2007年上海高考数学试卷（理）（自主命题）（解析卷）_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_上海

绝密★启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题 纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果， 每个空格填对得4分，否则一律得零分． lg(4x) 1．函数y  的定义域是 ． x3 2．若直线l：2xmy10与直线l：y3x1平行，则m  ． 1 2 x 3．函数 f(x)  的反函数 f 1(x)  ． x1 4．方程 9x 63x 70的解是 ． 5．已知x，yR+，且x4y 1，则xy的最大值是 ．  π   π  6．函数y sin x sin x 的最小正周期T  ．  3   2  7．在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的 概率是 （结果用数值表示）． x2 y2 8．以双曲线  1的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程 4 5 是 ． 第1页 | 共18页9．对于非零实数a，b，以下四个命题都成立： 1 ① a  0； ② (ab)2  a2 2abb2； a ③ 若|a||b|，则a  b； ④ 若a2  ab，则a b． 那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是 ． 10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知，是两个 相交平面，空间两条直线l，l 在上的射影是直线s，s ，l，l 在上的射影是 1 2 1 2 1 2 直线t，t ．用s 与s ，t 与t 的位置关系，写出一个总能确定l 与l 是异 1 2 1 2 1 2 1 2 面直线的充分条件： ． 11．已知 P为圆 x2 (y1)2 1上任意 一点（原点O除外），直线OP 的倾斜角为弧度，记 d |OP|． 在右侧的坐标系中，画出以(，d) 为坐标的点的轨迹的大致图形为 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后 的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都 写在圆括号内），一律得零分． 12．已知a，bR，且2ai, bi（i是虚数单位）是实系数一元二次方程 x2  pxq 0的两个根，那么 p，q的值分别是（ ） Ａ． p4，q5 Ｂ． p4，q3 Ｃ． p4，q5 Ｄ． p4，q3 第2页 | 共18页13．设a，b是非零实数，若a b，则下列不等式成立的是（ ） 1 1 b a Ａ．a2 b2 Ｂ．ab2  a2b Ｃ．  Ｄ．  ab2 a2b a b   14．直角坐标系xOy中，i，j 分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三     角形ABC中，若AB  2i  j, AC 3i k j ，则k的可能值个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 15．设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：“当 f(k)≥k2成立时， 总可推出 f(k1)≥(k 1)2成立”．那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若 f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有 f(k)≥k2成立 Ｂ．若 f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有 f(k)≥k2成立 Ｃ．若 f(7) 49成立，则当k≥8时，均有 f(k) k2成立 Ｄ．若 f(4)  25成立，则当k≥4时，均有 f(k)≥k2成立 三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分12分） 如图，在体积为1的直三棱柱ABC  A BC 中， 1 1 1 C ACB 90, AC  BC 1．求直线A B与 1 B 1 1 A 平面BBC C所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 1 1 1 C B A 第3页 | 共18页17．（本题满分14分） π 在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边．若a  2, C  ， 4 B 2 5 cos  ，求△ABC的面积S ． 2 5 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆 瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2% （如，2003年的年生产量的增长率为36%）． （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量 为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使 年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的 年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？ 