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湖北省武昌实验中学 2025-2026 学年度 12 月阶段性检测
高二数学试卷
2025.12.05
一、单选题
1. 双曲线 的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 椭圆 的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知两条平行直线 ，则 和 间的距离为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知空间向量 ，则向量 在向量 上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
的
5. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池” 几何体，该几何体的上、下底面平行，
且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为4， ，
， ， 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为90°，
则图中异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）.
A B. C. D.
6. 椭圆的离心率 大小决定该椭圆的扁平程度，则下面四个椭圆中，最接近于圆的椭圆是（
）
A. B. C. D.
7. 如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心 为一个焦点且离心率为 的椭圆，地球可看
作半径为 的球体，近地点离地面的距离为 ，则远地点离地面的距离 为（ ）
A. B. C. D.
8. 设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 过点 .若点 关于 的对称点
恰好在椭圆 上，且 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题9. 已知： ，直线 相交于 ，直线 斜的率分别为 ，则（ ）
A. 当 时， 点的轨迹为除去 两点的椭圆
B. 当 时， 点的轨迹为除去 两点的双曲线
C. 当 时， 点的轨迹为一条直线
D. 当 时， 的轨迹为除去 两点的抛物线
10. 抛物线的光学性质是指平行于抛物线对称轴的光线通过反射后经过抛物线的焦点.且光线反射遵循反射
基本定理，反射点处的切线与入射光线反射光线所成夹角的角平分线垂直.如图，已知抛物线
，一束光线从 点出发平行于 轴射入抛物线，经过两次反射后平行射出，
轴，设反射点分别为 ， ， 为坐标原点，过 ， 分别作 ， 的角平分线交于点 ，已
知 的最小值为2，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 若 ，则直线 的斜率为
C. 存在直线 ，使得 ， ， ， 四点共圆 D. 面积的最小值为1
11. 随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线
的左､右焦点分别为 ， ，双曲线的光学性质是：从右焦点 发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点 ，如图所示. 由此可得，
过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.若 的最小值为2，且双曲线C的渐近线为
，则下列结论正确的有（ ）
A. 双曲线C 方的程为
的
B. 若 ，则 面积为24
C. 若点 处的切线交 轴于 ，则 轴
D. 当n过点 时，光由 所经过的路程为13
三、填空题
12. 若实数 、 、 、 ，满足 ， ， ，则
的最大值为________
13. 已知 分别为双曲线 的左､右焦点，过 的直线与双曲线的右支交于 两点（其中
点 位于第一象限），圆 与 内切，半径为 ，则 的取值范围是___________．
14. 已知F是抛物线C： 的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线 上一动点，则 的最小值为______
四、解答题
15. 如图，在空间四边形 中， 为 的中点，点 满足 ，设 ， ，
．
（1）试用向量 ， ， 表示向量 ；
（2）若 ， ，求 的值．
16. 已知双曲线 的中心点为 ，其中 为左､右焦点， ， 为左､右顶
点，且离心率 为 上一动点.
（1）求证： ；
（2）设直线 的斜率分别为 ，求证： 为定值；
（3）若双曲线 的顶点为 和 ，且 的最大内角为 ，求点 的坐标.
17. 已知椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，点 在椭圆上，直线 与圆
相切，且与椭圆交于 两点， 为坐标原点.
（1）求椭圆 的标准方程；（2）①求证： ；
②求 面积的取值范围.
18. 拋物线 焦点为 ，第一象限内点 在 上，A的纵坐标是 .
（1）若 到焦点 的距离为3，求 ；
（2）若 ， 在 上，且 的重心恰为 ，求直线 的方程；
（3）直线 ，令 是第一象限 上异于 的一点，直线 交 于 是 在 上的投影，若点
满足“对于任意 都有 ”，求 的取值范围.
19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散曲
率为 ，其中 为多面
体 的所有与点 相邻的顶点，且平面 ，平面 ，平面 和平面 为多面体
的所有以 为公共点的面.已知三棱锥 如图所示.
（1）求三棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）若 平面 为 中点，三棱锥 在顶点 处的离散曲率为 .求点 到平面 的距离；
（3）在（2）的前提下，又知 为侧面 内一动点，记二面角 为 ，直线 与平面
所成角为 ，若 ，求三棱锥 体积的最大值.
