文档内容
高三数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将案写在答题卡上。写在本试卷上
无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：集合，逻辑用语，不等式，函数，导数，三角函数，解三角形，平面
向量，复数，数列。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.关于x的不等式 的解集是 ，那么 （ ）
A. B.-16 C. D.-4
3.已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
4.已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
5.已知等比数列 的公比不为1，且 ， ， 成等差数列，则数列 的公比为（ ）
A.-2 B.2 C.-1 D.
6.已知平面向量 ， 均为非零向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知 的周长为2，面积为S，则（ ）
A.S的最小值为 B.S的最小值为
C.S的最大值为 D.S的最大值为
8.已知函数 满足 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数z满足 ，则（ ）
A. B.
C.z的虚部为8 D.z在复平面内对应的点位于第一象限
10.如图，在等腰梯形ABCD中，E为腰CD的中点， ， ，N是梯形ABCD内
（包含边界）任意一点，AC与BE交于点O，则（ ）
A. B.
C. 的最小值为0 D. 的最大值为
11.已知函数 ，则（ ）
A. 的最大值为
B. 的最小正周期为C.曲线 关于直线 轴对称
D.当 时，函数 有9个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上.
12.已知命题“ ， ”是假命题，则实数m的取值范围是_______.
13.已知 ，函数 在 上单调递增，则 的最大值为_______.
14.若直线 与曲线 有3个交点，则k的取值范围为_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
（1）求C；
（2）若 ，求 .
16.（15分）
已知数列 的首项为 ，且满足 .
（1）证明数列 为等差数列，并求 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 .
17.（15分）
已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论 的单调性.
18.（17分）已知等比数列 的前n项和为 ， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）若 求数列 的前n项和 ；
（3）若存在正整数n，使得 成立，求m的取值范围.
19.（17分）
定义：对于函数 ， ，若 ， ，则称“ ”为
三角形函数.
（1）已知函数 ，若 为二次函数，且 ，写出一个 ，使得“
”为三角形函数；
（2）已知函数 ， ，若“ ”为三角形函数，求实数t的取值范围；
（3）若函数 ， ，证明：“ ”为三角形函数.
（附： ）高三数学试卷参考答案
1.C ， ，则 .
2.A由题可知 即 则 .
3.B ， ， ，所以 .
4.C因为 ，且 ，所以 ，所以 ，因
为 ，所以 .
5.A设等比数列 的公比为q，由 ， ， 成等差数列，得 ，整理得 ，
则 .
6.B由 可得 ，平方可得 ，解得
，所以 ， 反向，故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
7.D设a，b为 的直角边，c为斜边，则 可得 ，即
，因为 ，所以 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，则 ，
.
8.D令 ，得 ，则 ，则
， ，…， ，将以上各式相加得，所以
.
9.ACD由题可知 ，则 ， ，z的虚部为
8，z在复平面内对应的点为 ，位于第一象限，故选ACD.
10.ABD ，A正确；设 ，则
，因为A，O，C三点共线，所以 ，解得 ，B正确；由
， ，可得 ，结合向量数量积的定义式，可知 等于 的模与
在 方向上的投影的乘积，易知当点N位于点B时， 取得最小值，最小值为
，C错误；当点N为位于点C时，
取得最大值，最大值为
，D正确.
11.BC ，当 时， 取得最大值，且
最大值为 ，A错误.
因为 ， 的最小正周期均为 ，所以 的最小正周期为 ，B正确.因为 ，所以曲线
关于直线 轴对称，C正确.
令 ，得 ，则 ，结合函数 的图
象（图略），可知方程 在 上有8个不同的实根，D错误.
12. 由题意得“ ， ”是真命题，故 ，因为 ，
所以实数m的取值范围是 .
13. 因为 ，所以 ，又 在
上单调递增，所以 解得 ，则 的最大值为 .
14. 由 ，可得 ，则 在 上单调递减，在 上单
调递增，且当 时， ，直线 恒过点 ，当直线 与曲线
相切于点 时， 即 .令
，则 ，所以 在R上单调递增，因为 ，所以
， ，结合图象（图略）可知，若直线 与曲线 有3个交点，则k的取
值范围为 .15.解：（1）由正弦定理可得 ，……2分
所以 ， ，得 ，…………4分
因为 ，所以 .…………6分
（2）由余弦定理可得 ，…………9分
因为 ，所以 ，化简可得 ，…………11分
则 ，所以 .…………13分
16.解：（1）因为 ， ，
若 ，则 ，与 矛盾，
所以 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，…………2分
所以数列 是首项为3，公差为2的等差数列.…………4分
，故 .…………7分
（2） ，…………10分
所以 .…………15分17.解：（1）当 时， ， ，…………1分
可得 ， ，即切点坐标为 ，切线斜率 ，…………3分
所以切线方程为 ，即 .…………5分
（2） .…………6分
①当 时，由 ，得 或 .
若 ，则当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减.…………9分
若 ，则 ， 为R上的增函数.
若 ，则当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减…………13分
②当 时，由 ，得 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.…………15分18.解：（1）设等比数列 的公比为q，则 ，…………2分
，解得 ，…………3分
所以 .…………4分
（2）由（1）可得
则 ，…………6分
当n为偶数时，令 ，则 ，…………8分
当n为奇数时， .
所以 …………10分
（3） ，…………12分
存在正整数n，使得 成立.
当n为偶数时， ， ，由 可得
.…………13分因为 单调递增，所以 的最小值为 ；因为 单调递减，所以 的最大值为 .故
.…………14分
当n为奇数时， ， ，由 可得
.…………15分
因为 单调递减，所以 的最大值为 ；因为 单调递增，所以 的最小值为 .故
.…………16分
综上，m的取值范围是 .…………17分
19.（1）解：由 ，可得 ，令 ，解得 ，令 ，解得
，可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 .…………2分
因为“ ”为三角形函数，所以 ， .
因为 ，所以 的图象关于直线 对称，又 为二次函数，所以
.（答案不唯一，只需满足 ，且 ， 即可）…………4
分
（2）解： .
当 ，即 时， ，此时 ，满足 ，符合题
意；…………5分当 ，即 时， 是 上的减函数，所以 的值域为 ，
因为 ， ，所以 ，得 ；……………7分
当 ，即 时， 是 上的增函数，所以 的值域为 ，
因为 ， ，所以 ，得 .…………9分
综上，实数t的取值范围是 .…………10分
（3）证明：由题可知 ，
设 ，则 在 上恒成立，所以 在
上单调递减，………………11分
又 ， ，
所以存在 ，使得 ，即 ①.…………12分
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减.…………13分
故当 时， 取得唯一极大值，也是最大值，令 的最大值为M，
则 ，…………14分
将①式代入上式，可得 .…………15分令 ， ，则由 ，可知 在 上单调递
增，…………16分
故 ， 成立.
故“ ”为三角形函数.…………17分
