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湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校 2024-2025 学年高
二上学期期中联考数学试题
考试时间：2024年11月14日下午15:00-17:00 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1.设复数 ，则 的虚部为（）
A.2i B. C.2 D.-2
2.已知三点 ，则过点 的直线 与线段AB有公共点时，直线 斜率的取值范围为
（）
A. B. C. D.
3.已知 ，则 在 方向上的投影向量的坐标为（）
A. B. C. D.
4.圆 与圆 的公共弦长为
A. B. C. D.
5.已知平面向量 满足 .则向量 与向量 的夹角为（）
A. B. C. D.
6.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4，5，6的6个小球，从中任意摸出
两个球．设事件 “摸出的两个球的编号之和不超过6”，事件 “摸出的两个球的编号都大于3”，
事件 “摸出的两个球中有编号为4的球”，则（）A.事件 与事件 是相互独立事件 B.事件 与事件 是对立事件
C.事件 与事件 是互斥事件 D.事件 与事件 是互斥事件
7.如图，在正四棱台 中， .直线
与平面EFG交于点 ，则 （）
A. B. C. D.
8.阅读材料：空间直角坐标系 中，过点 且一个法向量为 的平面 的方程为
.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 的方程为
，直线 是平面 与平面 的交线，则直线 与平面 所
成角的正弦值为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9.下列说法不正确的是（）
A.若直线的斜率为 ，则此直线的倾斜角为
B.不与坐标轴平行或重合的直线，其方程一定可以写成两点式
C. 是直线 与直线 垂直的充要条件D. 是直线 与直线 平行的充要条件
10.如图，棱长为2的正方体 中， 为棱 的中点， 为正方形 内的一个动
点（包括边界），且 平面 ，则下列说法正确的有（）
A. 的最小值为
B.当 与 垂直时，直线 与平面ABCD所成的角的正切值为
C.三棱锥 体积的最小值为
D.当三棱锥 的体积最大时，其外接球的表面积为
11.已知曲线 ，点 为曲线 上任意一点，则（）
A.曲线 的图象表示两个圆 B. 的最大值是
C. 的取值范围是 D.直线 与曲线 有且仅有2个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.经过点 ，且在 轴上的截距为 轴上截距的2倍的直线方程为______.
13.在平面直角坐标系Oxy中，圆 上存在点 到点 的距离为2，则实数 的取值范围为______.
14.已知实数 满足 ，则 的最
大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在 中，已知点 边上的高线所在的直线方程为 ，角 的平分线所在的
直线方程为 .
（1）求直线AC的方程；
（2）求直线AB的方程.
16.记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，
.
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ，求BC边上中线的长.
17.黄石二中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名
参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组[50，60），第二组[60，70）．第三组 ，第四组 ，
第五组[90，100]绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组
的频率相同.
（1）求出频率分布直方图中a，b的值，并估计此次竞赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值
代替）；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和
40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差；
（3）甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为 ，乙能解出而丙不能解
出该题的概率为 ，甲、丙都能解出该题的概率为 ，假设他们三人是否解出该题互不影响，求甲、乙、
丙3人中至少有1人解出该题的概率.
18.如图，在四棱锥 中， 为等边三角形， ，
为AD的中点.
（1）求证：平面 平面ABCD；
（2）若点E在线段PC上运动（不包括端点），设平面 平面 ，当直线 与平面BEF所成角
取最大值时，求平面BEF与平面CEF夹角的余弦值.
19.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：
如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数 且 ，那么点 的轨迹为圆，这就是著名的阿
波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知 直线 ，直线
，点 为 和 的交点.
（1）求点 的轨迹方程 ；
（2）点 为曲线 与 轴正半轴的交点，直线 交曲线 于A，B两点， 与A，B两点不重合，直线
MA、MB的斜率分别为 ，且 ，证明直线 过定点，并求出该定点；
（3）当点 在曲线 上运动时，求 的最小值.2024 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高二
数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C B D C A D A B ACD ABC ACD
12. 或 13. 14.
部分小题详解：
7.依题意， ，在四棱台中，
，设 ，
则 四点共面，
.
8.依题意，平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，平面 的法向量为
，设直线 的方向向量为 ，则有
，令 .
