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2023-2024 学年高二年级数学下学期期末模拟卷
数学·全解全析
考试范围：选择性必修2、选择性必修3（数列、导数、计数原理、随机变量及其分布、成对数据分析）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知等差数列 中， 为数列 的前 项和，则 （ ）
A．115 B．110 C． D．
【答案】D
【分析】由等差数列的基本量法求得公差 ，再由等差数列前 项和公式计算．
【详解】设数列 的公差为 ，则由 得 ，解得 ，
．
故选：D．
2.已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足 ，则
（ ）
X 0 1 2 3
P a 5a
1
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由概率分布列的性质求出 ，然后得到离散型随机变量Y的概率分布列，
求 即可.
【详解】由题意可知： ，
所以解得 ，所以离散型随机变量Y的概率分布列为：
Y -1 1 3 5
P
所以 .
故选：A.
3.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服
务精神，5名大学生将前往3个场馆 开展志愿服务工作．若要求每个场馆
都要有志愿者，则当甲不去场馆 时，场馆 仅有2名志愿者的概率为（ ）
2
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先得甲去场馆 或 的总数为 ，进一步由组合数排列数即
可得所求概率.
【详解】不考虑甲是否去场馆 ，所有志愿者分配方案总数为 ，
甲去场馆 的概率相等，所以甲去场馆 或 的总数为 ，
甲不去场馆 ，分两种情况讨论，
情形一，甲去场馆 ，场馆 有两名志愿者共有 种；
情形二，甲去场馆 ，场馆 场馆 均有两人共有 种，
场馆 场馆 均有两人共有 种，所以甲不去场馆 时，
场馆 仅有2名志愿者的概率为 .
故选：B．
4.已知函数 的导函数为 ，函数 的图象如图所示，则下列结
3
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学科网（北京）股份有限公司论正确的是（ ）
A． 在 ， 上为减函数
B． 在 ， 上为增函数
C． 的极小值为 ，极大值为
D． 的极大值为 ，极小值为
【答案】D
【解析】根据 图象，可知该函数的正负性，再结合导数的性质对
的性质进行判断即可.
【详解】根据函数 的图象可知：
当 时， ，即 ，因此当 时，函数 单调递增；
当 时， ，即 ，因此当 时，函数 单调递
减，显然当 ，函数有极小值，极小值为 ；
当 时， ，即 ，因此当 时，函数 单调递
4
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学科网（北京）股份有限公司减；
当 时， ，即 ，因此当 时，函数 单调递增，
显然当 ，函数有极大值，极大值为 ，
由上可以判断D是正确的.
故选：D
5.将三颗骰子各掷一次，记事件 “三个点数都不同”， “至少出现一
个6点”，则条件概率 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由古典概型分别求出 ，代入条件概率公式 即可.
【详解】由题意，事件 即为“三个点数都不同且至少出现一个6点”，
， ，
．
故选：A．
6.下列说法正确的是（ ）
5
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学科网（北京）股份有限公司A．若数据 的极差和平均数相等，则
B．数据 的中位数为8
C．若 ，随机变量 ，则
D．若 ，则
【答案】C
【分析】选项A，根据条件，利用极差和平均数的定义即可求解；选项B，利用
中位数的定义，即可求解；选项C，利用二项分布的期望公式和性质即可求解；
选项D，利用正态分布的对称性，即可求解.
【解析】对于选项A，因为数据 的平均数为 ，当 时，极差为
，
由题知 ，解得 ，满足题意，
当 时，极差为 ，由题知 ，解得 ，满足题意，所以选项A错
误，
对于选项B，因为数据 的中位数为 ，所以选项B错误，
对于选项C，因为 ，所以 ，
6
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学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ，所以选项C正确，
对于选项D，因为 ，所以 ，从而有 ，故选项D错误，
故选：C.