第4页 | 共18页19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． a 已知函数 f(x)  x2  (x  0，常数aR)． x （1）讨论函数 f(x)的奇偶性，并说明理由； （2）若函数 f(x)在x[2，)上为增函数，求a的取值范围． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分， 第3小题满分9分． 如果有穷数列a，a，a， ，a （n为正整数）满足条件a  a ，a  a ，…，a  a ， 1 2 3  n 1 n 2 n1 n 1 即a  a （i1，2， ，n），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列 i ni1  C0，C1， ，Cm就是“对称数列”． m m  m   （1）设 b 是项数为7的“对称数列”，其中b，b，b，b 是等差数列，且b 2， n 1 2 3 4 1   b 11．依次写出 b 的每一项； 4 n   （2）设 c 是项数为2k 1(正整数k 1)的“对称数列”，其中c，c ， ，c n k k1  2k1   是首项为50，公差为4的等差数列．记 c 各项的和为S ．当k为 n 2k1 何值时，S 取得最大值？并求出S 的最大值； 2k1 2k1 （3）对于确定的正整数m 1，写出所有项数不超过2m的“对称数列”， 使得1，2，22， ，2m1依次是该数列中连续的项；当m 1500时，  第5页 | 共18页求其中一个“对称数列”前2008项的和S ． 2008 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分， 第3小题满分8分． x2 y2 y2 x2 我们把由半椭圆  1 (x≥0)与半椭圆  1 (x≤0) a2 b2 b2 c2 合成的曲线称作“果圆”，其中a2 b2 c2，a 0，b c 0． 如图，点F ，F ，F 是相应椭圆的焦点，A ，A 和B ，B 分别是“果圆” 0 1 2 1 2 1 2 与x，y轴的交点． y （1） 若△F FF 是边长为1的等边三角形， B 2 0 1 2 . 求“果圆”的方程； F 2 . A O. F A x 1 0 2 F 1 第6页 | 共18页 B 1b （2）当 AA  B B 时，求 的取值范围； 1 2 1 2 a （3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦． 试研究：是否存在实数k，使斜率为k的“果圆” 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在， 求出所有可能的k值；若不存在，说明理由． 第7页 | 共18页绝密★启用前 2007年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题 纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果， 每个空格填对得4分，否则一律得零分． lg(4x) 1．函数y  的定义域是 ． x3   【答案】 x x  4且 x 3 4x0   【解析】   x x  4且 x 3 x30 2．若直线l：2xmy10与直线l：y3x1平行，则m  ． 1 2 2 【答案】 3 2 m 1 2 【解析】   m 3 1 1 3 x 3．函数 f(x)  的反函数 f 1(x)  ． x1 x 【答案】 （x 1） x1 x y x 【解析】由y   x (y 1) f 1x （x1） x1 y1 x1 4．方程 9x 63x 70的解是 ． 【答案】xlog 7 3 【解析】 (3x)2 63x 703x 7或3x 1（舍去），xlog 7。 3 5．已知x，yR+，且x4y 1，则xy的最大值是 ． 第8页 | 共18页1 【答案】 16 1 1 x4y 1 1 【解析】 xy  x4y ( )2  ，当且仅当x=4y= 时取等号. 4 4 2 16 2  π   π  6．函数y sin x sin x 的最小正周期T  ．  3   2  【答案】π     【解析】y sin(x )sin(x )(sinxcos cosxsin )cosx 3 2 3 3 1 3 1 3 1cos2x  sinxcosx cos2 x sin2x  2 2 4 2 2 3 1    sin(2x ) T 。 4 2 3 7．在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的 概率是 （结果用数值表示）． 【答案】0.3 C2C1 3 【解析】 2 3  C3 10 5 x2 y2 8．以双曲线  1的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程 4 5 是 ． 【答案】y2 12(x3) x2 y2 【解析】双曲线  1的中心为O（0,0），该双曲线的左焦点为F（－3,0），则抛物线 4 5 的顶点为（－3,0），焦点为（0,0），所以p=6，所以抛物线方程是)y2 12(x3) 9．对于非零实数a，b，以下四个命题都成立： 1 ① a  0； ② (ab)2  a2 2abb2； a ③ 若|a||b|，则a  b； ④ 若a2  ab，则a b． 那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是 ． 