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2024 学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案
高二年级数学学科
命题：嘉兴一中
金华一中
审核：玉环中学
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. B
2.B
3.A
4.C
5.C
6.A
7.D
8.C
二、多项选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9. ACD
10.ACD
11.AD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12. 23
13. 2
14.
]
2
1
,0
[
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（1）当
2
n
时，
2
2
1
1
2
1
n
n
n
a
S
S
n
n
n
，…………………………3 分
当
1
n
时，
1
1
1
a
S
，符合上式，……………………………………………5 分
所以
2
1
na
n
；…………………………………………………………………7 分
（2）由（1）可知，
1
1
1
1
1
1
(2
1)
2
1
2 2
1
2
1
n
n
n
b
a a
n
n
n
n
，…………10 分
所以
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
5
2
1
2
1
2
1
n
n
n
T
b
b
b
n
n
n
.……13 分
16.（1）曲线
3
4
2
x
x
y
与坐标轴的交点为
)
3,0
(
),
0,3
(
),
0,1(
………………………3 分
由题意可设C 的圆心坐标为
)
,2
(
t ，
所以
2
2
2
2
)
3
(
)
0
2
(
)
0
(
)1
2
(
t
t
，解得
2
t
，……………………………………6 分
所以圆C 的方程为
5
)
2
(
)
2
(
2
2
y
x
.……………………………………………………7 分
（2）由题意得
60
PCA
，在Rt △PCA 中，
5
2
2
r
PC
，…………………10 分
设
)
2
2,
(
a
a
P
，则
20
)
2
2
2
(
)
2
(
2
2
2
a
a
PC
，解得
0
a
或
4
a
，………13 分
所以点P 的坐标为
)
2
,0
(
或
)
6,4
(
. ……………………………………………………………15 分
17.（1）取PA 中点F ，连接
,
EF BF ，由条件可知，EF 是
PAD
△
的中位线，
所以
1
2
EF
AD
，又因为
1
2
BC
AD
，所以EF BC
，
所以四边形EFBC 是平行四边形，……………………………………3 分
所以CE
BF
，又因为CE 平面PAB ，BF 平面PAB ，
所以CE 平面PAB ；…………………………………………………6 分
（2）取AD 中点O ，连接
,
PO OC ，由条件可知，在等腰直角三角形PAD 中，
1
PO ，
{#{QQABSQahxgiQkBbACS5qAQUECgkQkJCgJcoERVCYKAQLAJFIFAA=}#}
在直角梯形ABCD 中，
1
CO ，由
2
2
2
PO
OC
PC
，故PO
OC
，
又因为PO
AD
，
,
AD OC 平面ABCD ，AD
CO
O
，
所以PO 平面ABCD ，………………………………………………7 分
如图以O 为坐标原点，分别以OA 、OC 、OP 为x 轴、y 轴、z 轴，
建立空间直角坐标系
xyz
O
，
则
1,0,0 ,
1,1,0 ,
0,0,1 ,
0,1,0 ,
1,0,0
A
B
P
C
D
，……………………………………9 分
故
1
1
,0,
2
2
E
，
3
1
1,0,0 ,
,1,
,
0,1,0 ,
1,0,1
2
2
BC
EB
AB
AP
，
设平面EBC 的一个法向量为
1
1
1
1
,
,
n
x y z
，则
,0
,0
1
1
EB
n
BC
n
得
1
1
1
1
0,
3
1
0,
2
2
x
x
y
z
取
1
0,1,2
n
，……………………………………………………………………………………11 分
设平面PAB 的一个法向量为
2
2
2
2
,
,
n
x
y
z
，则
,0
,0
2
2
AP
n
AB
n
得
2
2
2
0,
0,
y
x
z
取
2
1,0,1
n
，……………………………………………………………………………………13 分
设平面EAB 与平面PAB 的夹角为，则
1
2
1
2
10
cos
5
n n
n n
，
即平面EAB 与平面PAB 夹角的余弦值为
10
5
.…………………………………………………15 分
18. （1）由题意知：
2
1
4
2
a
c
a
，
，解得
1
2
c
a
，
，故
2
2
2
3
b
a
c
，
所以椭圆C 的方程为
1
3
4
2
2
y
x
. ………………………………………………………………4 分
（2）（i）由题可知A 是MN 的中点，即
|
|
|
|
AN
AM
，且
OQ
OP
，
易知
AM
QA
S
AN
PA
S
2
1
2
1
2
1
，
，故
3
1
2
1
QA
PA
S
S
，故A 是OP 的中点.…………5 分
①当
0
k
时，易知
)
0,1
(
),
0,2
(
A
P
，此时
1
t
；
②当
0
k
时，由
，
，
1
3
4
2
2
y
x
kx
y
得
12
)
4
3
(
2
2
x
k
，
由条件可知
)
4
3
3
,
4
3
3
(
),
4
3
3
2
,
4
3
3
2
(
2
2
2
2
k
k
k
A
k
k
k
P
，
故直线MN 的方程为：
)
4
3
3
(
1
4
3
3
2
2
k
x
k
k
k
y
，…………………………………7 分
{#{QQABSQahxgiQkBbACS5qAQUECgkQkJCgJcoERVCYKAQLAJFIFAA=}#}
由直线MN 过点
)
0
)(
0,
(
t
t
T
，故
2
2
4
3
)1
(
3
k
k
t
．…………………………………………9 分
由
b
OA |
|
可知
3
4
3
1
3
|
|
2
2
k
k
OA
得
R
k
，又
0
k
，故
0
k
，
此时令
)
3
(
4
3
2
u
k
u
，则
)
1
(
4
3
u
u
t
，当
)
,3
(
u
时，t 单调递减，故
1
t
.
