文档内容
2023-2024 学年高二数学期末模拟卷
全解全析
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．（5分）设集合 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先求出 的补集，然后结合集合交集运算可求．
【解答】解：由题意可得 或 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了集合补集及交集运算，属于基础题．
2．（5分）若 ， ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要
【答案】
【分析】充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果
【解答】解： ， ， ，
， ，即 ，
若 ， ，则 ，
但 ，
即 推不出 ，
是 的必要不充分条件．
故选： ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力．
3．（5分）下列求导正确的是
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
1
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】根据初等函数的求导公式和导数四则运算公式直接求导即可．
【解答】解： ，故 错误；
，故 错误；
，故 错误；
，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
4．（5分）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合指数函数、对数函数的单调性，即可求解．
【解答】解： ，
，
故 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
5．（5分）已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
【答案】
【分析】由图象可知，函数的图象关于原点对称，故函数为奇函数，当 时， ，然后检验
各选项即可判断．
【解答】解：由图象可知，函数的图象关于原点对称，故函数为奇函数，
为非奇非偶函数，不符合题意；
为非奇非偶函数，不符合题意；
为奇函数，当 时， ，不符合题意；
为奇函数，当 时， ，符合题意．
故选： ．
【点评】本题主要考查了由函数图象求解函数解析式，考查数形结合思想，属基础题．
6．（5分） 的值为
A．0 B．1 C． D．
【答案】
【分析】利用对数的运算可得答案．
【解答】解：原式
．
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
3
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故选： ．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
7．（5分）下列命题中，真命题的是
A．若回归方程 ，则变量 与 正相关
B．线性回归分析中相关指数 用来刻画回归的效果，若 值越小，则模型的拟合效果越好
C．若样本数据 ， ， ， 的方差为2，则数据 ， ， ， 的标准差为4
D．一个人连续射击三次，若事件“至少击中两次”的概率为0.7，则事件“至多击中一次”的概率为
0.3
【答案】
【分析】利用正负相关的意义判断 ；利用相关指数的意义判断 ；求出标准差判断 ；利用对立事件求
出概率判断 ．
【解答】解：对于 ，回归方程 ，由 ，得变量 与 负相关， 错误；
对于 ， 值越接近于1，模型的拟合效果越好，越接近于0，模型的拟合效果越差， 错误；
对于 ，数据 ， ， ， 的方差为 ，标准差为 ， 错误；
对于 ，“至多击中一次”的事件是“至少击中两次”的事件的对立事件，则事件“至多击中一次”的概
率为0.3， 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
8．（5分）新型冠状病毒 因2019年武汉病毒性肺炎病例而被发现，2020年1月12日被世
界卫生组织命名，为考察某种药物预防该疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：
患病 未患病 总计
服用药 10 45 55
未服药 20 30 50
总计 30 75 105
参考数据： ， ．
0.05 0.01
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
4
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司3.841 6.635
下列说法正确的是
A．有 的把握认为药物无效
B．有 的把握认为药物有效
C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物无效
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效
【答案】
【分析】根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
【解答】解：由表中数据可， ，
故有 的把握认为药物有效．
故选： ．
【点评】本题主要考查独立性检验公式的应用，属于基础题．
9．（5分）已知函数 若函数 有3个零点，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由二次函数、导数研究 的性质并画出草图，将问题化为 与 的图象有3个交点，
数形结合确定参数范围．
【解答】解：当 时， ，
当 时 单调递减；当 时 单调递增．
当 时， ．
当 时， ，则 ，
当 时 ，函数 单调递增；
当 时 ，函数 单调递减．
当 时， ．
画出函数 的图象如图所示：
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
5
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司因为函数 有3个零点，
所以 与 的图象有3个交点，由图知： ．
所以 的取值范围为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系、转化思想、数形结合思想，属于中档题．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
