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2023-2024 学年高二数学期末模拟卷
全解全析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．已知随机变量 ，且 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正态分布曲线的性质即可得解.
【详解】 .
故选：A.
2． 的展开式中常数项为（ ）
A．544 B．559 C．495 D．79
【答案】B
【分析】若要展开式中出现常数项，需考虑六个括号 中每个括号提供哪些项，分三种情况解决
即可.
【详解】展开式中的常数项分三种情况：
第一种，六个括号 都提供 ，此时得到 ；
第二种，六个括号中一个括号提供 ，两个括号提供 ，三个括号提供 ，此时得到
；
第三种，六个括号中两个括号提供 ，四个括号提供 ，此时得到 ，
所以展开式的常数项为 ，
故选：B.
3．若函数 在 上不单调，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
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1
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
【答案】B
【分析】求导，分析可知 在 内有根， 在 内有根，结合零点存在性定理分析
求解.
【详解】由题意可知： 的定义域为 ，且 ，
因为 在 上不单调，等价于 在 上有极值点，
等价于 在 内有根，即 在 内有根，
结合 的形式特征可得：原题意等价于 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：B.
4．有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备
将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将4个盒子进行全排，若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，则前两个盒子都
是白球或都是黑球，分别计算出排列数，即可得到答案.
【详解】将4个盒子按顺序拆开有 种方法，
若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，
则前两个盒子都是白球或都是黑球，有 种情况，
则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为 .
故选：B
5．已知X的分布列为
0 1
且 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
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2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】D
【分析】先根据分布列的性质求 的值，可求出 ， ，进而可求 .
【详解】由 可得 .
所以 ， ，
所以 .
故选：D
6．小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉
小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由古典概率公式求出 ，再由全概率公式求出 ，
最后由条件概率求出 即可.
【详解】用 表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球，用 表示丢掉的小球为红球， 表示丢掉的小
球为黑球，
则 ， ，
由全概率公式可得
，
所以 ，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：条件概率公式为 ，全概率公式为
.
7．曲线 与曲线 有公切线，则实数 的取值范围是（ ）
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3
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出两曲线的切线方程，再构造函数 ，利用导数求得单调性和最值，即可求
得 的取值范围.
【详解】两个函数求导分别为 ，
设 ， 图象上的切点分别为 ， ，
则过这两点处的切线方程分别为 ， ，
则 ， ，所以 ，
设 ， ， ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ， .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的定义得到 ，从而构造函数
即可得解.
8．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】 与 运用作差法比大小，再把 看作 ，可构造函数 ，求导并借助函
数的单调性，可得到 ； 与 运用作差法比大小，再把 看作 ，可构造函数
，求导并借助函数的单调性，可得到 .从而得到 .
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4
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ，所以 ，即 ；
令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 ，即 .
所以 .
故选: .
【点睛】方法点睛：比较代数式大小的常见方法有：
（1）利用函数单调性；
（2）利用中间量；
（3）构造函数.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知 下列说法正确的是（ ）
A．若 则
B．若 则
C．若 则
D．若事件 互斥，事件 独立，事件 独立，则
【答案】AB
【分析】由条件概率公式结合已知可得 ，然后可判断A；由和事件的概率公式可判断
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5
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B；条件概率公式结合 可判断C；由条件概率公式和互斥事件、独立事件的概率关系可
判断D.
【详解】 ， ， ，A
对．
，B对．
， ， ，
不一定与 相等，C错．
， ，
， ，D错．
故选：AB
10．给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A．若 .则
B．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有 种
C．从6双不同颜色的鞋子中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有240种
D．西部某县委将7位大学生志愿者 男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独
成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有104种
【答案】ACD
【分析】利用赋值法判断A，根据分步乘法计数原理判断B，先选一双鞋子，再从剩下的 双鞋子中各选
一只，按照分步乘法计数原理判断C，先分组、再分配，即可判断D.
【详解】对于A：二项式 展开式的通项为 （ ），
所以 、 、 ， 、 、 ，
对 ，
令 可得 ，
令 可得 ，
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6
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 ，故A正确；
对于B：公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有 种，故B错误；
对于C：先从 双不同颜色的鞋子中任选一双有 种取法，再从剩余的 双鞋子中的任意两双，在这两
双中各选一只有 ，
由分步乘法计数原理可得从 双不同颜色的鞋子中任取 只，其中恰好只有一双同色的不同取法共有
，故C正确；
对于D：分组的方案有 、 和 、 两类，
第一类有 种；
第二类有 种，
所以共有 种不同的方案，故D正确；
故选：ACD．
11．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）．
A．若 在R上单调递增，则
B．若 ，则过点 能作两条直线与曲线 相切
C．若 有两个极值点 ， ，且 ，则a的取值范围为
D．若 ，且 的解集为 ，则
【答案】AC
【分析】A.由导数和单调性的关系，转化为 恒成立，再利用参变分离，转化为最值问题，即可求
解；B.首先设切点 ，利用导数的几何意义求切线方程，转化为关于切点的方程有2个实数根，利
用导数以及零点存在性定理，即可判断；C.转化为导函数有2个零点，利用数形结合，即可求解；D.首先
求解不等式 ，再将 转化为关于 的式子，即可求解.