7.现某社区服务中心俱乐部将5名京剧演员、2名说书演员分配到甲、乙、丙3
个居民区去义演，则每个居民区都有京剧演员的分配方法有（ ）
A．240种 B．640种 C．1350种 D．1440种
【答案】C
【分析】将2名说书演员分配到3个居民区，共有9种分配方法. 对京剧演员进
行分组分配，各组的人数分别为1，1，3或2，2，1. 分别计算两种情况下的分
配方法数，最后根据分类加法计数原理可得每个居民区都有京剧演员的分配方
法共有1350种.
【解析】将2名说书演员分配到3个居民区，有（种）分配方法.
若每个居民区都有京剧演员，则将京剧演员分成3组，各组的人数分别为1，
1，3或2，2，1.
当京剧演员分成三组的人数为1，1，3时，此时共有（种）分配方法；
7
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学科网（北京）股份有限公司当京剧演员分成三组的人数为2，2，1时，此时共有（种）分配方法.
综上可知，每个居民区都有京剧演员的分配方法有（种）.
故选：C
8.假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成
2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细
菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的
细菌的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】经过 小时，有 个正常细菌， 个非正常细菌，由题意可得 ，
，进一步求出 ， 的通项公式，即可得出答案.
【详解】设经过 小时，有 个正常细菌， 个非正常细菌，
则 ， .
又 ， ，所以 ， ，
8
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学科网（北京）股份有限公司则 ，则 ，
所以 是首项为和公差均为 的等差数列，
所以 ，
所以 ，所以 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到 的相关推递式，从而得解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0
分．
9.下列命题中，正确的有（ ）
A. 若随机变量 ， ，则
B. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第 分是
C. 若随机变量 ，则
D. 若 两组成对数据的样本相关系数分别为 ， ，则 组数
据比 组数据的相关性较强
9
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学科网（北京）股份有限公司【答案】AC
【解析】
【分析】根据正态分布曲线的对称性，可判定A正确；根据百分位数的概念及
求法，可判定B不正确；根据二项分布的方差的计算公式，可判定C正确；根
据 ，结合相关性的含义，可判定D不正确.
【详解】对于A中，若随机变量 ，且 ，
根据正态分布曲线 的对称性，可得 ，
所以 ，所以A正确；
对于B中，数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共有10个数据，
则 ，所以数据的 分位数为 ，所以B不正确；
对于C中，若随机变量 ，可得 ，所以C正确；
对于D中，若 两组成对数据的样本相关系数分别为 ， ，
因为 ，所以 组数据比 组数据的相关性较强，所以D不正确.
故选：AC.
10. 若 ，则下列说
10
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学科网（北京）股份有限公司法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用赋值法，结合二项式定理逐项判断即可.
【详解】令 得： ，所以 ，故A正确；
令 得： ，即 ，故B正确；
展开式的第 项为： ，
所以 ，即 ，所以 ，故C错误；
令 得： ，
所以 ，故D正
确；
11
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学科网（北京）股份有限公司故选：ABD
11.已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点
B．点 是曲线 的对称中心
C． 有三个零点且三个零点的和为0
D．直线 是曲线 的切线
【答案】ABC
【分析】求出函数的导数，判断函数单调性，可判断极值点，判断A；计算
可判断B；根据函数的单调性结合零点存在定理以及设这3个零点
为 ，利用 ，求得零点和，判断C；根据导数的几
何意义可判断D.
【详解】因为函数 ，所以 ，
令 ，
当 或 时， ， 在 上都单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
故 为函数的极大值点， 为函数的极小值点，
12
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学科网（北京）股份有限公司即 有两个极值点，A正确；
因为 ，
故点 是曲线 的对称中心，B正确；
由A可知 有两个极值点 ，且 ，
，
结合 的单调性可知函数在 各有一个零点，
即函数 有3个零点；
由于 ，故 之间的零点处于 内，
不妨设这3个零点为 ，且 ，
满足 ，
即
，
故 ，C正确；
不妨设直线 是曲线 的切线，则满足 ，
则 ，即切点坐标为 ，
而 ，
13
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学科网（北京）股份有限公司说明假设不成立，即直线 不是曲线 的切线，D错误，
故选：ABC
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若 的展开式中常数项为 ，则 的最小值为__________.
