2006年湖南高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_湖南

2006 年湖南高考文科数学真题及答案 本试题卷他选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分. 选择题部分1至2页. 非选择题部分3至5页. 时量120分钟. 满分150分. 参考公式: 如果事件A、B互斥，那么P(AB) P(A)P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(AB)  P(A)P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的 概率是P (k)CkPk(1P)nk n n 4 球的体积公式 V  R3,球的表面积公式S 4R2，其中R表示球的半径 3 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．函数y  log x 的定义域是 2 A．(0,1］ B. (0,+∞) C. (1,+∞) D. ［1,+∞)       2．已知向量a (2,t),b (1,2),若t t 时，a∥b ；t t 时，a b，则 1 2 A．t  4,t  1 B. t  4,t 1 1 2 1 2 C. t  4,t  1 D. t  4,t 1 1 2 1 2 3. 若(ax1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是 A．-2 B. 2 2 C. 3 4 D. 2 4．过半径为12的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截 面的面积是 A．π B. 2π C. 3π D. 2 3 5．“a=1”是“函数 f(x) xa 在区间［1，＋∞）上为增函数”的 A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6．在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列 个数是 A．6 B. 12 C. 18 D. 24 7．圆x2 y2 4x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是 第1页 | 共9页A．36 B. 18 C. 6 2 D. 5 2 8．设点P是函数 f(x)sinx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离  的最小值 ，则 f(x)的最小正周期是 4   A．2π B. π C. D. 2 4 y2 9．过双曲线M：x2  1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线 h2 分别相交于点B、C，且 AB  BC ，则双曲线M的离心率是 5 10 A． B. C. 5 D. 10 2 3 10. 如图1：OM∥AB，点P 由射线OM、线段OB及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且 B OPxOAyOB，则实数对（x,y）可以是 M 1 3 2 2 A．( , ) B. ( , ) A 4 4 3 3 O 图1 1 3 1 7 C. ( , ) D. ( , ) 4 4 5 5 二．填空题：本大题共5小题，每小题４分，共20分，把答案填在答题上部 对应题 号的横上. 11. 若数列a 满足：a 1,a 2a .n1，2，3….则a a  a  . n 1 n1 n 1 2  n 12. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的 一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴 趣班的平均成绩是 分. x1  13. 已知xy10 则x2 y2的最小值是 .  2xy20 14. 过三棱柱 ABC－ABC的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABBA平行的直线共有 1 1 1 1 1 条.   15. 若 f(x)asin(x )3sin(x )是偶函数，则a= . 4 4 三．解答题：本大题共６小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分１２分）  sin( 2) 2 已知 3sin cos1,(0,),求θ的值. cos() 第2页 | 共9页17.（本小题满分１２分） 某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不合格，则必须 整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且 每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到 0.01)： (Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率； (Ⅱ)某煤矿不被关闭的概率； (Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率. P 18.（本小题满分１4分） 如图2，已知两个正四棱锥P-ABCD与 D Q-ABCD的高都是2，AB=4. C (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD； B A (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角； (Ⅲ)求点P到平面QAD的距离. 19.（本小题满分14分） Q 图2 3 已知函数 f(x)ax3 3x2 1 . a （Ｉ）讨论函数 f(x)的单调性； （Ⅱ）若曲线y f(x)上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点， 求实数a的取值范围. 