【答案】②④ 1 1 【解析】 对于①：解方程a 0得 a i，所以非零复数 a   i 使得a 0， a a 第9页 | 共18页①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，|1|=|i|，则 a  b a  b，所以③不 成立；④显然成立。则对于任意非零复数a,b，上述命题仍然成立的所有序号是②④ 10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知，是两个 相交平面，空间两条直线l，l 在上的射影是直线s，s ，l，l 在上的射影是 1 2 1 2 1 2 直线t，t ．用s 与s ，t 与t 的位置关系，写出一个总能确定l 与l 是异 1 2 1 2 1 2 1 2 面直线的充分条件： ． 【答案】 s //s ，并且t 与t 相交（t // t ，并且s 与s 相交） 1 2 1 2 1 2 1 2 【解析】 作图易得“能成为l ,l 是异面直线的充分条件”的是“s //s ，并且t 与t 相交”或“ 1 2 1 2 1 2 t // t ，并且s 与s 相交”。 1 2 1 2 11．已知 P为圆 x2 (y1)2 1上任意 一点（原点O除外），直线OP 的倾斜角为弧度，记 d |OP|． 在右侧的坐标系中，画出以(，d) 为坐标的点的轨迹的大致图形为 【答案】  【解析】 OP 2cos( )2sin,(0,) 2 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后 的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都 写在圆括号内），一律得零分． 第10页 | 共18页12．已知a，bR，且2ai, bi（i是虚数单位）是实系数一元二次方程 x2  pxq 0的两个根，那么 p，q的值分别是（ ） Ａ． p4，q5 Ｂ． p4，q3 Ｃ． p4，q5 Ｄ． p4，q3 【答案】A 【解析】 因为2 a i，bi（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程x2  pxq 0 的两个根，所以a=－1，b=2，所以实系数一元二次方程x2  pxq 0的两个 根是 2i所以 p[(2i)(2i)]4,q(2i)(2i)5.。 13．设a，b是非零实数，若a b，则下列不等式成立的是（ ） 1 1 b a Ａ．a2 b2 Ｂ．ab2  a2b Ｃ．  Ｄ．  ab2 a2b a b 【答案】C ab0 【解析】若aba2b2，A不成立；若 a2bab2,B不成立； ab b a 1 b a 若a=1，b=2，则 2,    ,所以D不成立 ,故选C。 a b 2 a b   14．直角坐标系xOy中，i，j 分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形     ABC中，若AB  2i  j, AC 3i k j ，则k的可能值个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 【答案】B          【解析】解法一：BC  BA AC 2i j3ik j i(k1)j       （1） 若A为直角，则ABAC (2i j)(3ik j)6k 0k 6；       （2） 若B为直角，则ABBC (2i j)[i(k1)j]1k 0k 1； （3） 若C为直角，则       ACBC (3ik j)[i(k1)j]k2 k30k。 所以 k 的可能值个数是2，选B 解法二：数形结合．如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所 以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B 第11页 | 共18页15．设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：“当 f(k)≥k2成立时， 总可推出 f(k1)≥(k 1)2成立”．那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若 f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有 f(k)≥k2成立 Ｂ．若 f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有 f(k)≥k2成立 Ｃ．若 f(7) 49成立，则当k≥8时，均有 f(k) k2成立 Ｄ．若 f(4)  25成立，则当k≥4时，均有 f(k)≥k2成立 【答案】D 【解析】 对A，当k=1或2时，不一定有 f k k2成立；对B，应有 f kk2成立； 对C，只能得出：对于任意的k 7，均有 f kk2成立，不能得出：任意的 k 7， 均有 f k k2成立；对D， f 42516,对于任意的k  4，  均有 f k k2成立。故选D。 三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分12分） C 1 B 1 如图，在体积为1的直三棱柱ABC  A BC 中， 1 1 1 A 1 ACB 90, AC  BC 1．求直线A B与 1 平面BBC C所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． C B 1 1 A 1 1 【解析】法一： 由题意，可得体积V CC S CC AC BC  CC 1， 1 △ABC 1 2   2 1 AA 1 CC 1 2．