【答案】3
【解析】由 ，有 ，
令 ，即 ，故 ，
即 ，即 ，则 ，
当且仅当 或 时，等号成立，
故 的最小值为 .
故答案为：3
13.若随机变量 ，随机变量 ，则 __________.
【答案】
14
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学科网（北京）股份有限公司【解析】由 可知： ，
又因为 ，所以 ，
，
则 ，
故答案为：
14.已知函数 在 处取得极大值，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由 以及导数、极大值等知识对问题进行分析，利用构造函数法，
结合导数来求得 的取值范围.
【详解】 的定义域是 ，
，
由于函数 在 处取得极大值，
15
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
且 在 上 单调递增，
在 上 单调递减，
所以 单调递减，
所以 ，
所以 ，构造函数 ，显然 ，
，所以 在区间 上 单调递增，
在区间 上 单调递减，
所以 是 的极大值也即是最大值，
所以 ，也即 的取值范围是 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19
题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.设等比数列 的前 项和为 ，已知 .
16
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学科网（北京）股份有限公司（1）求数列 的通项公式.
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比数列基本量的计算可得 ， ，即可求解公比得
解，
.
（2）利用错位相减法求和即可求解
【小问1详解】
由 以及 可得 ，
又 ，故 ，
因此公比 ，
故
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司，
则 ，
，
两式相减可得 ，
，
，
.
16.某城市人口数量950万人左右，共900个社区．在实施垃圾分类之前，随机
抽取300个社区，并对这300个社区某天产生 垃的圾量（单位：吨）进行了调查，
每个社区在这一天的垃圾量X大致服从正态分布 ．将垃圾量超过32吨
天的社区确定为“超标”社区．
（1）请利用正态分布知识估计这900个社区中“超标”社区的个数；(结果取整
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学科网（北京）股份有限公司数部分)
（2）通过研究样本原始数据发现，抽取的300个社区中这一天共有7个“超
标”社区，市政府决定对7个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划
在这7个“超标”社区中任取4个进行跟踪调查，已知这7个社区中有3个社区
在这一天的垃圾量超过35吨．设 为抽到的这一天的垃圾量超过35吨的社区个
数，求 的概率分布与数学期望；
（3）用样本的频率代替总体的概率，现从该市所有社区中随机抽取50个社区，
记 为这一天垃圾量超过32吨的小区的个数，求 的值．
(参考数据： ； ；
； )
【答案】（1）
（2）分布列见解析；期望为
（3）0.35
【解析】
【分析】（1）由题意 ，利用 原则可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）利用超几何分布的概率公式求分布列，进而得到期望；
（3）由二项分布可求.
【小问1详解】
因为该市人口数量在950万人左右的社区这一天的垃圾量 大致服从正态分布
，
所以 ，
因为 ，
所以这 个社区中“超标”社区的个数为 .
【小问2详解】
由题可知随机变量 的取值为：0，1，2，3，
则 ， ，
， ，
所以， 的分布列为：
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学科网（北京）股份有限公司则 .
【小问3详解】
由（1）可知随机变量
所以 ，
所以 的值约为0.35．
17. 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2） ， ，求 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导得 ，分 是否小于0进行讨论即可求解；
（2）显然 时，不等式恒成立，所以原题条件等价于 ，在
上恒成立，构造函数 ， ，利用导数求得其最大
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学科网（北京）股份有限公司值即可得解.
【小问1详解】
的定义域为 ， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
【小问2详解】
当 时， 显然成立，此时 可为任意实数；
当 时，由 ， 在 上恒成立，得 ，
令 ， ，
则 ，
设 ，由（1）可知， 在 上单调递增，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
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学科网（北京）股份有限公司则 ，所以 ，
综上，实数 的取值范围为 .
