文档内容
高 2024 级高二年级上学期质量监测试题
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 抛物线 的焦点到准线的距离为（ ）
A. B.1 C.2 D.4
【答案】B
【解析】
【分析】由解析式写出焦点坐标及准线方程，即可得到答案.
【详解】由解析式可知 ，即 ，
焦点到准线的距离为 .
故选：B.
2. 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查复数的运算，先把分母实数化，整理成 的形式，求出虚部b即可。
【详解】因为 ，所以虚部为 ,
故选：D
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学科网（北京）股份有限公司3. 双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ， 是 上一点，若 ，则 （
）
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的定义即可求出.
【详解】由题意双曲线 ： 的 ， ，
又 是 上一点， ， 在双曲线的右支上，
根据双曲线的定义，得 ， ，解得 .
故选：D.
4. 设 ， 是一个随机试验中的两个事件，且 与 相互独立，若 ， ，则
（ ）
A.0.2 B.0.5 C.0.7 D.0.9
【答案】C
【解析】
【分析】由并事件概率公式及独立事件的交事件概率公式求得结果.
【详解】 ，
故选：C
5. 三棱锥 中，点 ， 分别为 ， 的中点，记 ， ， ，则 （
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为点 是 的中点，所以 ，
又因为点 是 的中点，所以 ，
因此： .
故选：A
6. 某大街在甲，乙两处设有红绿灯，汽车在这两处遇绿灯的概率分别是 ， ，假设在两处遇到绿灯互不
影响，则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据独立事件概率乘积公式结合互斥事件概率和公式计算求解.
【详解】在甲，乙两处设有红绿灯，汽车在这两处遇绿灯的概率分别是 ， ，
则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为 .
故选：B.
7. 圆柱的轴截面为正方形，一个圆锥的底面半径与该圆柱的底面半径相同，且侧面积相等，则圆锥的高与
圆柱的高之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设圆柱的底面半径为 ，圆锥的母线长为 ，依题意得到 求得 ，继而求出圆
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学科网（北京）股份有限公司锥的高 ，计算即可求得.
【详解】设圆柱 底面半径为 ，因为圆柱轴截面是正方形，所以圆柱的高为 ，
依题意圆锥的底面半径为 ，设圆锥的母线长为 ，
因为圆锥与该圆柱的侧面积相等，所以 ，解得 ，
则圆锥的高为 ，
所以圆锥的高与圆柱的高之比为 .
故选：C.
8. 是圆 ： 上的动点， 为直线 ： 上的动点，定点 ，则
的最小值是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】
【分析】根据点关于直线对称的点的特征，求点 关于 对称点为 ，得
，从而 ，当且仅当 三点共线时取等号，从而解出
的最小值.
【详解】
圆 ： 的圆心 ，半径
设点 关于 对称点为 ，
则 ，解得 ，即
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学科网（北京）股份有限公司故
由 ，故 ，
又 ，则 ，
当且仅当 三点共线时取等号，故 的最小值为4.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 已知直线 ， ，则（ ）
A. 恒过定点 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 的倾斜角可能为0
【答案】AC
【解析】
【分析】通过分离参数法求得直线 恒过定点判断A选项，由两直线平行于垂直时直线方程中系数的关系
建立方程，解得 ，判断BC选项，整理直线 方程，得到斜率，由斜率为0建立方程，由方程的解判断D
选项.
【详解】 ，直线 恒过定点 ，A选项正确；
若 ，则 ，∴ ，
且当 时， ， ， 也成立，B选项错误；
若 ，则 ，即 ，则 ，C选项正确；
时， 斜率不存在，倾斜角为 ， 时， 直线斜率为 ，倾斜角不是 ，
于是无论 如何取值， 倾斜角不可能是 ，D选项错误.
故选：AC.
10. 如图，正方体 的棱长为2，点 在线段 上运动，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 存在点 ，使得
B. 三棱锥 的体积为定值
C. 直线 与 所成的最小角为
D. 点 到直线 距离的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，得到点坐标，即可得到向量坐标，设 ，得到向量
坐标，由数量积求得 取何值时 ，即可判断A选项；由线线平行得到线面平行，即可
判断B选项；由空间直角坐标系得到向量 坐标，由数量积求得到线线角的范围，判断C选项；由
空间直角坐标系得到向量 坐标，通过向量的投影即可求得 到直线 距离，即可判断D选项.
【详解】对于A，以 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，如下图所示：
则 ， ，则 ，设 ，
， ，∴ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
则 ，当 时， ，
则 ，即当 为 的中点时，满足题意；A选项正确；
对于B,∵ ，∴ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，即点 到平面 的距离不变，
∴ 不变，B选项正确；
对于C， ，∴ ，
则 ， ，
设直线 与 所成角为 ，
则 ，
令 ，函数对称轴为 ，
∴ ， ，
∴ ∴ ，∵ ，
∴直线 与 所成的最小角不为 ，C选项错误；
对于D， ， ， ，
则 ，
则 在 上的投影长为
∴ 到直线 距离
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，∴当 时， 取最小值 ，D选项正确.