连接BC 1 ．  A 1 C 1 B 1 C 1 ，A 1 C 1 CC 1 ， C 1 B 1  AC 平面BBC C， 1 1 1 1 A 1  A BC 是直线A B与平面BBC C所成的角． 1 1 1 1 1 AC 1 C B BC  CC 2 BC2  5， tanABC  1 1  ， 1 1 1 1 BC 5 1 A 第12页 | 共18页5 5 则 A BC ＝arctan ．即直线A B与平面BBC C所成角的大小为arctan ． 1 1 5 1 1 1 5 法二： 由题意，可得 z 1 1 体积V CC 1 S ABC CC 1 2  AC  BC  2 CC 1 1， C 1 B 1 A  CC  2， 1 1 如图，建立空间直角坐标系． 得点B(0，1，0)， B C C (0，0，2)，A(1，0，2)． 则  A  B  (1，1，2)， y 1 1 1 A  平面BBC C的法向量为n(1，0，0)． x 1 1 设直线A B与平面BBC C所成的角为，AB与n的夹角为， 1 1 1 1   AB n 6 6 6 则cos 1   ，  sin|cos| , arcsin ，   AB n 6 6 6 1  6 即直线A B与平面BBC C所成角的大小为arcsin ． 1 1 1 6 17．（本题满分14分） π 在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边．若a  2, C  ， 4 B 2 5 cos  ，求△ABC的面积S ． 2 5 3 4 【解析】 由题意，得cosB ， B为锐角，sinB  ， 5 5  3π  7 2 sin Asin(πBC) sin B   ，  4  10 10 1 1 10 4 8 由正弦定理得 c  ，  S  ac sinB 2   ．  7 2 2 7 5 7 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆 第13页 | 共18页瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2% （如，2003年的年生产量的增长率为36%）． （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量 为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使 年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的 年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？ 【解析】（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 36%，38%，40%，42%． 则2006年全球太阳电池的年生产量为 6701.361.381.401.422499.8(兆瓦)． 1420(1x)4 （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x，则 ≥95%．解得x≥0.615 2499.8(142%)4 ． 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到61.5%． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． a 已知函数 f(x)  x2  (x  0，常数aR)． x （1）讨论函数 f(x)的奇偶性，并说明理由； （2）若函数 f(x)在x[2，)上为增函数，求a的取值范围． 【解析】（1）当a 0时， f(x)  x2， 对任意x(，0) (0，)， f(x) (x)2  x2  f(x)，  f(x)为偶函数．  a 当a  0时， f(x)x2  (a0，x0)， x 取x  1，得 f(1) f(1)20， f(1) f(1)2a0，  f(1)f(1)， f(1) f(1)， 函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设2≤x x ， 1 2 第14页 | 共18页a a (x x ) f(x ) f(x )  x2  x2   1 2  x x (x  x )a  ， 1 2 1 x 2 x x x 1 2 1 2 1 2 1 2 要使函数 f(x)在x[2，)上为增函数，必须 f(x ) f(x )0恒成立． 1 2 x x 0， xx 4，即a  x x (x  x )恒成立．  1 2 1 2 1 2 1 2 又  x 1  x 2  4， x 1 x 2 (x 1  x 2 ) 16．  a的取值范围是(，16]． 解法二：当a 0时， f(x)  x2，显然在[2，)为增函数． a a 当a 0时，反比例函数 在[2，)为增函数， f(x)  x2  在[2，)为增函数 x x ． 当a 0时，同解法一． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分， 第3小题满分9分． 如果有穷数列a，a，a， ，a （n为正整数）满足条件a  a ，a  a ，…，a  a ， 1 2 3  n 1 n 2 n1 n 1 即a  a （i1，2， ，n），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列 i ni1  C0，C1， ，Cm就是“对称数列”． m m  m   （1）设 b 是项数为7的“对称数列”，其中b，b，b，b 是等差数列，且b 2， n 1 2 3 4 1   b 11．