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河溪中学 2024——2025 学年度第二学期学月考试
高二数学科答案
1--5 CDABB 6--8 DCB
6【分析】求出函数 定义域并探讨其奇偶性，再利用特殊点及特殊区间的函数值特性即可判断得解.
【详解】因 且 ，则 ，于是得函数 定义域为 ，
又 ，即 为奇函数﹐C 不正确；
而 ，B 不正确；
因 时， ， ，则 ，A 不正确，D 符合.
7【分析】先假设 ，得到 ，利用双曲线的定义得出 ，再利用勾股
定理即可得到结果.
【详解】设 ，因为 为等腰直角三角形且 N 为 的中点，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
在 中，由勾股定理，有 ，解得 ，
【点睛】关键点点睛：设 ，先判断出 为等腰直角三角形，得到线段之间的比例
关系，进而得 ，再用勾股定理即可求得结果.
8【分析】根据 在 上恒大于 0，且单调递增，可求 的取值范围.
【详解】因为函数 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，所以 .
且 在 恒大于 0，所以 或 .
综上可知：
二､多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. BD
第 1页/共 7页10. ACD
【分析】由题意可得 ，利用化简计算和基本不等式判断各个选项；
【详解】对于 A，由题可得 ，即 故 A 正确；
对于 B， 为正数， 为正数， 所以 ，当且仅当 a=b=2 时，等
号成立.故 B 不正确；
对于 C， 为正数， 当且仅当 a=b=2 时，等号成立，故 C
正确；
对于 D， 为正数， 当且仅当 时，等号成立.故 D 正确.
11.AB
【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可.
【详解】由 的图象得 ， ，解得 ，
所以 ，又 ，所以 ，
解得 ，又 ，所以 ，所以 ，
由 ，解得 ，
即 的单调递增区间为 ，
令 得 ，又 ，
所以 在 上单调递增，故 A 正确；
第 2页/共 7页当 ，则 ，
令 ，即 ，所以 在 上单调递增，
且 ，所以 ；
令 ，即 ，所以 在 上单调递减，且 ；
所以当 时， 在 上有两个不相等的实根，故 B 正确；
因为 ，所以 的图象关于直线 对称，故 C 错误；
将 的图象向左平移 个单位长度，得 的图象，
显然 为奇函数，故 D 错误．
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 13．0 14.
14【详解】由题意，设数阵中所有数据的和为 ，
则 ①，
②，
由①-②得：
，所以 .
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 解:(1)由题意，可得 ，
故 ， ，
第 3页/共 7页数列 是公比为 2 的等比数列，且 ，
，
， ．
(2)由题意及（1），可得 ，
则
．
16. 解:(1)
，
，
直线 l 的斜率为 ，
由题意知 ，解得 ，
， ，即 ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ；
(2)由（1）知 ，
由 得 或 ，由 得 ，
的单调递增区间为 ， ，
的单调递减区间为 ，
17. 解:(1)证明：连接 BD 交 AC 于点 F，连接 EF，
第 4页/共 7页底面 ABCD 是菱形， 是 BD 的中点，
又 E 是 PD 的中点， ，
平面 ACE， 平面 ACE，
所以 平面 ACE；
(2)记 AD 中点为 O，连接 EO，OC，则 ，
又 底面 ABCD， 底面 ABCD，
底面 ABCD， ，
又 ， ， 平面 COE，
所以 平面 COE，又 平面 COE， ，
所以 是等边三角形，
是 PD 的中点，且 ， ．
以 O 为原点，OA，OC，OE 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ．
不妨设 ，则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 ACE 的法向量 ，
， ，
第 5页/共 7页可取 ， ，
记 BE 与平面 ACE 所成角为 ，则 ，
即 BE 与平面 ACE 所成角 正弦值为 .
18.解:(1)由第二组的频数是第一组的 2 倍，可得第二组的频率为第一组的 2 倍，所以 ，
解得
又 ，解得
成绩落在 内的频率为： ，
落在 内的频率为： ，
因此中位数落在区间 内，
设中位数为 ，则 ，解得 .
故估计这次竞赛成绩的中位数约为 70.5.
(2)第四组 的抽取人数为 4，设所抽取的人为 ，
第五组 抽取人数为 2，设所抽取的人为 ，
则从中随机抽取两名学生有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， 共 15 种情况，
记事件 “抽取的两名学生在同一组”，所以事件 A 包含的基本事件为 ， ， ， ， ， ，
共 7 种情况.
所以
(3)由 ，得： .
又 ，
所以： .
剔除其中的 75 和 85 两个分数，设剩余 8 个数为
平均数与标准差分别为 ， ，
第 6页/共 7页则剩余 8 个分数的平均数： ；
所以
即： .
方差：
故剩余 8 个分数的平均数为 80，方差为 37.5.
19.解： Ⅰ 由题 ，故 ，
把 代入椭圆方程中得到 ，
解得： ， ，
所以椭圆的标准方程为 ；
Ⅱ 由题 ，直线 PM 的方程为 ，
设与直线 PM 平行的直线 l 的方程为 ，
现考虑椭圆上点到直线 PM 距离的最大值，
把 代入椭圆方程中得： ，
当直线 l 与椭圆相切时，距离最大，
故有 ，即 ，
所以 ，即 ，
当 时， 与 之间的距离即为椭圆上点到直线 PM 距离的最大值，
此时 ，
所以 面积最大值为
.
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