【详解】对于A，对 求导得： ，
因为函数 在R上单调递增，所以 恒成立，
即 恒成立，记 ，则 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司因为 ，当 时， ，即函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
因此，函数 在 处取得最大值 ，所以 ，即 ，故选项A正确；
对于B， 时， ， ，
设 图象上一点 ，则 ，
故过点 的切线方程为 ，
将 代入上式得 ，整理得 ，
构造函数 ，则 ，
构造函数 ，则 ，
令 得 ，令 得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
所以函数 单调递增，
又 ， ，
即方程 在区间 仅有一解，从而在R上也仅有一解，
所以过点 只能作一条直线与曲线 相切，B选项错误；
对于C，因为函数 有两个极值点 ， ，
所以 有两个零点 ， ，即方程 有两个解为 ， ，
记 ，因为 ，
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8
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当 时， ，即函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
因此，函数 在 处取得最大值 ，
方程 有两个解为 ， 等价于 与 图像有两个不同公共点，
所以 ，所以 ，C选项正确；
对于D，由 ，得 ，等价于 ，即 ，
当 时， ， ，又 ，故 ，所以 ，
当 时， ， 无解，
故 的解集为 ，
此时 ，
当 时， ， ，从而D错误．
故选：AC．
【点睛】关键点点睛：本题前3个选项都是利用导数解决函数问题，尤其是BC选项，属于函数零点问题，
B选项转化为判断零点各数，C选项是已知零点个数，求参数的取值范围.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量
的线性相关系数分别为 ， ， ， ，则这四人中， 研究的两个随机
变量的线性相关程度最高.
【答案】乙
【分析】根据相关系数的定义判断即可.
【详解】因为 ，所以这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最高，
故答案为：乙.
13．已知 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为
1024，以下结论，正确结论的序号为
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9
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司①展开式中奇数项的二项式系数和为256
②展开式中第6项的系数最大
③展开式中存在常数项
④展开式中含 项的系数为45
【答案】②③④
【分析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知 ，由展开式的各项系数之和为
1024可得 ，则二项式为 ，易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同，利
用二项式系数的对称性判断①②；根据通项判断③④即可.
【详解】对①，由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知 ，
又展开式的各项系数之和为1024，即当 时， ，又 ，所以 ，
所以二项式为 ，
则二项式系数和为 ，则奇数项的二项式系数和为 ，故①错误；
对②，由 可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，
即第6项的二项式系数最大，因为 与 的系数均为1，
则该二项式展开式的二项式系数与系数相同，所以第6项的系数最大，故②正确；
对③，若展开式中存在常数项，由通项 可得 ，解得 ，故③正
确；
对④，由通项 可得 ，解得 ，所以系数为 ，故④正确.
故答案为：②③④.
14．对任意 ，函数 恒成立，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】变形为 ，构造 ，求导得到单调性进而 恒成立，故
，分当 和 两种情况，结合 单调性和最值，得到 ，得到答案.
【详解】由题意得 ，
因为 ，所以 ，
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10
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司即 ，
令 ，则 恒成立，
因为 ，
令 得， ， 单调递增，
令 得， ， 单调递减，
且当 时， 恒成立，当 时， 恒成立，
因为 ，所以 恒成立，故 ，
当 时， ，此时满足 恒成立，
当 ，即 时，由于 在 上单调递增，
由 得 ，
令 ， ，
则 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故 在 处取得极大值，也是最大值， ，
故 ，即 ，所以，a的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现指数函数与对数函数，通常使用同构来进行求解，
本题难点是 两边同时乘以 ，变形得到 ，从而构造
进行求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司15．（13分）已知 ，若 .
(1)求实数m的值；
(2)求 ；
(3)求 的值.
【答案】(1)1
(2)56
(3)2
【分析】（1）利用赋值法即可求解，
（2）利用二项式展开式的通项特征即可求解，
（3）令 ，即可利用赋值法求解.
【详解】（1）因为 ，
令 ，可得 ，解得 ；...............................................6分
（2）由（1）可知： ， 为一次项系数，
由于 ，
故一次项为 ，所以，
（3）由（1）可知： ，且 ，
令 ，可得 ，
则 ，
所以 .......................................13分
16．（15分）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，
某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：
月份 1 2 3 4 5
带货金额 /万
350 440 580 700 880
元
(1)计算变量 ， 的相关系数 （结果精确到0.01）.
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12
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)求变量 ， 之间的线性回归方程，并据此预测2023年7月份该公司的直播带货金额.
参考数据： ， ， ，
， ．
参考公式：相关系数 ，线性回归方程的斜率 ，截距
.
【答案】(1)0.99
(2) ；预测2023年7月份该公司的直播带货金额为1118万元
【分析】（1）直接代入求相关系数即可；
（2）根据线性回归方程求解回归方程即可.