10．（5分） 的展开式中 的系数为 （用数字作答）
【答案】 ．
【分析】根据题意，利用多项式乘法进行运算，再由二项式定理找到通项，再赋值即可求解．
【解答】解：根据题意，因为 ，
其中 展开式的通项为 ， ，1，2， ，7，
令 ， ；
令 ， ．
所以展开式中 的系数为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及因式的乘法，属于基础题．
11．（5分）某大学有 ， 两个图书馆，学生小李周六随机选择一图书馆阅读，如果周六去 图书馆，
那么周日去 图书馆的概率为0.4；如果周六去 图书馆，那么周日去 图书馆的概率为0.6．小李周日去
图书馆的概率为 0. 5 ．
【答案】0.5．
【分析】事件 表示小李周六去 图书馆，事件 表示小李周六去 图书馆，事件 表示小李周日去
图书馆，则 ，用全概率公式化简计算即可．
【解答】解：记事件 表示小李周六去 图书馆，事件 表示小李周六去 图书馆，
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
6
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司事件 表示小李周日去 图书馆，则 ，其中 与 为互斥事件，
依题意 ， ， ， ，
所以由全概率公式可得 （E）
．
故答案为：0.5．
【点评】本题考查相互独立事件的概率计算相关知识，属于基础题．
12．（5分）如果随机变量 ，且 ，那么 0. 8 ．
【答案】0.8．
【分析】先得到正态曲线的对称轴是 ，得到 ，即可得到要求的结果．
【解答】解：因为随机变量 ，
所以正态曲线的对称轴是 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为：0.8．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
13．（5分）根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持
续繁荣，2017年至2020年每年进口总额 （单位：千亿元）和出口总额 （单位：千亿元）之间的一组数
据如下：
2017年 2018年 2019年 2020年
1.8 2.2 2.6 3.0
2.0 2.8 3.2 4.0
若每年的进出口总额， ， 满足线性相关关系 ，则 1. 6 ，若计划2022年出口总额达
到6千亿元，预计该年进口总额约为 千亿元．
【答案】1.6；4.275．
【分析】根据平均数的计算，代入可得，进而将 代入方程即可求解．
【解答】解：由表中数据得 ，
将 代入 中，可得 ，
解得 ．
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
7
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故 ，
将 代入上式，可得 ．
故答案为：1.6；4.275．
【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．
14．（5分）已知 ， ， ，则 的最小值是 ．
【分析】利用基本不等式的性质、函数的单调性即可得出．
【解答】解：由已知 ，
．
由于 在 上单调递减，
当且仅当 时，取最小值 ．
故答案为： ．
15．（5分）若关于 的不等式 在 ， 内有解，则实数 的取值范围是
．
【答案】 ．
【分析】题设中的不等式等价于 ，令 ，结合导数可得该函数的单
调性，结合 （1） ， （e） 可得 的解，从而可求实数 的取值范围．
【解答】解：由 有意义可知， ．
由 ，得 ，
令 ，即有 ．
因为 ， ，所以 ， ，令 ，
问题转化为存在 ， ，使得 ．
因为 ，令 ，即 ，解得 ；
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
8
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司令 ，即 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
又 （1） ， （e） ，所以当 时， ．
因为存在 ， ，使得 成立，所以只需 且 ，解得 ．
故答案为： ．
三．解答题（共5小题，满分75分）
16．（14分）已知函数 在 处有极值．
（Ⅰ）求 的值并判断 是极大值点还是极小值点；
（Ⅱ）求函数 在区间 ， 上的最值．
【答案】（Ⅰ） ， 是极小值点；
（Ⅱ） 在最小值是 （2） ， 的最大值是 ．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算 ，求出 的值，从而求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．
【解答】解：（Ⅰ） ，
若函数 在 时取得极值，
则 （2） ，解得： ，
时， ，
令 ，解得： 或 ，
令 ，解得： ，
在 递增，在 递减，在 递增；
是极小值点．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得： ，
在 ， 递减，在 ， 递增，
在最小值是 （2） ， 的最大值是 ．
【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用，是中档题．
17．（15分）五一放假期间，某商场为了吸引人流，设置了一个有机会获得 500元购物券的闯关活动，要
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
9
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司获得购物券，参与者必须完成答题闯关和翻牌闯关两步．现在小张来参加商场的活动，答题闯关分为三个
环节，每个环节都必须参与，他答题闯关每个环节通过的概率均为 ，答题闯关的三个环节至少通过两个
才能够参加翻牌闯关，否则直接淘汰；而翻牌闯关分为两个环节，每个环节都必须参与，他翻牌闯关每个
环节通过的概率依次为 ，若翻牌闯关的两个环节都通过，则可以获得该购物券．
（1）求小张能参与翻牌闯关环节的概率；
（2）记小张本次答题闯关和翻牌闯关通过的环节总数为 ，求 的分布列以及数学期望．
【答案】（1）小张能参与翻牌闯关环节的概率为 ；
（2）分布列见解析， ．
【分析】（1）由题意得答题闯关环节为独立重复试验，小张能参与翻牌闯关环节必须通过3各环节或两个
环节，即可得出答案；
（2）由题意得 的所有可能取值是0，1，2，3，4，5，分别求出概率，可得分布列，再计算期望，即可
得出答案．