20.（本小题满分14分） 在m（m≥2）个不同数的排列PP…P中，若1≤i＜j≤m时P＞P（即前面某数大于后 1 2 n i j 面某数），则称P与P构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记 i j 排列(n1)n(n1) 321的逆序数为 a，如排列 21 的逆序数a 1，排列 321 的逆序数  n 1 a 6. 3 （Ⅰ）求a、a，并写出a的表达式； 4 5 n a a （Ⅱ）令b  n  n1 ，证明2nb b  b 2n3，n=1,2,…. n 1 2  n a a n1 n 21.（本小题满分14分） x2 y2 已知椭圆C：  1，抛物线C：(ym)2 2px(p0)，且C、C的公共弦AB过 1 2 1 2 4 3 椭圆C的右焦点. 1 （Ⅰ）当ABx轴时，求p、m的值，并判断抛物线C的焦点是否在直线AB上； 2 4 （Ⅱ）若 p 且抛物线C的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程. 2 3 第3页 | 共9页2006年湖南高考文科数学真题参考答案 1－10：DCDAABCBCDC 11.2n 1 12. 85 13. 5 14. 6 15. -3 . cos2 16. 解 由已知条件得 3sin cos1. cos 即 3sin2sin20. 3 解得sin 或sin0. 2 3  2 由0＜θ＜π知sin ，从而 或 . 2 3 3 17. 解 （Ⅰ）每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所 5 以恰好有两家煤矿必须整改的概率是P C2(10.5)20.53  0.31. 1 5 16 （Ⅱ）解法一 某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格， 所以该煤矿被关闭的概率是P (10.5)(10.8)0.1，从而煤矿不被关闭的概率是0.90. 2 解法二 某煤矿不被关闭包括两种情况：（i）该煤矿第一次安检合格；（ii）该煤矿第 一次安检不合格，但整改后合格. 所以该煤矿不被关闭的概率是P 0.5(10.5)0.80.90. 2 (Ⅲ)由题设（Ⅱ）可知，每家煤矿不被关闭的概率是0.9，且每家煤矿是否被关闭是相 互独立的，所以到少关闭一家煤矿的概率是P 10.95 0.41. 3 18. 解法一 （Ⅰ）连结AC、BD，设AC BDO.  由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD. 从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD. （Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD. 由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直 角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，2），A（2 2 ，0，0），Q z （0，0，－2），B（0，2 2 ，0）. P 所以AQ(2 2,0,2) D C O PB(0,2 2,2) B A x y AQPB 4 1 于是cos AQ,PB   . AQ PB 2 32 3 3 Q 第4页 | 共9页1 从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos . 3 (Ⅲ)由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－2 2 ，0），AD(2 2,2 2,0)， PQ(0,0,4)，设n(x,y,z)是平面QAD的一个法向量，由  nAQ0  2xz0  得 . nAD0 xy0 取x=1，得n(1,1, 2). PQn 所以点P到平面QAD的距离d  2 2 . n 解法二 （Ⅰ）取AD的中点，连结PM，QM. 因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥， 所以AD⊥PM，AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM. 又PQ平面PQM，所以PQ⊥AD. 同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD. （Ⅱ）连结AC、BD设AC BDO，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，  从而P、A、Q、C四点共面. P 因为OA＝OC，OP＝OQ，所以PAQC为平行四边形，AQ∥PC. 从而∠BPC（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角. D C 因为PBPC  OC2 OP2  (2 2)2 22 2 3， O M B A PB2＋PC2 BC2 121216 1 所以cosBPC＝   . 2PBPC 22 32 3 3 1 从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos . Q 3 1 1 (Ⅲ)连结OM，则OM  AB2 PQ. 2 2 所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ. 由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD. 从而PM的长是点P到平面QAD的距离. 在直角△PMO中，PM  PO2 OM2  22 22 2 2 . 即点P到平面QAD的距离是2 2 . 2 19. 解 （Ⅰ）由题设知a0, f(x)3ax2 6x3ax(x ). a 2 令 f(x)0得x 0,x  . 