综上，t 取值范围是
]1
,
(
．……………………………………………………………………11 分
（ii）由题得
OP
AN
QA
PA
AN
AM
QA
AN
PA
S
S
)
(
2
1
2
1
2
1
2
1
，……12 分
由（ⅰ）可知
2
2
4
3
3
2
1
k
k
OP
，
2
1
k
t
OA
，故
2
2
1
3
k
t
AN
，………14 分
所以
2
2
2
2
1
4
3
3
3
3
2
k
k
t
S
S
，当
4
3
3
3
2
t
，即
2
3
t
，
2
1
S
S
为定值3.
………17 分
19．（1）由题可知，
1
1
1
2
2
1
1
2
6,
min
,
1 5
6
c
a
b
c
b
c a
a
，…………………2 分
1
2
2,4 ,
3,1
P
P
，所以
2
2
1
2
2
3
4 1
10
PP
.
…………………………………4 分
（2）若
1
1
2
2
12,
10,
2,
7
a
b
a
b
，则
1
1
1
22
c
a
b
，
2
7
min 22,14
21
c
，
若
1
1
2
2
2,
7,
12,
10
a
b
a
b
，则
1
1
1
9
c
a
b
，
2
10
min 9,14
19
c
综上：
2c 的可能取值为21或19.
…………………………………………………………………8 分
（3）当
2
n
时，
1
1
2
1
1
2
min
,
min
,
n
n
n
n
n
n
n
n
c
b
c
a
a
a
c
b a
a
a
b
，
所以
1
1
1
c
a
b
，
2
1
1
2
1
2
2
min
,
c
a
b
b a
a
b
，
3
1
1
2
3
1
2
2
3
1
2
3
3
min
,
,
c
a
b
b
b a
a
b
b a
a
a
b
，
4
1
1
2
3
4
1
2
2
3
4
1
2
3
3
4
1
2
3
4
4
min
,
,
,
c
a
b
b
b
b a
a
b
b
b a
a
a
b
b a
a
a
a
b
…
即
1
1
1min
n
i
i
i
n
i n
c
a
a
b
b
b
，
故
nc 是下述“ Z ”型折线中的各数之和的最小值. ………………………………………………11 分
下面尝试寻求
5c 的最大值，为了使得和尽量的大，上述“ Z ”型折线应该尽量经过较大的数字，
故我们可以尝试下述填法：
此时不难进一步得到下述填法：
{#{QQABSQahxgiQkBbACS5qAQUECgkQkJCgJcoERVCYKAQLAJFIFAA=}#}
1
1
1
2
3
4
5
32,
10
32
42,
1 38
39,
7
39
46,
12
46
58
c
a
b
c
c
c
c
.……14 分
下面我们证明58是
5c 的最大值，设存在某种填法，使得
5
59
c
，
情形一：若
1
20
a
，则
5
1
1
2
3
4
5
1 +42
54
c
a
b
b
b
b
b
a
，矛盾，从而
1
20
a
；
情形二：
1
20
a
，则
1
12
b
，此时填法如下
从而
5
2
2
3
4
5
2
59
20
50
c
a
b
b
b
b
a
，所以
2
9
a
，所以
2
12
a
，
（1）若填法为
则
5
3
3
4
5
3
59
20 12
50
c
a
b
b
b
a
，所以
3
9
a
，所以
3
12
a
，
故填法如下：
则
5
4
4
5
4
59
20 12 12
52
c
a
b
b
a
，所以
4
7
a
，矛盾，舍；
（2）若填法为
同（1）可知此时不成立，舍；
综上，
5c 的最大值为58，且所有可能的填法如下：
即取到最大值的
,
n
n
a
b
如下：
①
1
2
3
4
5
,
,
,
,
20,12,6,2,12
a a a a a
，
1
2
3
4
5
,
,
,
,
12,10,1,7,12
b b b b b
，
②
1
2
3
4
5
,
,
,
,
20,12,6,12,2
a a a a a
，
1
2
3
4
5
,
,
,
,
12,10,1,12,7
b b b b b
，
③
1
2
3
4
5
,
,
,
,
20,12,12,6,2
a a a a a
，
1
2
3
4
5
,
,
,
,
12,12,10,1,7
b b b b b
.……………17 分
{#{QQABSQahxgiQkBbACS5qAQUECgkQkJCgJcoERVCYKAQLAJFIFAA=}#}