10.对A，将平面 和平面DMN展开到一个平面内， 的最小值即 点和D点连线的距离，
，故选项A正确；
对B，如图，令 中点为 中点为 ，连接MN，
又正方体 中， 为棱 的中点，可得 ，平面 平面 ，又 ，
且 平面 平面 平面 ，
又 平面 ，且 平面 平面 ，
又 为正方形 内一个动点（包括边界）， 平面 平面 ，而 平面
平面 ，即 的轨迹为线段 与平面ABCD所成的角即 与平面
所成的角，F点到平面 的距离为 点在平面 的射影P在 上靠近 点
的四等分点， ，故直线 与平面ABCD所成的角的正切值为 ，故选项B正确；
对C，由正方体侧棱 底面 ，所以三棱锥 体积为 ，
所以 面积 最小时，体积最小，如图， ，易得 在 处时 最小，此时
，所以体积最小值为 ，故选项C正确；
对D，如图，当 在 处时，三棱锥 的体积最大时，
由已知得此时 ，所以 在底面 的射影为底面外心，
，所以底面 为直角三角形，
所以 在底面 的射影为 中点，设为 ，如图，设外接球半径为 ，
由 ，可得外接球半径 ，其外接球的表面积为，故选项D错误．
11.对于A，由 得 ，
即 ，
所以 或 ，
所以曲线 表示以 为圆心， 为半径的两个圆．
对于 表示到原点距离的平方再加1，故最大值为 .
对于 表示点 与点 连线的斜率.设过点 且与圆 相切的直线为 ，则
由直线与圆相切可得 或
对于D，由C知直线 与圆M，N都相切，故直线与曲线 有且仅有两个交点.
13.圆 的标准方程为 ，故圆 是以 为圆心，1为半径的圆， 的轨迹是以
为圆心，2为半径的圆.依题意，两圆有交点，则
14.设 ，为正三角形.
表示点 和点 到直线 的距离之和的 倍.
设点 是线段AB的中点，则 ，故点 在圆 上.
.
15.解：（1） 边上的高线所在的直线方程为 ，
边可设为 .…………………………………………………………………………2分
又点 在AC边上， ，求得 ……………………………………………4分
直线AC的方程为 ……………………………………………………………………5分
（2）由 ，解得 …………………………………………………7分
设 点关于直线 对称的点
，解得 ……………………………………………10分
又点 在直线AB上， ……………………………………………………………………12分
求得直线AB的方程为： ………………………………………………………………13分
16.解：（1）由题设得
于是 故 ……………………………………3分由正弦定理得 ………………………………5分
又 ……………………………………………………………………………………6分
…………………………………………………………7分
故 ………………………………………………………………………………………………………8分
（2）由（1）知
所以 是顶角为 ，底角为 的等腰三角形，即
.………………………………………………………………………11分
设BC边上中线的长为 ，则有
.………………………………14分
……………………………………………………………………………………………………15分
17.（1）由题意可知： ，解得 ………………………………2分
可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
所以平均数等于 ，………………………4分
（2）设第二组、第四组的平均数与方差分别为 ，且两组频率之比为 ，成绩在第二组、第四组的平均数 ……………6分
成绩在第二组、第四组的方差
故估计成绩在第二组、第四组的方差是 ．…………………………………………………………9分
（3）设“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，“丙解出该题”为事件 ，“甲、乙、丙3
人中至少有1人解出该题”为事件 ，
由题意得 ，
所以 ，
所以 ，所以乙、丙各自解出该题的概率为 .…………………………………………11分
则 ，因为 ，
所以 ，因为 相互独立，
所以 .
所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为 .……………………………………………15分
18.（1）证明：连 ，又
即均为等边三角形，
所以四边形ABCD为菱形．……………………………………………………………………………2分
取AB中点 ，连OP，OD
为等边三角形，
又 ，即
又 平面ABCD
平面ABCD
又 平面 平面 平面ABCD.……………………………………………………7分
（2）解： 平面 平面 平面PCD又平面 平面
，建立如图的空间直角坐标系，易得
令
，令平面BEF法向量为解得 …………………………………………………………………10分
，………………………11分
令
当
…………………………………………………………………………………13分
所以平面BEF的法向量
，
设平面EFC的法向量解得 ……………………………………………………15分
设二面角 的夹角为
…………………………………………………………………………17分
19.（1）当 时， ，此时 ，交点为
当 时，由 ，斜率为t，
由 ，斜率为 ，综上， .
直线 恒过 ，直线 恒过 ，若 为 的交点，则 ，设点 ，
所以点 的轨迹是以EF为直径的圆，除去 点，则圆心为EF的中点 ，圆的半径为
，故 的轨迹方程为 ……………………………………5分
（没有 扣1分）
（2） ，设 ，
当斜率存在时，直线 的方程为 ，故
……6分
将直线方程与圆的方程进行联立， 得：.……………………………………………………………………8分
将其带入 中可得： 或 ，由于M与
A， 不重合，则直线 的方程为 恒过定点（ ）………………………10分
当直线L的斜率不存在时，设 ，则 ，故可
得 ，即则直线 仍恒过定点 ，综上可得，则直线 恒过定点
…………………………………………11分
（3） ，易知R、Q在该圆内，又由题意可知圆 上一点 满足 ，取
，则 ，满足 .下面证明任意一点 ，都满足 ，即 ，
即 ,所以 …………………………15分
，即当且仅当D，P，Q三点共线，且P位于D，Q之间时，等号成立.
即 的最小值为 …………………………………………………………………17分
