文档内容
2024 学年第一学期浙江省 9+1 高中联盟高二年级期中考试
数学
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；
4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
2. 若 ，则 （）
A. B. C. D.
3. 已知向量 ， ，若 ，则 （）
A. B. C. 1 D. 2
的
4. 从两位数中随机选择一个数，则它 平方的个位数字为1的概率是（）
A. B. C. D.
5. 已知函数 ， ，且 ，则函数
可能是（）
A. B.
C. D.6. 已知双曲线 ： ，过点 的直线 与双曲线 交于 ， 两点.若点 为线段 的中
点，则直线 的方程是（）
A. B.
C. D.
7. 设空间两个单位向量 ， 与向量 的夹角都等于 ，则
（）
A. B.
C. D.
8. 已知函数 ， ，则方程 的实根个数是（）
A. 2 B. .3 C. 4 D. 5
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9. 若直线 ： 与直线 ： 平行，则实数 可能 为（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
的
10. 下列从总体中抽得 样本是简单随机抽样的是（）
A. 总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数 .若 或 ，则舍弃，重新抽取
B. 总体编号为1～75，在0～99之间产生随机整数 ， 除以75的余数作为抽中的编号.若余数为0，则抽
中75
C. 总体编号为6001～6879，在1～879之间产生随机整数 ，把 作为抽中的编号D. 总体编号为1～712，用 软件的命令“sample（1:712，50，replace＝F”）得到抽中的编号
11. 已知椭圆 ： ，直线 ： ，（）
A. 若直线 与椭圆 有公共点，则
B. 若 ，则椭圆 上的点 到直线 的最小距离为
C. 若直线 与椭圆 交于 两点，则线段 的长度可能为6
D. 若直线 与椭圆 交于 两点，则线段 的中点在直线 上
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线 ： ，则双曲线 的离心率是______.
13. 已知圆 ： ，直线 ，若直线 与圆 相切，则 ______.
14. 在棱长为2的正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点，则四面体
的外接球的表面积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，
（1）求 ；
（2）过点 作 交 于点 ， 是 的中点，连接 .若 ，求 的长度.
16. 已知点 与点 关于直线 ： 对称，圆 ： （ ），圆 的半径为 ，且圆 与圆 交于 ， 两点.
（1）求 的取值范围；
（2）当 时，求 的面积.
17如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ， ，
.
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. 已知圆 ： ，点 ，点 是圆A上任意一点.线段 的垂直平分线 和半径
相交于点 ，与圆A交于 ， 两点，则当点 在圆A上运动时，
（1）求点 的轨迹方程；
的
（2）证明：直线 是点 轨迹 切线；
（3）求 面积的最大值.
19. 如图， ， ，垂足分别为 ， ，异面直线 ， 所成角为 ， ，
点 ，点 分别是直线 ， 上的动点，且 ，设线段 的中点为 .（1）求异面直线 与 所成的角；
（2）求 的取值范围；
（3）求四面体 的体积的最大值.2024 学年第一学期浙江省 9+1 高中联盟高二年级期中考试
数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.
【答案】B
2.
【答案】C
3.
【答案】A
4.
【答案】D
5.
【答案】C
6.
【答案】A
7.
【答案】B
8.
【答案】B
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】BC
10.
【答案】ACD
11.
【答案】ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】 ##
13.
【答案】9或
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理求解即可；
（2）解直角三角形得出 ，再由中线的向量形式平方即可得解.
【小问1详解】
由题意可知， ，
由 ，故 ，
故 ，又 ，
所以 ， .
【小问2详解】
如图， ，
由（1）可知 ， ，则 ， ，故 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，即 的长度为 .
16.
【解析】
【分析】（1）求出点 关于直线 的对称点为 ，得到圆 方程，再利用两圆位置关系得
到关于 的不等式组，解之即可得解；
（2）先求出当 时圆 的圆心与半径，从而分析得 是以 为顶点的等腰三角形，进而利用三
角形面积公式即可得解.
【小问1详解】
设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，
故圆 为 ，
因为圆 与圆 交于 ， 两点，
所以 ，
解得 .
【小问2详解】
当 时，圆 ： ， ： ，故 是以 为顶点的等腰三角形，
由（1）可知 ， ，
所以 边上的高为 ，
所以 的面积为 .
17.
【解析】
【分析】（1）先证明四边形 为矩形.再得到 ，运用线面平行判定可解.
（2）求出两个面的法向量，然后利用面面角的向量公式求解即可.
【小问1详解】
因为 平面 ， 平面ABCD ，所以 ， ，
由 ， ，得 ；
在 中， ，所以 为正三角形，
过 作 的垂线，垂足为 ， ，有 ， ，
所以四边形 为矩形.
故 ， 平面 . 平面 ，所以 平面 .
【小问2详解】
以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)， ， ， ， .设平面 ， 的法向量分别为⃗m=(x,y,z)，⃗n=(a,b,c).
， ， ，
，得 ，解得 ；
，得 ，解得 ；
设平面 与平面 的夹角大小为 ，
则 .
故平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
18.
【解析】
【分析】（1）根据题设得到 ，结合椭圆定义写出轨迹方程即可.
（2）设 求出直线l的方程，然后与椭圆联立消元，通过判别式等于零得方程有两
个相等的根即可，
（3）根据面积公式列出关于 的表达式，然后根据 的有界性求出最值即可
【小问1详解】
由线段的垂直平分线的性质可知， ，
故 ，
所以点 在以点A， 为焦点的椭圆上，其中椭圆的长轴长为8，焦距为|AB|=4，短轴长 ，
故点 的轨迹方程为 ： .
【小问2详解】
设 ，
则有 ： ，
将 代入椭圆 ： 消去 整理得
，
故 ，
即
所以，直线 是点 轨迹的切线；.
【小问3详解】
由（2）可知，点 到直线 的距离为
，
的
点A到直线 距离为
，
故线段 ，
所以 的面积为，
当且仅当 时，等号成立，
所以当 时， 的面积的最大值为 .
19.
【解析】
【分析】（1）过 点作 的平行线 ，过点 作 的平行线交 于点 ，可得 是异面
直线 与 所成的角，再根据几何关系求解即可；
（2）思路一：建立空间直角坐标系，求出点 的轨迹，进而可得 的取值范围；
思路二：由空间向量的线性运算可得 ，进而可得范围.
（3）先求得 ，思路一：设 ， ，根据基本不等式求得， 范
围，进而可得 最大值.
思路二：直接根据 结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
如图，过 点作 的平行线 ，过点 作 的平行线交 于点 ，则有 是异面直线 与 所成的角或其补角.
因为 ， ，
所以 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，所以， ，
所以异面直线 与 所成的角为 .
【小问2详解】
如图，过 的中点 分别作 ， 的平行线 ， ，
以 为坐标原点， 的外角平分线、内角平分线分别为 轴， 轴，
过点 并且垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系 .
由题意可知， ，设 , ，则 ， ，
从而 ，且 .
所以 .
思路一：因为 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，即 .
所以点 的轨迹是椭圆（长轴长为6，短轴长为2），其轨迹方程为 .
点 ，所以 .
思路二：设 在 ， 上的投影分别为 ，则 且 ，
则 、 分别为平行四边形 的两条对角线，则 为 中点.
故 ，
可得
，
因为 ，则 ，所以 .
【小问3详解】
由题意异面直线 ， 所成角为 ，则 到平面 的距离 ，故 ，
思路一：不妨设 ， ，
则 ，
故 ，
从而 ，此时 .
思路二：因为 ，
故 ，
从而 ，此时， .
