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澄宜六校阶段性联合测试
高三数学
参考答案
一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共计40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项
符合题目要求．
1． 已知集合 ，则
A． B． C． D．
【答案】D
2． 已知i为虚数单位，复数z满足 ，则
A． 5 B． C． 2 D．
【答案】B
3． “直线 与圆 相交”是“ ”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】A
4． 已知数列 的通项公式是 （ ），若数列 是递增数列，
则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
5． 已知 ， ，直线 与曲线 相切，则 的最小值是
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
【答案】D
6． 已知椭圆C： 的左、右焦点分别为F、F，若C上存在一点P，
1 2
使得 ，则椭圆C的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
7． 已知 是等比数列，且 ，则能使不等式
成立的最大正整数n的值为
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
【答案】C8． 在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ， 成
等差数列，则 的最小值为
A． 2 B． 3 C． D． 4
【答案】B
【解析】
由题知 ，由正弦定理得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
又 ，
所以 ，得 ，
所以 最多有一个是钝角，所以 ，
因为
，
由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为3．
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9． 已知 （ ， ， ）的部分图象如图所示，则
A．
B． 的最小正周期为
C． 在 内有3个极值点
D． 当 时， 与y = cosx的图象有3个交点
【答案】ABD
10．已知函数 及其导函数 的定义域均为R，记 ．若 ， 均
为奇函数，且 ，则
A． 关于直线 对称 B． 关于点 对称C． 的周期为4 D．
【答案】BCD
【解析】
因为 为奇函数，所以 ，
即 ，所以
所以 关于 对称，故，A错误
同时 ，
又 为奇函数，则 ，所以 关于 对称，故B正确
关于 对称，结合 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，也即 ，
所以
所以 是周期为4的函数，故C正确
， ， ， ， ，
，故，D正确
故选：BCD
11．如图，在平行四边形ABCD中， ，且 ，BF为 的中线，
将 沿BF折起，使点C到点E的位置，连接AE，DE，CE，且 ，则
A． EF⊥平面ABCD
B． BC与DE所成的角为
C． AE与平面BEF所成角的正切值是
D． 点C到平面BDE的距离为
【答案】ACD
【解析】
因为 ，且 ，所以 ， ．
又 为 的中线，所以 ， ．
因为 ，所以 ．由题意，知 ，所以 ．
又 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，故A正确；
因为 ，所以 或其补角即为 与 所成的角，连接 ，在 中， ，
， ，所以由余弦定理，得 ．
在 中，由勾股定理，得 ．
所以在 中， ， ．
由余弦定理的推论，得 ，所以 ，
所以 与 所成的角为 ，故B错误；
因为 ， ， ，所以 平面 ．
又 ，所以 平面 ．所以 与平面 所成的角为 ．
中， ， ．所以 ，故C正确；
在
因为 ，且 ，所以 ．又 ，
所以 ．
因为点 到平面 的距离为 ，所以由等体积法，得点 到平面 的距离为
，故D正确．
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知等比数列 的前n项和为 ，若 ，则 ．
【答案】
13．已知函数 的两个极值点为 ，且 ，则实数a的
最小值是 ．
【答案】2
14．已知向量 ， ， ， ，则 的取值范围是 ．
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
已知数列 的前n项和为 ，且满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，设数列 的前n项和 ，求证： ．
【解析】
（1）当 时， ，解得 ． …………………2分
当 时，，
即 ．
因为 ，且 ，所以 ，所以 ，…………………5分
所以，数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ． …………………6分
（2）由（1）知： ， …………………8分
所以 ， …………………10分
所以
…………………12分
因为，
所以， ． …………………13分
16．（本题满分15分）
在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
．
（1）求角C；
（2）求 的取值范围．
【解析】
（1）由 ，
结合正弦定理可得 ，即 ， …………………3分
所以 ，又 ，故 ； …………………5分
（2）由（1）有
由正弦定理 可得：
…………………7分…………………9分
…………………11分
因为△ABC是锐角三角形，故 ，解得 ， …………………13分
则 ，所以， ，
所以，即 的取值范围为 ． …………………15分
17．（本题满分15分）
已知O为坐标原点， 是椭圆C： 的右焦点，点M是椭圆
的上顶点，以点M为圆心且过F的圆恰好与直线 相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点 的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴的交点
分别是P，Q，求证：线段PQ的横坐标为定值．
【解析】
（1）设椭圆焦距为2c（ ）
点M为圆心且过F的圆恰好与直线 相切
∴ ，
∴
∴椭圆C的方程为 …………………5分
（2）设直线l： ， ， ，
联立方程 ，得
因为，直线l交椭圆C于A，B两点
所以， …………………7分所以， ， …………………8分
直线MA：
令y = 0 得： …………………10分
同理，
…………………13分
所以，PQ中点的横坐标为 ． …………………15分
18．（本题满分17分）
如图，在三棱锥 中，侧面PAC是边长为2的正三角形， ， ，
E，F分别为PC，PB的中点，平面AEF与底面ABC的交线为l．
（1）证明：l∥平面PBC．
（2）已知平面PAC⊥平面ABC，若在直线l上存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成角
为 ，异面直线PQ，EF所成角为 ，且满足 ，求|AQ|．
【解析】
（1）因为 分别为 的中点，
所以， ．
又 平面 ， 平面 ，
所以， 平面 ． …………………2分
又 平面 ，平面 与底面 的交线为 ，所以， ． …………………4分
从而， ．
而 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ． …………………6分
（2）取 的中点记为 ，连接 ，
因为 是边长为2的正三角形，所以 ， ．
由（1）可知，在底面 内过点A作 的平行线，即平面 与底面 的交线 ．
因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC = ACPD⊥AC，PD 平面PAC
所以 平面 ．
取AB的中点记为 ，连接 ，则 ．
因为AC⊥BC，所以DM⊥AC．
以 为坐标原点， 为正交基底，建立空间直角坐标系（如图所示），………9分
则 ， ， ， ， ， ，
设 ．
于是， ， ， ．
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
取 ，则 ， ，即 是平面 的一个法向量，…………………11分
所以 ．
又直线 与平面 所成角为 ，
于是 ． …………………13分
又 ，
而异面直线 所成角为 ，于是 ． …………………15分
假设存在点 满足题设 ，则 ，
即 ，所以 ．
综上所述，|AQ| = 1． …………………17分
19．（本题满分17分）
定义运算： ，已知函数 ．
（1）若函数 的最大值为0，求实数a的值；
（2）证明： ；（3）若函数 存在两个极值点 ，证明： ．
【解析】
（1）由题意知： ， ，
①当 时，f'(x)<0， 在 单调递减，不存在最大值． …………………1分
②当 时，由 得 ，
当 ，f'(x)>0； ，f'(x)<0，
函数y=f (x)的增区间为 ，减区间为 ．
， …………………3分
令 ，求导得 ，
当 时， ，函数 递减，当 时， ，函数 递增，
因此 ， ． …………………5分
（2）由（1）知， ，即 ，
当 时， ． …………………7分
．
． …………………10分
（3）
“函数h(x)存在两个极值点 ”等价于
“方程 有两个不相等的正实数根”
故 ，解得 ， …………………12分要证 ，即证 ， …………………14分
，不妨令 ，故
由 得 ，令
在 恒成立，
所以函数φ(x)在 上单调递减，故 ．
成立． …………………17分
