0,+)上恒成立，求实数 a 的取值范围.
17．（15分）
某校举行篮球比赛，规则如下：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得
一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是 1
2
和 p ，且每人进球与否互不影响.
3
(1)若p= ，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率；
4
1 3
(2)若 p ，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得 3个积分且每轮比赛至少要超甲 2个球，
3 4
从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？
{#{QQABaQAAogCgApBAARhCAQVYCgIQkAECAYgGBFAAIAAAAQFABCA=}#}18．（17分）
已知函数 f (x)=ax−1−lnx(aR)．
(1) f (x)在定义域内单调递减，求a的范围；
(2)讨论函数
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f ( x ) 在定义域内的极值点的个数；
(3)若函数 f ( x ) 在 x = 1 处取得极值， x ( 0 , ) , f ( x ) b x 2 + − 恒成立，求实数 b 的取值范围．
19．（17分）
在信息理论中， X 和 Y 是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为： P ( X = x
i
) = m
i
，
P(Y =x )=n ，m 0，
i i i
n
i
0
n n
，i=1,2, ,n，m =n =1．
i i
i=1 i=1
定义随机变量 X 的信息量 H ( X ) = −
n
i=
1
m
i
lo g
2
m
i
， X 和 Y
n m
的“距离”KL(X Y)=m log i ．
i 2 n
i=1 i
(1)若 X ~ B
2 ,
1
2
，求 H ( X ) ；
(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为
p(0 p1)，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为 q ，发出信号1接收
台收到信号为1的概率为 q ( 0 q 1 ) ．
（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用 p ， q 表示结果）
（ⅱ）记随机变量 X 和 Y 分别为发出信号和收到信号，证明： K L ( X Y ) 0 ．
{#{QQABaQAAogCgApBAARhCAQVYCgIQkAECAYgGBFAAIAAAAQFABCA=}#}