故选：ABD.
11. 在平面直角坐标系 中，过抛物线 焦点 的直线 与 相交于 ， 两点，过 作 的
垂线交直线 于点 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由抛物线方程得到焦点坐标及准线方程.由抛物线的定义即可判断A选项；讨论直线 斜率不存在，
求得 坐标，即判断B选项；讨论直线 斜率不存在，结合对称性由 坐标求得 ，再讨
论直线 斜率存在时，设直线 方程，联立方程组并设交点坐标，由韦达定理得到交点坐标与参数的关系，
结合抛物线定义求得 ，由余弦定理证明 ，判断C选项；讨论直线 斜率不
存在时，由 坐标求得 ，再讨论直线 斜率存在时，得到直线 方程后得到点 坐标，
然后表示出 ，即可判断D选项.
【详解】如图所示，由题意得 ，准线方程为 ，
当直线 斜率为0时，直线 与抛物线只有一个交点，不符合题意，
故点 不与原点重合，由抛物线定义可知 ，A选项正确；
当直线 斜率不存在时， ，则 ， ， ，
此时 ， ， ，B选项错误；
当直线 斜率不存在时， ，则 ， ，
，∴ ，∴
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学科网（北京）股份有限公司当直线 斜率存在时，设 ，联立方程组得 ，
整理得 ，设 ， ，
则 ，
由抛物线定义可知 ，
，
，
即 ，∴ ，
∴ ，C选项正确；
，
当直线 斜率不存在时， ，则 ， ， ，
，
当直线 斜率存在时， ， ，
直线 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司，
∴ ，D选项正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 椭圆 的一个焦点坐标是 ，则 的值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】由椭圆中 的关系即可求得答案.
【详解】 焦点坐标是 ，∴ ，
∵
，∴ ，
∵
.
故答案为：1.
13. 从小到大依次排列的四个数1， ， ，9，这四个数的中位数和平均数相等，则这四个数的和是______.
【答案】20
【解析】
【分析】由中位数及平均数定义求得这四个数的中位数和平均数，然后建立方程求得 ，即可求得答案
.
【详解】中位数为 ，平均数为 ，
由题意得 ，则 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：20.
14. 斜三棱柱 中， ， ， ， ，
动点 在侧面 上，且 ，则 的轨迹长度为______.
【答案】
【解析】
【分析】建系并标点，设 ，根据数量积和模长可得 ，求平面 的法向量
和点 在平面 的投影为 ，可得 ， ，可知点 的轨迹是以 为圆心，半径
的圆，即可得结果.
【详解】如图，以 为坐标原点， 分别为 轴，垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角
坐标系，
则 ，
设 ，则 ，
由题意可知： ，
则 ，解得 ，
即 ，则 ， ，
可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司注意到 ，则 ，可知 为矩形，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
设点 在平面 的投影为 ，
则 ， ， ，
因为 ，则 ，解得 ，
即 ，则 ，
可得 ， ，
又因为 ， ，
则 ，且 ，
可得点 到直线 ， ， ， 的距离分别为 ，均大于1，
所以点 的轨迹是以 为圆心，半径 的圆，
所以 的轨迹长度为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆 的圆心在直线 上，且与直线 相切于点 .
（1）求圆 的标准方程；
（2）若直线 与圆 相交于 两点，且 ，求实数 的值.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）由切点和切线得到切点与圆心的直线方程，联立直线方程求得圆心坐标，由圆心和切点求得
圆半径，从而写出圆的标准方程；
（2）求圆心到直线 的距离，由垂径定理建立方程，解得实数 的值.
【小问1详解】
令切点为 ，
由题意可知 过点 且垂直于直线 ，
∴ ，
联立直线方程 ，解得 ，则半径 ，
∴圆 .
【小问2详解】
由（1）可知圆心 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 或 .
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学科网（北京）股份有限公司16. 为了深入开展安全教育，普及安全文明知识，某中学随机抽取1000名学生进行安全文明知识竞赛并记
录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为 ， ，
， ， ，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）请估计这1000名学生成绩 平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）和上四分位数（结果
保留整数）；
（2）现从 ， 两组中采用按比例分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2
人，求2人来自不同两组的概率.
【答案】（1）平均数为 分，上四分位数约为 分，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图可求出平均数及上四分位数.
（2）根据分层抽样可得 中抽取的人数为 ， 中抽取的人数为 ，然后把所有情况都列举出
来，用古典概率计算公式即可求解．
【小问1详解】
频率分布直方图中，结合频率分布直方图，
设这1000名学生成绩的上四分位数为t， 在 的频率为0.3， 的频率为0.4， 的频
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学科网（北京）股份有限公司率为0.15，则上四分位数落在 内，
则 ，解得 ，即上四分位数约为73分，
这1000名学生成绩 平均数为 分.