18.ChatGPT作为一个基于大型语言模型的聊天机器人，最近成为全球关注的焦
点.ChatGPT是一个超强的AI，它能像人类一样聊天交流，甚至能完成撰写邮件、
文案、写论文、答辩、编程等任务.专家预言，随着人工智能技术的发展，越来
越多的职业可能会被ChatGPT或其他类似的人工智能工具所取代.某地区为了了
解ChatGPT的普及情况，统计了该地区从2023年1月至5月使用ChatGPT的用
户人数y（万人），详见下表：
x（月份） 1 2 3 4 5
y（万人） 3.6 6.4 11.7 18.8 27.5
（1）根据表中数据信息及模型① 与模型② ，判断哪一个模型
更适合描述变量x和y的变化规律（无需说明理由），并求出y关于x的经验回
归方程；
（2）为了进一步了解人们对适应人工智能所将带来的职业结构变化的自信程度
（分为“基本适应”和“不适应”）是否跟年龄有关，某部门从该地区随机抽取300
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学科网（北京）股份有限公司人进行调查，调查数据如下表：
基本适应 不适应
年龄小于30岁 100 50
年龄不小于30岁 75 75
根据小概率 的独立性检验，分析该地区对职业结构变化的自信程度是否
与年龄有关.
附参考数据： ， ； ，
.
15 55 979 68 264 1122
0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】（1）模型②，
（2）认为该地区对职业结构变化的自信程度与年龄有关
【解析】
【分析】（1）根据数据分析，函数和一次函数模型差距较大，选择模型②：
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学科网（北京）股份有限公司. 然后结合线性回归分析，求得函数 ;
（2）列联表，计算卡方，然后对比 的数据，做出判断即可；
【小问1详解】
选择模型②： .
记 ，则 .
由题知， ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，即y关于x的回归方程为 .
【小问2详解】
由题意，得到列联表：
基本适应 不适应 合计
年龄不小于30岁 75 75 150
年龄小于30岁 100 50 150
合计 175 125 300
，
根据 的独立性检验，认为该地区对职业结构变化的自信程度与年龄有关，
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学科网（北京）股份有限公司此推断犯错误的概率不大于0.01.
19. 定义：若曲线 或函数 的图象上的两个不同点处的切线互相
重合，则称该切线为曲线 或函数 的图象的“自公切线”.
（1）设曲线C： ，在直角坐标系中作出曲线C的图象，并判
断C是否存在“自公切线”？（给出结论即可，不必说明理由）
（2）证明：当 时，函数 不存在“自公切线”；
（3）证明：当 ， 时， .
【答案】（1）图象见解析，存在“自公切线”
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将曲线C： 方程变形，由圆的函数图象作出其
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学科网（北京）股份有限公司图象，结合“自公切线”定义即可判断.
（2）结合“自公切线”定义将所证不等式转化为证明 在 上单调即可，
构造函数，利用导数研究其单调性，即可证明.
（3）根据 将所证不等式转化为证明 ，构造
函数 ，利用导数研究其最值证明 ，进一步转化为
证明 ，，设 ，求导，利用（2）
的结论，得 在 上单调递增，即可证明.
【小问1详解】
曲线C： ，当 时， ，表示以点 为圆心，
半径为 的部分圆弧，当 时， ，表示以点 为圆心，半径为
的半圆圆，从而图象如下：
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学科网（北京）股份有限公司由图象可知，存在“自公切线”；
【小问2详解】
由题意， ，下面只需证明 在 上单调即可，
令 ，则 ，
当 时， ，此时 单调递减，即 单调递减；
当 时， ，此时 单调递减，即
单调递减；
综上所述，当 时， 在 上单调递减，
所以 在不同点处的切线斜率不同，所以图象不存在“自公切线”，得证.
【小问3详解】
， ，
故只需证明 ，
即只需证明 ，
构造函数 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，从而 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
故只需证 ，
设 ，注意到 ，
，注意到 ，
令 ，则由（2）知， ，
且由（2）知， 在 上单调递减，所以 ，
从而 在 上单调递减，所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
从而，当 ， 时， .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明
（或 ），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
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学科网（北京）股份有限公司（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结
构构造辅助函数.
30
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