【解答】解：（1）记小张能参与翻牌闯关环节的事件为 ，
；
（2）由题意得 的所有可能取值是0，1，2，3，4，5，
，
，
，
，
，
，
故随机变量 的分布列为：
0 1 2 3 4 5
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
10
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中
档题．
18．（15分）已知函数 其中 为常数．
（1）当 时，求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程；
（2）求 的单调区间；
（3）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） 的递增区间为 ，递减区间为 ；
（3） ．
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）先求函数的定义域，然后对函数求导，再根据导数的正负可求出函数的单调区间；
（3）将问题转化为 ，由（2）可求出 的最大值，然后解不等式可得结果．
【解答】解：（1）当 时， ，
则 （1） ， ，
所以 （1） ，
所以曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为 ，
（2） 的定义域为 ，
由 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的递增区间为 ，递减区间为 ，
（3）由（2）可知当 取得最大值 （1） ，
因为对任意 ，不等式 恒成立，
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
11
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 ，即 ， ，
解得 或 ，
即 的取值范围为 ．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的恒成立问题，
考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
19．（15分）第三十一届世界大学生夏季运动会于2023年8月8日晚在四川省成都市胜利闭幕．来自113
个国家和地区的6500名运动员在此届运动会上展现了青春力量，绽放青春光彩，以饱满的热情和优异的状
态谱写了青春、团结、友谊的新篇章．外国运动员在返家时纷纷购买纪念品，尤其对中国的唐装颇感兴趣．
现随机对200名外国运动员（其中男性120名，女性80名）就是否有兴趣购买唐装进行了解，统计结果如
下：
有兴趣 无兴趣 合计
男性运动员 80 40 120
女性运动员 40 40 80
合计 120 80 200
（1）是否有 的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关”；
（2）按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，再从中任意抽取3名运动员作进一步采访，记3
名运动员中男性有 名，求 的分布列与数学期望．
参考公式： ．
临界值表：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】（1）没有 的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关；
（2）分布列见解析，期望为2．
【分析】（1）由题意，代入公式求出观测值，将其与临界值进行对比，进而即可求解．
（2）先得到 的所有可能取值，求出相对于的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．
【解答】解：（1）易知 ，
所以我们没有 的把握认为“外国运动员对店装感兴趣与性别有关”；
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
12
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，
其中男性运动员4名，女性运动员2名，
此时 的所有可能取值为1，2，3，
所以 ，
则 的分布列为：
1 2 3
故 ．
20．（16分）已知函数 ．
（1）证明： ；
（2）（ⅰ）证明：当 时，对任意 ，总有 ；
（ⅱ）讨论函数 的零点个数．
【分析】（1）令 ，利用导数证明函数单调性，进而可证得 （1） ，从而
得证；
（2）（ⅰ）由（1）可知 ，由 和 的范围
即可证得 ；
（ⅱ） ，令 ，则 ，可得 的零点与
的零点相同，求得 导函数，通过讨论 的范围判断函数 的零点个数即可．
【解答】（1）证明：令 ，
则 ．
当 时， ；当 时， ，
故 在 上单调递减； 在 上单调递增，
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
13
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 （1） ，即 ．
（2） 证明：由（1）知： ．
当 ， 时， ， ，故 ．
解： ，令 ，则 ．
因为函数 的定义域为 ，
故 的零点与 的零点相同，
所以下面研究函数 在 上的零点个数．
， ．
①当 时， 在 上恒成立，
在 上单调递增．
， ．
存在唯一的零点 ，使得 ．
当 时， ，
可得 在 上单调递减，在 ， 上单调递增．
的最小值为 ．
①令 ，则 ，
所以 （a）在 上单调递增，在 上单调递减，又 ．
当 时， 有唯一零点 ；
②当 ，即 时，且 ．
（1） ， 在 上有唯一的零点 ．
又由 知： 在 上存在唯一零点，不妨设 ，
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
14
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司在 上有唯一的零点 ，
故此时 在 上有两个零点；
③当 ，即 时，且 ， （1） ， ．
又 ，由函数零点存在定理可得 在 ， 上有唯一零点，
故 在 ， 上各一个唯一零点．
综上可得：当 或 时，函数 有唯一零点；
当 且 时，函数 有两个零点．
【点评】本题主要考查利用导数证明不等式，利用导数求函数的最值，考查函数零点个数问题，属于难题．
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
15
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