【小问2详解】
按比例分配的分层随机抽样方法． 中抽取的人数为 ， 中抽取的
人数为 ．
记来自 的3人和来自 的2人分别为 ，
则所有基本事件为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共10个，满足题
意2人来自不同两组的有6个，
由古典概型知，2人来自不同两组的概率为 ．
17. 如图，在四棱锥 中，底面 为梯形， ， ， ，平
面 平面 ， 为 的中点， 是棱 上的点.
（1）证明： ；
（2）若 ， ， ，且 与平面 所成角为 ，求平面 与平面
夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性质得到线面垂直，从而得到线线垂直；
（2）证明空间内三条直线两两垂直，从而建立空间直角坐标系，得到点坐标，设 ，通过平面
的法向量及 的数量积与线面角的关系求得 ，得到向量 ，分别求得平面 与平面
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学科网（北京）股份有限公司的法向量 ，由数量积求得平面 与平面 所成的二面角的余弦值.
【小问1详解】
∵ ，即 ，
∵平面 平面 ，且平面 平面 ，
平面 ，且 ，
∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴ .
【小问2详解】
∵ 且 为 的中点，
∴ ，又∵ ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，又∵ ，∴ ，
由（1）可知 平面 ，且 平面 ，所以
∵ ， 为 的中点，∴ ，
∴如图以点 为顶点建立空间直角坐标系 ，
∴ ， ， ， ， ，
则 ，设 ， ，
则 ，
平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
即 ，∴ ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 或 （舍去），
∴ ，
， ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ， ，
则 ，令 ，则 ，即 ，
则 ，令 ，则 ，即 ，
设平面 与平面 所成 二面角为 ，
则 .
18. 已知双曲线 ： 的离心率为 ，焦点到 的渐近线的距离为1.
（1）求 的方程；
（2）若垂直于 轴的直线与 的右支相交于 ， 两点，已知点 ，直线 和 的左支交于点
.
（ⅰ）若 ， 是坐标原点，求直线 的方程；
（ⅱ）求证：直线 过定点.
【答案】（1） ；
（2） ；证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用双曲线的定义、性质结合点到直线的距离公式计算即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设直线 方程及点 坐标，与双曲线方程联立利用韦达定理得出坐标关系，（ⅰ）根据三角形
面积公式结合韦达定理计算即可；（ⅱ）利用直线的两点式方程及点差法证明即可.
【小问1详解】
易知 的渐近线方程为 ，设双曲线的一个焦点为 ，则 ，
由双曲线对称性，不妨取 的一条渐近线 ，
则 到该渐近线的距离 ，
又C的离心率为 ，即 ，所以 ；
【小问2详解】
不妨设A在第一象限，由题意可设 ，
，
联立 得 ，
则 ，整理得 ，
（ⅰ）易知 ，
即 ，
解之得 （舍去）或 ，所以 ，即 .
（ⅱ）直线 ，
整理得 ，
又 在双曲线上，且在直线 上，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，则 ，
作差得 ，
化简得 ，
则 ，
即 ，
显然 时， ，即直线 过定点 .
19. 已知椭圆 ： ，其右顶点为 .
（1）已知 是 上的动点，求 到直线 距离的最大值；
（2）过点 的直线 与 相交于 ， 两点（均不与 点重合）.
（ⅰ）判断点 与以 为直径的圆的位置关系，并说明理由；
（ⅱ）求 的外接圆圆心 的轨迹方程.
【答案】（1）
（2）（i）点 在以 为直径的圆外（ii）
【解析】
【分析】（1）利用三角换元设出 点坐标，再根据点到直线的距离公式计算求最值即可；
（2）（i）把问题转化为判断 的正负，再根据设而不求的方法计算即可；（ii）设圆的方程，直线 分
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学科网（北京）股份有限公司别与圆和椭圆联立后的方程系数成比例，列方程，可得答案.
【小问1详解】
椭圆 的参数方程为 ，点 到直线 的距离为
令 ，则
当 时， 取得最大值 ；
【小问2详解】
（i）点 在以 为直径的圆外.
理由：设直线 （ ，否则与 重合），代入椭圆方程得
设 ，
则
计算 ，利用 得：
代入得 ，
，
将韦达定理结果代入，计算得
当 时，直线为 ，过点 ，与题设“均不与 点重合”矛盾，故不考虑；
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学科网（北京）股份有限公司当直线 斜率不存在时，方程为 ，代入椭圆解得
则
此时
综上，均有
故 为锐角，点 在以 为直径的圆外；
（ii）设 的外接圆圆心为 ，圆方程为 ，
代入 得 ，将 代入圆方程，得：
整理得：
将 代入椭圆中，由（i）得：
方程 (1) 和 (2) 表示两个交点 的横坐标满足的方程，故系数成比例，
则： ，
解得：
设圆心 ，
则
消去 得轨迹方程
但 时， ， 中有一个点与 点重合，不符合题意，故除去点 ，
因此， 的轨迹方程为
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学科网（北京）股份有限公司第22页/共22页
学科网（北京）股份有限公司