【详解】（1）
................................................7分
（2）因为 ， ， ，
，
所以 ， ，
所以变量 ， 之间的线性回归方程为 ，
当 时， （万元）.
所以预测2023年7月份该公司的直播带货金额为1118万元...............................................15分
17．（15分）镇海中学篮球训练营有一项三人间的传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次
传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.若刚好抽到甲乙丙三个
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记 次传球后球在甲手中的概率为 ，
(1)写出 ， ， 的值;
(2)求 与 的关系式 ，并求 ;
(3)第1次仍由甲将球传出，若首次出现连续两次球没在甲手中，则传球结束，记此时的传球次数为 ，求
的期望.
【答案】(1) ， ， ；
(2) ， ；
(3)4
【分析】（1）分析传球的情况，写出 ， ， 的值；
（2）分析传球 次时的情况，得到 与 的关系式，利用待定系数法，构造新数列，求出新数列的
通项公式，从而得到 的通项公式；
（3）分析传球两次结束的情况，以及传球两次后求回到甲手中的情况，列出关系式，求出 .
【详解】（1）传球一次，球一定不在甲手中，所以 ；
传球两次，球在甲手中时，有两种情况，甲 乙 甲，甲 丙 甲，
所以 ；
传球三次，球在甲手中，说明传球两次时球不在甲手中，概率为 ，此时传给甲的概率为 ，所以
.
................................................4分
（2）传球 次时球在甲手中，说明传球 次时球不在甲手中，概率为 ，
此时，传球给甲的概率为 ，所以有 ，
所以 ，
所以 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司因为 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
，
故 与 的关系式为 ， ................................................9分
（3） 的最小取值为2，表示传球2次后，球连续两次不在甲手中，
有两种情况，甲 乙 丙，甲 丙 乙，
所以 ，
若传球2次后，球在甲手中，则回到了最初的状态，
所以有 ，
即 ，解得 ，
所以 的期望为4..............................................15分
18．（17分）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点，求实数 的取值范围；
(3)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
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15
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】（1）求导，分 和 讨论判断 正负，得解；
（2）根据题意，问题转化为 有两解，令 ，利用导数判断函数的单调性极值情
况得解；
（3）根据题意，问题转化为 ，对 恒成立．当 时，上式显然成
立；当 时，上式转化为 ，令 利用导数求出最值得解.
【详解】（1） ， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增．
当 时，令 ，则 ．
若 ，即 时， 恒成立，所以 在 上单调递增．
若 ，即 时，方程 的根为 ，
当 时， 或 ， 在 和 上单调递
增；
当 时， ， 在 上单调递减．
综上所述，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 和
上单调递增，
在 上单调递减．...............................................5分
（2）令 ，则 ．
令 ，则 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以当 时， ， 在 上单调递减．
当 时， ， 在 上单调递增．
又当 时， ，且 ；当 时， ，
所以当 时， 先减后增，且在 处有最小值 ，
此时直线 与 有两个交点，
所以实数 的取值范围为 ．................................................11分
（3）因为 ，即 ，
即 ，对 恒成立．
当 时，上式显然成立；
当 时，上式转化为 ，
令 ， ，
，所以函数 在 上单调递增，
， ，
综上所述，实数 的取值范围为 .................................................17分
【点睛】关键点睛：第三问解题的关键是转化为 在 上恒成立，构造函数并利用导数研
究单调性求最值，进而确定参数范围.
19．（17分）在计算机科学中， 维数组 是一种基础而重要的数据结构，
它在各种编程语言中被广泛使用．对于 维数组 ， ，定义 与 的差为
与 之间的距离为 ．
(1)若 维数组 ，证明： ；
(2)证明：对任意的数组A，B，C，有 ；
(3)设集合 中有 个 维数组，记 中所有两元素间的距离的平均值为 ，证明：
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，结合新定义判断证明；
（2）根据新定义，因为 ，分 和 两种情况证明；
（3）根据题意结合排列组合的知识表示 的式子，然后结合组合数和基本不等式进行放缩即可证得结
论.
【详解】（1）设 与 的对应项中同时为0的有 个，同时为1的有 个，则对应
项不同的为 个，所以 ．
所以 ．..............................................4分
（2）设 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ．
所以当 时， ，
当 时，
所以 .............................................10分
（3）记集合P中所有两个元素间距离的总和为 ，
则 ．
设集合 中所有元素的第 个位置的数字共有 个 个0．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则 ，因为 ，
所以 ．所以 .
所以 ..............................................17分
【点睛】思路点睛：第一问，设 与 的对应项中同时为0的有 个，同时为1的有
个，根据A与B之间的距离 的定义，求出 ， ， 可证；第二
问，设 ，先由A与B的差的定义求出 ，再求
出 ，分 和 讨论证明；第三问，记集合P中所有两个元素间距离的总和为
，可得 ，设集合 中所有元素的第 个位置的数字共有
个 个0，则 ，结合组合数和基本不等式进行放缩即可证得结论.
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19
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