依次写出 b 的每一项； 4 n   （2）设 c 是项数为2k 1(正整数k 1)的“对称数列”，其中c，c ， ，c n k k1  2k1   是首项为50，公差为4的等差数列．记 c 各项的和为S ．当k为 n 2k1 何值时，S 取得最大值？并求出S 的最大值； 2k1 2k1 （3）对于确定的正整数m 1，写出所有项数不超过2m的“对称数列”， 使得1，2，22， ，2m1依次是该数列中连续的项；当m 1500时，  求其中一个“对称数列”前2008项的和S ． 2008   【解析】（1）设 b 的公差为d ，则b b 3d  23d 11，解得 d 3， n 4 1    数列 b 为2，5，8，11，8，5，2． n （2）S c c  c c c  c  2(c c  c )c ， 2k1 1 2  k1 k k1  2k1 k k1  2k1 k S  4(k 13)2 4132 50， 2k1 第15页 | 共18页 当k 13时，S 取得最大值．S 的最大值为626． 2k1 2k1 （3）所有可能的“对称数列”是： ① 1，2，22， ，2m2，2m1，2m2， ，22，2，1；   ② 1，2，22， ，2m2，2m1，2m1，2m2， ，22，2，1；   ③ 2m1，2m2， ，22，2，1，2，22， ，2m2，2m1；   ④ 2m1，2m2， ，22，2，1，1，2，22， ，2m2，2m1．   对于①，当m≥2008时，S 1222  22007  22008 1． 2008  当1500m≤2007时，S 2008 12  2m2 2m1 2m2   22m2009  2m 12m1 22m2009  2m 2m1 22m2009 1． 对于②，当m≥2008时，S  22008 1． 2008 当1500m≤2007时，S  2m1 22m2008 1． 2008 对于③，当m≥2008时，S  2m 2m2008． 2008 当1500m≤2007时，S  2m 22009m 3． 2008 对于④，当m≥2008时，S  2m 2m2008． 2008 当1500m≤2007时，S  2m 22008m 2． 2008 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分， 第3小题满分8分． x2 y2 y2 x2 我们把由半椭圆  1 (x≥0)与半椭圆  1 (x≤0) a2 b2 b2 c2 合成的曲线称作“果圆”，其中a2 b2 c2，a 0，b c 0． 如图，点F ，F ，F 是相应椭圆的焦点，A ，A 和B ，B 分别是“果圆” 0 1 2 1 2 1 2 与x，y轴的交点． y （2） 若△F FF 是边长为1的等边三角形， B 2 0 1 2 . F 2 . 第16页 | 共18页 A O. F A x 1 0 2 F 1 B 1求“果圆”的方程； b （2）当 AA  B B 时，求 的取值范围； 1 2 1 2 a （3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦． 试研究：是否存在实数k，使斜率为k的“果圆” 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在， 求出所有可能的k值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）  F (c，0)， F  0， b2 c2  ， F  0，b2 c2  ， y 0 1 2 B 2  F F   b2 c2 c2 b1， FF 2 b2 c2 1， 0 2 1 2 . 3 7 F . 于是c2  ，a2 b2 c2  ，所求“果圆”方程为 2 4 4 O. M F x A 0 A 4 4 1 2 x2  y2 1 (x≥0)，y2  x2 1 (x≤0) 7 3 F 1 （2）由题意，得 ac  2b，即 a2 b2  2ba． B 1 b 4 (2b)2 b2 c2  a2， a2 b2 (2ba)2，得  ．  a 5 b2 1 b  2 4  又b2 c2  a2 b2,   ．   ， ． a2 2 a  2 5    x2 y2 y2 x2 （3）设“果圆”C的方程为  1 (x≥0)，  1 (x≤0)． a2 b2 b2 c2 记平行弦的斜率为k． x2 y2 当k 0时，直线yt(b≤t≤b)与半椭圆  1 (x≥0)的交点是 a2 b2  t2  y2 x2  t2  P  a 1 ，t ，与半椭圆  1 (x≤0)的交点是Q  c 1 ，t ．  b2  b2 c2  b2       x ac 1 t2 , x2 y2  P，Q的中点M (x，y)满足  2  b2 得  1．   ac  2 b2 yt，    2   ac  2 ac2b ac2b  a  2b，   b2   0．  2  2 2 综上所述，当k 0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上． x2 y2 当k 0时，以k为斜率过B 的直线l与半椭圆  1 (x≥0) 1 a2 b2  2ka2b k2a2bb3  的交点是  ，  ． k2a2 b2 k2a2 b2  第17页 | 共18页b2 由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线y   x上， ka2 即不在某一椭圆上． 当k 0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上． 第18页 | 共18页