1 2 a 第5页 | 共9页当（i）a>0时， 2 若x(,0)，则 f(x)0，所以 f(x)在区间(, )上是增函数； a 2 2 若x(0, )，则 f(x)0，所以 f(x)在区间(0, )上是减函数； a a 2 2 若x( ,)，则 f(x)0，所以 f(x)在区间( ,)上是增函数； a a （i i）当a＜0时， 2 2 若x(, )，则 f(x)0，所以 f(x)在区间(, )上是减函数； a a 2 2 若x(0, )，则 f(x)0，所以 f(x)在区间(0, )上是减函数； a a 2 2 若x( ,0)，则 f(x)0，所以 f(x)在区间( ,0)上是增函数； a a 若x(0,)，则 f(x)0，所以 f(x)在区间(0,)上是减函数. （Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线y f(x)上的两点A、B的纵坐标为函数的极值， 2 3 2 4 3 且函数y f(x)在x0,x 处分别是取得极值 f(0)1 ， f( )  1. a a a a2 a 2 因为线段AB与x轴有公共点，所以 f(0) f( )0. a 4 3 3 (a1)(a3)(a4) 即(  1)(1 )0.所以 0. a2 a a a2 故(a1)(a3)(a4)0,且a0. 解得 －1≤a＜0或3≤a≤4. 即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4]. 20. 解 （Ⅰ）由已知得a 10,a 15， 4 5 n(n1) a n(n1) 21 . n  2 a a n n2 n n2 （Ⅱ）因为b  n  n1   2  2,n1,2, ， n  a a n2 n n2 n n1 n 所以b b  b 2n. 1 2  n n n2 2 2 又因为b   2  ,n1,2, ， n  n2 n n n2 1 1 1 1 1 1 所以b b  b 2n2[(  )(  ) (  )] 1 2  n  1 3 2 4 n n2 2 2 =2n3  2n3. n1 n2 第6页 | 共9页综上，2nb b  b 2n3,n1,2, . 1 2  n  21. 解 （Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为 3 3 x=1，从而点A的坐标为（1， ）或（1，－ ）. 2 2 9 9 因为点A在抛物线上，所以 2p，即 p . 4 8 9 此时C的焦点坐标为（ ，0），该焦点不在直线AB上. 2 16 （Ⅱ）解法一 当C的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB 2 的方程为yk(x1). yk(x1)  由x2 y2 消去y得(34k2)x2 8k2x4k2 120. ……①   1  4 3 设A、B的坐标分别为（x,y）, （x,y）, 1 1 2 2 8k2 则x,x是方程①的两根，x＋x＝ . 1 2 1 2 34k2 因为AB既是过C的右焦点的弦，又是过C的焦点的弦， 1 2 y 1 1 1 所以 AB (2 x )(2 x )4 (x x )，且 A 1 2 1 2 2 2 2 p p 4 AB (x  )(x  )x x  px x  . O x 1 2 1 2 1 2 2 2 3 4 1 从而x x  4 (x x ). B 1 2 1 2 3 2 16 8k2 16 所以x x  ，即  . 1 2 9 34k2 9 解得k2 6,即k  6 . 2 1 因为C的焦点F( ,m)在直线yk(x1)上，所以m k. 2 3 3 6 6 即m 或m . 3 3 6 当m 时，直线AB的方程为y 6(x1)； 3 6 当m 时，直线AB的方程为y 6(x1). 3 解法二 当C的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程 2 为yk(x1).  8 (ym)2  x 8 由 3 消去y得(kxkm)2  x. ……① 3  yk(x1) 第7页 | 共9页2 因为C的焦点F( ,m)在直线yk(x1)上， 2 3 2 1 2k 8 所以mk( 1)，即m k.代入①有(kx )2  x. 3 3 3 3 4 4k2 即k2x2  (k2 2)x 0. ……② 3 9 设A、B的坐标分别为（x,y）, （x,y）, 1 1 2 2 4(k2 2) 则x,x是方程②的两根，x＋x＝ . 1 2 1 2 3k2 yk(x1)  由x2 y2 消去y得(34k2)x2 8k2x4k2 120. ……③   1  4 3 8k2 由于x,x也是方程③的两根，所以x＋x＝ . 1 2 1 2 34k2 4(k2 2) 8k2 从而 ＝ . 解得k2 6,即k  6 . 3k2 34k2 2 1 因为C的焦点F( ,m)在直线yk(x1)上，所以m k. 2 3 3 6 6 即m 或m . 3 3 6 当m 时，直线AB的方程为y 6(x1)； 3 6 当m 时，直线AB的方程为y 6(x1). 3 解法三 设A、B的坐标分别为（x,y）, （x,y）, 1 1 2 2 2 因为AB既过C的右焦点F(1,0)，又是过C的焦点F( ,m)， 1 2 3 p p 1 1 所以 AB (x  )(x  )x x  p(2 x )(2 x ). 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 16 即x x  (4 p) . ……① 1 2 3 9 y y m0 由（Ⅰ）知x  x ，于是直线AB的斜率k  2 1  3m， ……② 1 2 x x 2 2 1 1 3 且直线AB的方程是y3m(x1), 2m 所以y y 3m(x x 2) . ……③ 1 2 1 2 3  3x2 4y2 12 y y 又因为 1 1 ，所以3(x x )4(y y ) 2 1 0. ……④ 3x 2 2 4y 2 2 12 1 2 1 2 x 2 x 1 第8页 | 共9页2 6 6 将①、②、③代入④得m2  ，即m 或m . 3 3 3 6 当m 时，直线AB的方程为y 6(x1)； 3 6 当m 时，直线AB的方程为y 6(x1). 3 第9页 | 共9页