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2024 年秋“宜昌一中､荆州中学”高二十月联考
数学试题
命题学校：荆州中学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的.
.
1 复数 满足 ，若 ，则 （ ）
A. B. 1 C. D.
2. 某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区
间 内，按分数分成5组： ，得到如图所示的频率分
布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（ ）
A. 成绩在 上的人数最少
B. 成绩不低于80分的学生所占比例为
C. 50名学生成绩的极差为50
的
D. 50名学生成绩 平均分小于中位数
3. 已知平面向量 和 满足 在 上的投影向量为 ，则 在 上的投影向量为（
）A. B. C. D.
4. 设 为实数，若直线 与圆 相切，则点 与圆的位置关系（ ）
A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定
5. 已知倾斜角为 的直线 与直线 垂直，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 在平行六面体 中，M为AC与BD的交点，若 ， ， ，则下
列向量中与 相等的向量是（ ）．
A. B.
C. D.
7. 在四边形 中， ， ， ，将 沿 折起，使点C
到达点 的位置，且平面 平面 .若三棱锥 的各顶点都在同一球面上，则该球的表
面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相
同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的
概率大于资金减少的概率，则n至少为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法不正确的是（ ）
A. “直线 与直线 互相垂直”是“ ”的充分不必要条件
B. 直线 的倾斜角 的取值范围是
C. 若圆 上恰有两点到点 的距离为1，则 的取值范围是
D. 设 为实数，若直线 与曲线 恰有一个公共点，则
10. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，
记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，事件C为“两次能看见
的所有面向上的数字之和不小于15”，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件A与事件B相互独立
B. 事件A与事件B互斥
C.
D.
11. 如图，矩形 中， ，边 ， 的中点分别为 ， ，直线BE交AC于
点G，直线DF交AC于点H.现分别将 ， 沿 ， 折起，点 在平面BFDE同侧，则
（ ）A. 当平面 平面BEDF时， 平面BEDF
B. 当平面 平面CDF时，
C. 当 重合于点 时，二面角 的大小等于
D. 当 重合于点 时，三棱锥 与三棱锥 外接球的公共圆的周长为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知空间向量 ， ， ，若 ， ， 共面，则实数
___________.
13. 若动直线 ，圆 ，则直线 与圆 相交的最短弦长为
__________．
14. 已知 ，
， ，则下列结论中正确 是______________.
的
①当 时， ；
②当 时， 有1个元素；
③若 有2个元素，则 ；
④若 有4个元素，则 无整数解；
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉
松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了 100名
候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，
第五组 ，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组
的频率相同．
（1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试
者的面试成绩的平均数和方差分别为72和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和60，
据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
16. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， .
（1）求角 的大小；
的
（2）若 是锐角三角形，且其面积为 ，求边 取值范围.
17. 已知线段AB的端点B的坐标是 ，端点A在圆 上运动，M是线段AB的中点，
（1）求点M的轨迹方程；
（2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点 的直线l与曲线C交于P，Q两点，曲线C的中心记为点
C，求 面积的最大值，并求此时直线l的方程．
18. 在四棱锥 中，已知 ， ， ， ， ，， 是线段 上的点．
（1）求证： 底面 ；
（2）是否存在点 使得 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说
明理由．
19. 蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂
蝶自来．如图，已知圆 的方程为 ，直线 与圆M交于 ， ，
直线 与圆 交于 ， ．原点 在圆 内．设 交 轴于点 ， 交 轴
于点 ．
（1）当 ， ， ， 时，分别求线段 和 长度；
的
（2）①求证： ．
②猜想|OP|和|OQ|的大小关系，并证明．
